Nous allons appliquer les résultat généraux obtenus dans le post précédent à la trajectoire d'un photon (epsilon = 0). Les équations auxquelles nous sommes parvenus font intervenir le moment L. Celui-ci est lié à l'impulsion du photon par la relation qui suit :

b étant la distance entre le prolongement de la trajectoire d'un photon incident et le centre de symétrie de la métrique. b est appelé paramètre d'impact du photon. Dans le système d'unité où c = h = 1 on peut écrire :

Le paramètre K qui représente l'énergie propre de la particule est quant à lui assimilable à l'énergie E du photon. On peut donc combiner l'équation de conservation de l'énergie du photon avec celle du moment :

On peut de la même façon combiner l'équation de conservation de l'énergie totale avec l'équation de conservation du moment L :

soit :

On sait qu'un photon n'a pas de temps propre tau. Il convient donc de choisir un autre paramètre pour effectuer les dérivations. Le choix de phi comme paramètre affine simplifie considérablement les équations dans la mesure où le dérivée de phi par rapport à lui-même est nécessairement égale à 1 :

Ceci permet d'écrire :

L'équation de conservation de l'énergie d'un photon peut être reformulée de la manière suivante :

avec :

On remarquera que le terme dr/dphi intervient au carré dans cette équation. Cela signifie que la courbe qui définit r en fonction de phi peut être parcourue dans les deux sens : dans le sens r décroissant et r décroissant. Il est même tout à fait possible qu'il y ait inversion du signe de dr/dphi, lors du passage à zéro par exemple. Cette configuration correspond au cas où r décroît jusqu'à une valeur minimum r_mini avant de se remettre à croître.

Analyse de la trajectoire d'un photon

Il est facile de voir que le potentiel V_r est maximum pour la valeur r_c définie comme suit :

Dans ce cas il atteint la valeur V_c définie par :

Le premier terme de l'équation de conservation de l'énergie étant toujours positif puisque c'est un carré, ceci permet de définir un paramètre d'impact critique b_c tel que :

Dans tous les cas, un rayon lumineux dont le paramètre d'impact est b ne peut atteindre un point situé à la distance r du centre de symétrie que si :

Ceci impose donc une valeur maximum pour le potentiel V_r :

Il apparaît donc trois possibilités selon que V_c (la valeur maximale de V_r) est supérieur, inférieur ou égal à 1/b². Si le paramètre d'impact est supérieur à b_c, V_c qui est égal à 1/b_c² est plus grand que 1/b². Ceci impose une contrainte sur V_r et donc sur r :

La distance r ne peut pas prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et l'infini. En particulier, elle ne peut jamais descendre en dessous d'une valeur minimum r_min qui est nécessairement supérieure à r_c. En effet, si r pouvait prendre la valeur r_c , V_r pourrait être égal à V_c, ce qui est contraire à notre hypothèse. Un photon émis avec un paramètre d'impact b > b_c en direction du corps massif représenté par la métrique considérée s'approchera de celui-ci jusqu'à une distance r_min avant de s'en éloigner à nouveau.

Si le paramètre d'impact est inférieur à b_c, V_c est plus petit 1/b². Il n'y a aucune contrainte sur V_r et la distance r peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et l'infini. Si la métrique étudiée correspond à un trou noir, cela signifie qu'un photon émis avec un paramètre d'impact b < b_c a toutes les chances d'atteindre l'horizon des événements et de rester piégé dans le trou noir.

Si b est égal à b_c la distance r peut prendre la valeur r_c. Cette configuration correspond à un photon tournant indéfiniment autour du corps considéré.

Analyse plus détaillée

Pour pousser plus loin l'analyse, nous allons faire un changement de variable qui va simplifier la résolution des équations et la recherche de la limite r_min lorsqu'elle existe. Posons u = 1/r . Ceci permet de réécrire l'équation de conservation de la manière suivante :

F(u) étant un polynôme du troisième degré en u. Si b > b_c ce polynôme a trois racines réelles u₁, u₂ et u₃. Au vu des coefficients du polynôme, on peut dire que la racine u₁ est négative et que les deux autres sont positives. Si on analyse le profil de F(u) on constate que :

• Le tronçon correspondant aux valeurs négatives de u ne nous intéresse pas, r étant positif par définition.
• Le tronçon qui va de u = 0 à u = u₂ correspond à une trajectoire telle r varie entre l'infini et 1/u₂. C'est le cas, par exemple, pour un photon émis depuis une grande distance qui s'approche du corps considéré jusqu'à la distance r₂ = 1/u₂ puis s'en éloigne indéfiniment.
• Le tronçon correspondant à des valeurs comprises entre u₂ et u₃ ne nous intéresse pas. Le premier membre de l'équation est un carré et ne peut pas être négatif.
• Le tronçon correspondant à des valeurs supérieures à u₃ correspond à un photon capturé par un trou noir : r reste indéfiniment plus petit que 1/ u₃.

Nous allons nous intéresser plus particulièrement au deuxième tronçon. Comme on peut le voir, la valeur u₂ correspond au point de la trajectoire le plus proche du corps considéré. En astronomie, on appelle ce point le périastre (ou périhélie pour le Soleil).

Un calcul assez simple mais fastidieux permet de déterminer la valeur de u₁ et u₃ en fonction de celle de u₂ (voir le post en annexe). Nous nous contenterons de mentionner la formule qui donne le paramètre d'impact b en fonction de la valeur du périastre A = 1/u₂ :

On ne sera pas surpris de constater que la fonction b = f(A) atteint son minimum pour b = b_c. La valeur de périastre correspondant est :

Revenons à l'équation qui détermine du/dphi. On peut l'écrire sous la forme :

... ce qui permet de calculer phi en fonction de r :

Cette équation peut être résolue sous la forme d'une intégrale elliptique. Elle peut également être calculée de façon numérique à l'aide d'un simple tableur ou d'un programme en langage C. C'est la solution de facilité que nous avons adoptée.

Paramètre d'impact supérieur à b_c

Ce cas de figure est celui d'un photon dont la trajectoire est incurvée lors de son passage à proximité d'un astre. Les calculs ont été faits avec r_s = 1. Toutes les autres configurations peuvent se déduire de celle-ci par une simple homothétie. La figure donne quelques exemples de géodésiques pour des valeurs du périastre comprises entre 3/2r_s et 2r_s. Ces valeurs correspondent à un paramètre d'impact très proche de la valeur critique, ce qui explique l'importance de la déflexion. De telles valeurs ne sont possibles que si le corps considéré est un trou noir. En effet, le rayon d'une étoile, même s'il s'agit d'une étoile à neutrons, est supérieur, voire très supérieur, à 2r_s. La déflexion des rayons lumineux mesurée en 1919 par Arthur Eddington au voisinage du soleil était par exemple de l'ordre de deux secondes d'arc... Il faut dire que le rayon de Schwarzschild du soleil vaut 3 km alors que son rayon effectif est de 700 000 km !

Trajectoires d'un rayon lumineux pour 4 valeurs du périastre.

La courbe bleue montre une déflexion assez forte (voisine de 30 degrés) mais le photon poursuit son chemin après avoir dépassé le trou noir. Sur la courbe rouge, il semble que le photon rebondisse sur un miroir virtuel. La déflexion est supérieure à 90 degrés. Les courbes verte et violette méritent une plus grande attention. Dans le cas de la courbe verte, la trajectoire recoupe le trajet incident. Dans le cas de la courbe violette la trajectoire s'enroule autour du trou noir.

Trajectoire d'un photon pour deux valeurs de paramètre d'impact proches de b_c.

On peut d'ailleurs montrer que, pour des valeurs du paramètre d'impact encore plus proches de la valeur critique, le rayon lumineux fait plusieurs fois le tour du trou noir avant de repartir dans une direction opposée à celle du rayon incident !

Il existe une valeur de pour laquelle le rayon lumineux revient dans la direction de l'émetteur. Si on éclaire un trou noir, on percevra ces rayons qui ont fait le tour du trou noir avant de nous revenir. Ils dessineront un cercle lumineux autour de celui-ci. Le diamètre de ce cercle lumineux sera très voisin de :

... c'est-à-dire un peu plus de 10 fois le rayon de Schwarzschild.

Paramètre d'impact inférieur ou égal à b_c

Considérons tout d'abord le cas d'un photon émis avec un paramètre d'impact égal à b_c. La modélisation de sa trajectoire avec un tableur montre la forme de sa demi-trajectoire. Ce rayon vient tangenter le cercle de rayon r = 3r_s/2. Ce photon restera piégé à cette distance.

Nous pouvons tirer une autre conclusion tout à fait étonnante de cette modélisation. Supposons un observateur situé à une distance égale à 3r_s/2 du centre de symétrie d'un trou noir. Quel spectacle peut-il contempler ? La réponse est simple et plutôt décoiffante. En regardant autour de lui et au-dessus de lui, il voit la totalité de l'Univers concentrée dans une demi-sphère. Y compris toute la partie du ciel qui se trouve de l'autre côté du trou noir ! En regardant au-dessous de lui, il ne voit rien. En se plaçant à cette distance du trou noir, l'observateur est en quelque sorte « au bord de l'Univers ». Il peut le contempler en son entier sans avoir à se retourner. Derrière lui il n'y a rien.

Intéressons nous maintenant à un photon dont le paramètre d'impact est inférieur à la valeur critique. Comme nous l'avons vu plus haut, un tel photon est irrémédiablement capturé par le trou noir. Plaçons cette fois un observateur à une distance inférieure à 3r_s/2 du centre du trou noir. Ainsi que le montre la figure ci-dessous, les rayons lumineux qui lui proviennent d'une direction diamétralement opposée par rapport au trou noir semblent parvenir face à lui ! Notre observateur voit la totalité de l'Univers dans un cône situé au-dessus de lui ! L'Univers lui apparaît cette fois comme projeté à la surface d'une sphère de dimension réduite suspendue au-dessus de lui.

Photon en orbite autour d'un trou noir

Nous avons évoqué la possibilité qu'un rayon lumineux puisse être mis en orbite autour d'un trou noir. Nous allons nous intéresser plus particulièrement à ce cas de figure.

Revenons à l'équation de du/dphi. Si le rayon est constant, on peut écrire :

On peut reformuler cette équation comme suit :

Seules les racines positives nous intéressent. Pour qu'il existe une orbite circulaire stable, il faut que V(u) soit tangent à la droite horizontale d'ordonnée 1/b². Cela se produit pour une valeur u telle la dérivée de V soit nulle en ce point :

Cette équation admet une solution positive pour r = 1/u tel que :

Il existe donc effectivement une orbite circulaire stable pour un photon autour d'un trou noir de Schwarzschild. Cette orbite a pour rayon r = 3r_s/2 . A cette distance du centre du trou noir, un photon qui va tout droit tourne éternellement autour de celui-ci !

Nota : Ce rayon correspond au périastre minimum, ce qui est tout à fait logique.