Un peu de physique...

Construction du tenseur de Ricci associé à la métrique de Friedmann

 

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Pour construire le tenseur de Ricci qui intervient du côté géométrique de l’équation d’Einstein il faut tout d’abord déterminer les composants du tenseur de Riemann

 

(a-1)

La formulation du tenseur de Riemann à partir des symboles de Christoffel est relativement complexe :

 

(a-2)

Néanmoins, comme on peut le voir plus haut, seuls les termes interviennent dans le tenseur de Ricci :

 

(a-2 bis)

Dans le cas d’un tenseur diagonal, les symboles de Christoffel s’écrivent de la manière suivante :

 

avec :

(a-3)

Comme nous l’avons démontré dans le chapitre consacré à la métrique de Schwarzschild, la diagonalité du tenseur métrique simplifie considérablement l’écriture des symboles de Christoffel. Seuls les symboles définis comme suit sont non nuls :

 

(a-4)

Revenons à l’expression qui permet de calculer les composants du tenseur de Ricci. Sa formulation complète est la suivante :

 

(a-5)

Nous allons démontrer que le tenseur de Ricci est un tenseur diagonal. Pour cela il nous faut démontrer que = 0 lorsque b est différent de c. Commençons par évaluer les termes dérivés dans l’expression (a-5) :

 

(a-6)

La simplification que nous avons opérée résulte de ce que nous avons rappelé un peu plus haut : les seuls symboles de Christoffel non nuls sont ceux donnés par l’équation (a-4). Si on remplace ces symboles par leur valeur on voit que :

 

(a-7)

(Propriété de commutation des dérivées partielles.) La somme des termes dérivés intervenant dans la formule (a-5) est identiquement nulle. Cette équation se limite donc à la double somme suivante :

 

(a-8)

Cette double somme ne comporte pas moins de 32 termes mais elle se simplifie considérablement si on ne garde que les symboles de Christoffel non nuls. La quantité peut alors s’écrire sous la forme suivante :

 

(a-9)

Dans cette formule les indices a, b, c et d sont différents par construction et les termes et sont définis comme suit :

 

(a-10)

et :

 

(a-11)

On peut remarquer que et jouent un rôle symétrique dans .

L’indépendance des composants par rapport à certaines coordonnées permet de franchir une nouvelle étape dans le processus de simplification :

 

(a-12)

 

(a-13)

 

(a-14)

 

(a-15)

Les indices a, b, c et d étant tous différents nous pouvons peut choisir l’un d’entre eux comme il nous plait : le choix des autres devra alors être fait parmi les autres valeurs d’indice. Nous allons par exemple nous intéresser à l’indice a. Il est facile de voir que est nul quels que soient et (pourvu que ).

 

(a-16)

Ceci découle directement de l’équation (a-12). Considérons maintenant :

 

(a-17)

Nous allons démontrer que est également nul . Première étape : supposons que ou est nul. Il vient :

 

(a-18)

C’est la conséquence de (a-12) et (a-13).

Deuxième étape : et c sont tous deux non nuls. Cette fois seule l’équation (a-13) suffit à démontrer la nullité de .

Pour les autres valeurs de a il faut rentrer un peu plus dans le détail. Résumons toutes les configurations possibles dans le tableau qui suit. Pour simplifier l’écriture, on s’est intéressé à la valeur de 4 .

Pour parachever le calcul, il suffit de remplacer les symboles par leur formulation effective :

 

(a-19)

 

(a-20)

D’où il vient :

 

et :

(a-21)

Il est facile de voir que tous les termes du tableau sont nuls. On est donc parvenu au résultat annoncé : tous les termes sont nuls dès lors que et ne sont pas égaux. Le tenseur de Ricci est bien un tenseur diagonal.

Il reste maintenant à calculer les valeurs de ses composants .

 

(a-22)

La tâche est plus fastidieuse. Comme précédemment nous allons considérer séparément la somme des termes dérivés (elle n’est pas nulle dans le cas d’un terme diagonal) et la double somme. Nous allons nous intéresser tout d’abord à la double somme que nous appellerons :

 

(a-23)

On peut simplifier en tirant parti de la nullité de certains symboles dans le cas de tenseurs diagonaux (équation a-4). Le tableau qui suit explicite chacun des termes intervenant dans la double somme.

Considérons chacune des lignes de ce tableau :

 

(a-24)

 

(a-25)

 

(a-26)

 

(a-27)

Il est facile de voir qu’il s’agit en fait de la même formule obtenue par permutation circulaire de a, c et d. Rappelons que a, c et d sont tous trois différents de b par construction.

Arrivé à ce stade, on ne peut plus faire l’économie du calcul littéral de la valeur des symboles de Christoffel :

 

Il ne reste plus qu’à prendre les différents cas de figure un par un.

Cas b = 0

 

(a-28)

On peut se convaincre facilement que C et D sont égaux à A si l’on permute a, c et d. Le terme de sommation des dérivées s’écrit quant à lui de la manière suivante :

 

(a-29)

Cette expression reste identique si l’on permute a, c et d. Ceci conduit à l’équation suivante :

 

(a-30)

Cas b = 1

 

(a-31)

 

(a-32)

 

(a-33)

D’où il vient :

 

(a-34)

Il faut maintenant calculer les termes dérivés :

 

(a-35)

 

(a-36)

 

(a-37)

Le quatrième terme est identiquement nul. Tous calculs faits on obtient :

 

(a-38)

Cas b = 2

 

(a-39)

 

(a-40)

 

(a-41)

Il faut maintenant calculer les termes dérivés :

 

(a-42)

 

(a-43)

 

(a-44)

Le quatrième terme est identiquement nul. Tous calculs faits on obtient :

 

(a-45)

Cas b = 3

Il se déduit très facilement du précédent :

 

(a-46)

Nous disposons désormais de tous les composants du tenseur de Ricci de la métrique FLRW.

 

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