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Annexe : Tenseur de Ricci de la métrique FLRW

 

Métrique de Friedmann

 

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En formulant la théorie de la relativité générale, Einstein a donné aux astronomes l’outil théorique qui leur manquait pour faire de l’Univers un objet d’étude scientifique. Les premiers travaux d’envergure basés sur la théorie de la relativité générale ont d’ailleurs été réalisés par des astronomes : Karl Schwarzschild et Willem De Sitter ont publié leurs premières contributions quelques mois seulement après les articles d’Einstein.

C’est cependant Alexandre Friedmann qui a le plus marqué l’histoire de la cosmologie du début du XXème siècle. Ce physicien russe de 34 ans a eu l’idée d’appliquer l’équation d’Einstein à un fluide cosmique homogène et isotrope représentatif de l’Univers. Cette simplification radicale s’est avérée porteuse d’enseignements très riches : Friedmann démontra dès 1922 que l’Univers était nécessairement dynamique, condamné à s’étendre ou à se contracter, à moins qu’il ne passe par des phases successives d’expansion/contraction.

Friedmann tenta vainement de convaincre Einstein de la justesse de sa théorie. Celui reconnut qu’elle était mathématiquement exacte mais il resta convaincu (comme l’immense majorité des scientifiques de l’époque) que l’Univers était statique. Friedmann n’eut pas le temps de développer ses idées et de démontrer leur véracité : il mourut en 1925 de la fièvre typhoïde quelques mois après avoir publié un deuxième article sur la dynamique de l’Univers.

Georges Lemaître arriva aux mêmes conclusions que Friedmann sans avoir eu connaissance de ses travaux. Georges Lemaître est un astrophysicien belge qui fut élève d’Eddington. Il publia en 1927 un article sur un univers homogène de rayon croissant. Il eut plus de chance que Friedmann : en 1929, la découverte de la fuite des galaxies par Edwin Hubble va démontrer aux yeux de tous que Friedmann et Lemaître avaient vu juste malgré l’incrédulité d’Einstein. L’Univers est bien dynamique et il est en expansion. Lemaître ira jusqu’au bout de la logique de son raisonnement. Il fut le premier à théoriser le Big-bang. Il faudra pourtant attendre 1964 pour que la découverte du fond diffus cosmologique par Arno Penzias et Robert Wilson vienne confirmer l’intuition géniale de Georges Lemaître.

L’approximation de Friedmann-Lemaître, développée ensuite par les américains Howard Robertson et Arthur Walker, est, encore aujourd’hui, un outil très utile pour analyser l’expansion de l’Univers. Il permet de comprendre la dynamique qui sous-tend le Big-bang ainsi que celle de l’inflation cosmique.

La métrique FLRW

Au cœur de la solution de l’équation d’Einstein développée par Friedmann, Lemaître, Robertson et Walker réside une hypothèse fondamentale : l’hypothèse cosmologique selon laquelle l’Univers est homogène et isotrope. Cette hypothèse est structurante : elle signifie que l’on peut représenter l’espace sous la forme d’une variété à trois dimensions de courbure constante. L’espace-temps est le produit de la variété temps (le corps des réels) et de : .

La courbure de l’espace-temps est la même partout mais elle peut dépendre du temps. Par convention on l’écrit sous la forme . Le coefficient est égal à -1, 0 ou 1 selon que la courbure est négative, nulle (dans le cas d’un espace euclidien) ou positive. Le terme est appelé facteur d’échelle.

Dans ce qui suit, on a adopté des unités telles que = 1.

Il s’agit maintenant de trouver la métrique de cet espace-temps. Pour faciliter le raisonnement, on va partir d’un espace à 2 dimensions muni d’un référentiel cartésien . On procédera à une extension à 3 dimensions plus tard : cela ne posera pas de problème particulier. Si cet espace à deux dimensions est courbe et de courbure positive, il est aisé de s’en faire une représentation en le plongeant dans un espace à trois dimensions. Il suffit de rajouter une troisième dimension fictive u. Cette dimension n’a pas d’existence physique. Elle ne doit pas être confondue avec la 3ème dimension de notre espace. Elle a pour seule vertu de nous faciliter la tâche : elle nous permet de conceptualiser la courbure de l’espace à 2 dimensions en le « plongeant » dans une espace à 3 dimensions. Dès lors que nous passerons à un espace à 3 dimensions, cette conceptualisation sera toujours possible mais il nous sera impossible de la visualiser.

Dans notre espace de plongement, les coordonnées et doivent respecter l’équation :

 

(1)

On a choisi des coordonnées cartésiennes mais on peut tout aussi bien utiliser des coordonnées polaires autour d’un point de notre espace à deux dimensions (attention à ne pas confondre avec le rayon de courbure de l’équation 1) :

 

(2)

En différenciant cette équation pour t = cte il vient :

 

soit :

(3)

Cette formule peut se réécrire de la manière suivante :

 

(4)

Calculons la distance entre deux points très proches. Si est constant :

 

(5)

Si est constant (merci Pythagore) :

 

(6)

Dans un espace-temps à 2+1 dimensions la métrique s’écrit donc de la manière suivante :

 

(7)

Cette équation se simplifie si l’on procède à un changement de variable :

 

avec :

(3)

Nous avons raisonné jusqu’à présent avec une courbure positive : on peut étendre ce résultat à une courbure de signe quelconque :

 

(8 bis)

Equation dans laquelle caractérise la courbure de la géométrie :

  • = 1 :    courbure positive
  • = 0 :    courbure nulle, géométrie euclidienne
  • = -1 :   courbure négative

Il n’y a pas de difficulté à passer maintenant à un espace à 3 dimensions plongé dans un espace virtuel à 4 dimensions :

 

(9)

Exprimé sous forme tensorielle, cela conduit à un tenseur diagonal dont les composants s’écrivent de la façon suivante

 

(10)

avec :

 

(11)

C’est la métrique FLRW. Elle est appelée de la sorte d’après les initiales de ses 4 découvreurs. Les coordonnées de cette métrique ont une particularité tout à fait intéressante. En effet, un point dont les coordonnées spatiales sont constantes suit une géodésique lorsqu’on fait varier .

Cette propriété se démontre simplement. Puisque les cordonnées spatiales sont constantes on peut écrire :

 

si :

(12)

La diagonalité de la métrique et l’indépendance de certains de ses composants par rapport aux coordonnées (voir les chapitres précédents) conduisent à démontrer que si (voir annexe). L’équation géodésique est donc bien vérifiée pour les points dont les coordonnées spatiales sont fixes :

 

si :

(13)

La démonstration est aisée :

  • Le terme est nul (voir équation 12).
  • Le double produit est également nul si ou (idem : équation 12).
  • Si , alors c’est qui est nul.

Cette propriété a deux conséquences :

  • Les coordonnées sont dites comobiles. Un objet placé en un point défini par conserve ce jeu de coordonnées au cours du temps en l’absence d’une impulsion extérieure.
  • La coordonnée est le temps propre en ce point. On l’appelle temps cosmique.

Le tenseur énergie-impulsion

Nous avons défini une métrique qui permet de décrire un fluide homogène et isotrope représentatif de l’Univers à grande échelle. Notre objectif (celui de Friedmann) est de décrire la dynamique de l’évolution de l’Univers. Cette métrique ne constitue donc qu’une première étape. Il nous faut maintenant écrire l’équation d’Einstein correspondant à cette métrique. Comme nous l’avons vu, cette équation s’écrit :

 

 

Pour rester cohérent avec les conventions du chapitre précédent, nous allons prendre des unités telles que = 1.

Il nous faut donc déterminer :

  • le tenseur énergie-impulsion d’un fluide homogène et isotrope,
  • le tenseur de Ricci associé à la métrique.

Nous allons commencer par construire le tenseur dans un cadre semi-classique, celui de l’espace-temps de Minkowski. Considérons un gaz parfait composé de particules de masse au repos . Considérons parmi ces particules toutes celles qui ont une vitesse . Supposons que leur densité par unité de volume dans le référentiel de ces particules soit . Si on se place cette fois dans le référentiel du gaz parfait, les quadrivecteurs vitesse et impulsion de ces particules s’écrivent :

 

(14)

Toujours dans le référentiel du gaz parfait le flux de particules de vitesse au travers d’une surface unitaire orienté dans la direction est :

 

(15)

On peut généraliser cette équation en définissant un quadrivecteur flux de la manière suivante :

 

(16)

Le composant du tenseur énergie-impulsion est le flux de la composante du vecteur quadri-impulsion au travers de la direction.

Le tenseur peut donc s’écrire sous la forme du produit tensoriel du quadrivecteur flux et du quadrivecteur impulsion :

 

(17)

Examinons chacun de ses composants. Commençons par :

 

(18)

est la densité d’énergie des particules de vitesse . On peut donc écrire :

 

(18 bis)

étant la densité mesurée dans le référentiel du gaz. Passons maintenant aux composants :

 

(19)

La distribution des vitesses étant symétrique, il vient :

 

(19 bis)

Par symétrie, il en va de même pour . Examinons finalement les composants :

 

qui est nul si et ne sont pas égaux (distribution des vitesses dans un gaz parfait).

(20)

est nul si et ne sont pas égaux (distribution des vitesses dans un gaz parfait). Si , le terme représente la pression des particules dans la direction . Le tenseur énergie-impulsion s’écrit donc très simplement dans un espace-temps minkowskien :

 

(21)

Cette expression peut aussi s’écrire de la manière suivante :

 

(22)

est la métrique minkowskienne et le quadrivecteur vitesse du gaz parfait dans le référentiel du gaz parfait :

 

(23)

(La nullité des composants tels que est une fois de plus une conséquence de la distribution symétrique des vitesses.)

Cette expression se généralise dans le cas d’un espace courbe. Il vient :

 

(22 bis)

Dans le cas qui nous intéresse, ceci permet d’écrire :

 

(24)

Tenseur de Ricci et courbure scalaire

L’équation d’Einstein fait également intervenir le tenseur de Ricci et la courbure scalaire. Pour construire le tenseur de Ricci il faut tout d’abord construire le tenseur de Riemann puisque :

 

(25)

Le tenseur de Riemann s’obtient à partir des symboles de Christoffel :

 

(26)

Le calcul des composants du tenseur de Riemann de la métrique FLRW est donné en annexe. Ils s’écrivent comme suit :

 

(27)

 

(28)

 

(29)

 

(30)

La courbure scalaire se déduit de ce qui précède. Par définition, elle est égale à :

 

(31)

Compte tenu de la diagonalité du tenseur métrique et du tenseur de Ricci, ceci s’écrit :

 

(32)

Si on remplace les termes diagonaux par leur valeur littérale il vient :

 

(33)

Les équations de Friedmann

Nous avons déterminé le tenseur énergie-impulsion et le tenseur de Ricci associé à la métrique de Friedmann-Lemaître. Nous avons désormais tous les éléments nécessaires pour formuler l’équation d’Einstein d’un univers homogène et isotrope :

 

 

étant la constante cosmologique. Les deux membres de cette équation sont diagonaux. En introduisant dans cette équation la valeur des composants des tenseurs considérés, cette équation se résume aux deux équations suivantes :

 

(35)

 

(34)

Ces équations sont appelées équations de Friedmann :

 

(36)

 

(37)

Dans la littérature, on trouve également la formulation suivante :

 

(36 bis)

 

(37 bis)

est le paramètre de Hubble qui est défini comme suit :

 

(38)

est supposé constant dans l’espace mais il ne l’est pas dans le temps (sauf cas particulier comme on le verra plus loin).

Quelques équations remarquables

Les équations de Friedmann expriment sous une forme condensée les lois générales qui gouvernent la dynamique de l’Univers. Nous étudierons au chapitre suivant quelques-unes des solutions de ces équations. Sous leur forme générale, elles restent très abstraites et sont difficilement interprétables. En manipulant ces équations on peut cependant mettre en évidence quelques lois plus directement utilisables pour analyser l’évolution de la densité d’énergie et de la pression et leur impact sur la dynamique de l’Univers.

Additionnons les équations (36) et (37) et multiplions le résultat par . Il vient :

 

(39)

Le second membre de cette équation est (à un facteur -3 près) la dérivée du premier membre de l’équation (36). On peut donc écrire :

 

(40)

C’est la première des équations remarquables qui découlent des équations de Friedmann. C’est une équation d’état : elle relie directement la densité et la pression. Elle nous sera très utile par la suite pour analyser les différentes configurations possibles d’Univers.

Revenons à l’équation (36). On peut la reformuler en faisant apparaître le terme .Dans la mesure où représente le facteur d’échelle de l’Univers, ce terme exprime tout simplement la quantité d’énergie contenue dans un volume exprimé en unités comobiles :

 

(41)

Dérivons cette équation :

 

(42)

Si l’on met en facteur dans le second membre, on peut reconnaître l’expression de telle qu’elle apparaît dans l’équation (37). On peut donc écrire :

 

(43)

Cette équation est tout aussi intéressante que l’équation d’état (40). Le premier terme représente la variation d’énergie dans un volume comobile. Le second correspond au travail nécessaire pour faire varier ce volume.

Pour terminer ce paragraphe sur les équations remarquables, on peut combiner les équations (36) et (37) de la manière suivante :

 

(44)

Cette troisième équation nous montre le rôle déterminant que joue la quantité dans la dynamique de l’Univers. En effet, si le membre de gauche de l’équation est positif, l’Univers est soumis à une expansion accélérée !

En l’absence de constante cosmologique, c’est le cas lorsque la pression est négative et que sa valeur absolue est supérieure à (condition de De Sitter). On suppose que ce type de situation s’est produit aux tout premiers instants de l’Univers et a donné lieu à la phase dite d’inflation cosmique.

Lorsque la constante est positive, son effet répulsif se fait sentir dès lors que :

 

(45)

Cela se produit en particulier lorsque l’Univers est constitué majoritairement de matière non relativiste (voir au chapitre suivant : Univers de poussières) et qu’il est en expansion. La pression dans ce cas est négligeable et l’effet de l’expansion conduit à diluer progressivement la densité d’énergie :

 

(46)

Lorsque :

 

(47)

l’expansion devient accélérée. Cette accélération de l’expansion accentue l’effet de dilution, ce qui renforce en retour ladite accélération. Le terme ne tarde pas à devenir négligeable devant la constante cosmologique. L’équation (45) devient :

 

(48)

Les solutions de l’équation (48) sont bien connues. Il s’agit des fonctions exponentielles (ou plus précisément hyperboliques). Elles se rapprochent d’une solution particulière de d’équation d’Einstein qui appelée Univers de De Sitter et que nous étudierons dans le chapitre suivant. Elles décrivent un Univers en expansion accélérée. Or les mesures faites en 1998 par les astrophysiciens Saul Perlmutter et Adam Riess conduisent à penser que notre univers est entré depuis 7 milliards d’années dans une phase de ce type !

Remarque : On utilise souvent le terme de gravitation répulsive pour caractériser cette situation et le rôle de Λ. C’est un raccourci incorrect. L'effet répulsif en question est liée à l'équation d'état (43). Il intervient comme solution à cette équation.

Pression négative

Dans le paragraphe précédent, nous avons implicitement supposé que l’Univers pouvait être rempli d’une pression négative. C’est à première vue plutôt bizarre. On voit bien à quoi correspond une pression positive et l’effet qu’elle peut avoir. Prenons par exemple un moteur à explosion. L’étincelle de la bougie enflamme le mélange et le dégagement d’énergie dans le cylindre produit une forte pression positive qui repousse le piston. L’augmentation du volume de l’ensemble cylindre + piston permet de fournir de l’énergie au système extérieur :

 

(49)

A l'inverse, prenons le cas d'un cylindre rempli de gaz à pression atmosphérique plongé sous 10 m d'eau. Cette fois il faut fournir de l'énergie au cylindre pour augmenter son volume. L’équation ci-dessus est toujours vérifiée mais est négatif.

Prenons maintenant le cas d’un volume élémentaire Ve d’Univers rempli d’une densité d’énergie . Supposons que l’Univers soit en expansion mais que sa densité d’énergie reste constante (c’est tout à fait concevable s’il s’agit, par exemple d’une énergie potentielle scalaire). L’expansion de l’Univers induit une augmentation de la taille du volume élémentaire Ve. Cela se traduit donc par une augmentation de l’énergie contenue dans ce volume :

 

(50)

On se retrouve dans la situation du cylindre immergé : l’augmentation de notre cylindre d’Univers nécessite un apport d’énergie. Cela correspond bien à une situation dans laquelle la pression est négative. On peut d’ailleurs écrire dans ce cas :

 

(51)

Il n’y a donc rien de mystérieux à ce que l’Univers puisse être le siège d’une pression négative. Ce qui l’est beaucoup plus, c’est que cette pression puisse avoir un effet répulsif. A priori, on se dit qu’un récipient rempli d’un gaz dont la pression est négative devrait s’écraser sur lui-même. C’est exact si l’on considère l’effet des forces qui s’exercent du fait de la différence de pression avec l’extérieur, mais ce n’est pas de cela qu’il s’agit. Ce dont il est question ici, c’est de l’effet d’une pression négative sur le tenseur énergie-impulsion, et donc sur l’équation d’Einstein.

Or nous avons vu que le signe de la quantité était déterminant pour l’évolution de l’Univers. Dans le cas qui nous intéresse il est négatif puisque :

 

(52)

Les conditions sont donc potentiellement réunies pour déclencher une expansion exponentielle de l’Univers !

Dans l'environnement auquel nous sommes accoutumés, la pression P est très faible devant la densité d’énergie-matière (voir le chapitre consacré à l'Univers de poussière). Même si cette pression était négative, la condition de De Sitter ne serait pas remplie. Seul l’effet mécanique dû à la différence de pression se fait sentir (le récipient qui s’écrase sous l’effet d’une pression négative). Il faut des conditions très spécifiques pour qu’une pression négative entraîne une expansion exponentielle de l’Univers. Ces conditions ont probablement été réunies dans l’Univers primordial et elles sont à l’origine de l’inflation cosmique.

Densité critique

Avant de décrire quelques-unes des solutions des équations de Friedmann, il peut être utile de Revenir un peu en arrière… La première équation de Friedmann (équation 36-bis) peut s’écrire de la façon suivante :

 

(53)

Lorsque la courbure de l’espace est nulle (c’est-à-dire lorsque k = 0), cette expression se résume à l’équation suivante :

 

ou encore :

(54)

avec :

 

ou encore :

(55)

La quantité joue un rôle très important en cosmologie. Elle est appelé densité critique. L’équation (53) peut s’écrire de la manière de la manière suivante :

 

(53 bis)

On voit bien l’importance de la notion de densité critique :

  • Si        k > 0   et l’univers a une courbure spatiale positive,
  • Si        k < 0   et l’univers a une courbure spatiale négative,
  • Si        k = 0   et l’univers est plat (euclidien).

Comme on peut le voir également, cette densité n’est pas constante. Elle dépend de la constante de Hubble, donc du facteur d’expansion de l’Univers.

Nota : pour déterminer la valeur de la densité critique aujourd’hui, il faut revenir à un système d’unités naturelles (c.à.d. tel que c soit égal à 300 000 km/s). On peut écrire dans ce cas :

 

(55 bis)

La valeur de mesurée aujourd’hui est de 68 km/s/Mpc à 5% près. Le Mpc (mégaparsec) est une unité utilisée en astronomie. Il vaut 3.085 10-19 km. On peut en déduire que la densité critique est aujourd’hui de 9 10-10 , soit 6 . A titre de comparaison, la masse d’un proton est de 1 GeV environ .

On trouve souvent dans la littérature une formulation de l’équation (53) qui fait intervenir la notion de densité relative :

 

(56)

L’équation (53) devient :

 

soit :

(57)

La quantité est souvent présentée comme étant le facteur d’échelle de l’Univers. On peut aussi l’identifier au rayon de courbure de l’Univers (voir le chapitre précédent).

 

soit :

(58)

On exprime cette relation en introduisant la quantité baptisée rayon de Hubble :

 

dans un système d’unités tel que c = 1.

(59)

On peut écrire :

 

(60)

On parvient au résultat très remarquable suivant : le rayon de courbure de l’Univers ne dépend que de sa densité relative et du rayon de Hubble.

Remarque : On peut s'étonner du fait que le terme Λ, qui contribue positivement à la masse de l’Univers puisse avoir un effet gravitationnel répulsif. L’explication de ce paradoxe est la suivante. Réécrivons le terme de constante cosmologique sous la forme d’un tenseur énergie-impulsion :

 

 

A distance de toute forme de matière, le tenseur métrique est très voisin du tenseur de Minkowski . Ceci signifie que peut s’écrire sous la forme :

 

 

avec le terme (la densité de masse) positif et le terme (la pression) négatif. On se retrouve donc bien dans les conditions de pression négatives décrites précédemment.