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Solutions particulières de l'équation de Friedmann

 

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Les équations de Friedmann ont un gros avantage : elles admettent des solutions analytiques relativement simples. Nous allons détailler plus particulièrement deux de ces solutions. La première décrit un univers de poussières qui est représentatif de l’univers dans lequel nous vivons. La seconde décrit un univers de radiations, beaucoup plus proche du comportement de l’Univers après le Big-bang.

Auparavant, il est intéressant d’examiner une solution particulière de d’équation d’Einstein qui a été proposée dès 1917 par l’astrophysicien néerlandais Willem De Sitter. Cette solution, qui décrit ce que l’on appelle l’Univers de De Sitter concerne un univers très théorique : un espace vide de matière avec constante cosmologique positive. On pourrait croire qu’elle ne mérite qu’un hochement de sourcil amusé... On aurait tort de la négliger : elle fournit un modèle simple et basique à utiliser pour décrire certaines phases de l’expansion de l’Univers.

Nous terminerons ce chapitre en donnant quelques explications sur la notion de décalage vers le rouge cosmologique1 qui est directement dérivée des métriques Friedmanniennes. La mesure du décalage cosmologique permet aux astronomes d’évaluer la distance qui nous sépare des étoiles et des galaxies.

Le modèle de De Sitter : expansion exponentielle de l’Univers

Rappelons un résultat remarquable présenté dans le chapitre précédent :

 

(1)

avec :

  •    la constante cosmologique,
  •    la densité d’énergie,
  •    la pression
  •    le facteur d’échelle.

Comme on l’a souligné, la quantité joue un rôle déterminant dans l’évolution dynamique d’un tel Univers. Si le membre de gauche de l’équation est positif, l’Univers est soumis à une expansion accélérée. Supposons que ce soit le cas et appelons la quantité définie comme suit :

 

(2)

Si est constant, la résolution de l’équation (1) conduit à une fonction telle que :

 

si

(3-a)

 

si est nul

(3-b)

 

si

(3-c)

Dans ce modèle, est appelé constante de Hubble. Par ailleurs, caractérise la courbure de l’espace2 : elle est positive si , nulle si est nul et négative si .

Le modèle exponentiel de De Sitter, d’apparence peu réaliste, est néanmoins pertinent dans deux cas particuliers. Considérons tout d’abord celui d’un Univers soumis à une constante cosmologique positive et subissant une phase d’expansion prolongée. L’expansion de l’Univers dilue la densité d’énergie. Si la pression est faible (matière non relativiste, faible rayonnement) le terme va devenir largement prépondérant. Dans ces conditions, le modèle de De Sitter devient tout à fait pertinent. La constante de Hubble tend alors vers la valeur :

 

(4)

Cet Univers, c’est probablement le nôtre ! Les mesures faites en 1998 par Saul Perlmutter et Adam Riess sur la vitesse d’éloignement et la distance de plusieurs groupes de supernovæ de type IA conduisent en effet à penser que la constante cosmologique de notre Univers n’est pas nulle et que celui-ci est entré depuis 7 milliards d’années dans une phase d’expansion accélérée !

Le modèle de De Sitter est également pertinent dans un autre contexte. Celui de l’Univers primordial. Supposons que celui-ci soit rempli par un champ scalaire d’intensité constante de densité . Nous avons démontré dans le chapitre précédent un autre résultat remarquable :

 

(5)

Si la densité d’énergie est constante, on en déduit automatiquement :

 

(5 bis)

L’équation (1) devient :

 

(6)

On se retrouve dans une situation d’emballement. C’est un tel mécanisme qui est mis en avant par les astrophysiciens pour expliquer l’inflation cosmique qui aurait augmenté les dimensions de l’Univers d’un facteur 1030 pendant les tout premiers instants qui ont succédé au Big-bang (voir chapitre suivant).

Univers de poussières

Le scenario d’Univers de poussières est beaucoup moins exotique. On appelle univers de poussières un univers composé de matière non relativiste (c’est-à-dire se déplaçant à une vitesse non relativiste) et dans lequel la proportion d’énergie de rayonnement est négligeable. En première approximation, cet univers est donc caractérisé par une pression nulle.

Revenons à la formulation de la première équation de Friedmann. En multipliant les deux membres de cette équation par on peut écrire :

 

(7)

Etudions dans un premier temps le cas de figure correspondant à un univers plat de constante cosmologique nulle. Dans ce cas cette équation se simplifie considérablement :

 

(8)

Nous allons utiliser ici un autre résultat remarquable présenté dans le chapitre précédent :

 

(9)

Si la pression est nulle la quantité est constante. On peut donc écrire :

 

(10)

Il vient :

 

(11)

Cette équation différentielle se résout facilement. La solution s’écrit sous la forme suivante :

 

(12)

Le facteur d’échelle est une fonction croissante qui varie comme la puissance 2/3 de l’âge d’un Univers de poussières. Cet univers connaît une expansion qui se prolonge indéfiniment mais la dérivée du facteur d’échelle ne cesse de décroître (équation 11). Elle tend asymptotiquement vers zéro lorsque t tend vers l’infini.

La naissance de cet univers est du type Big-bang : la densité d’énergie varie comme l’inverse du carré de l’âge de l’Univers (équation 10). Elle est donc infinie pour un univers naissant. Plus l’univers vieillit, plus il se dilue.

Notons enfin qu’en combinant (11) et (12) on peut écrire :

 

soit :

(13)

Le paramètre de Hubble d’un Univers de poussières est donc inversement proportionnel à son âge.

On est parti de l’hypothèse que cet univers était plat. Que se passerait-il s’il ne l’était pas ? Examinons tout d’abord le cas d’un univers de courbure positive. L’équation (7) devient :

 

(14)

A priori, rien ne change aux premiers temps de cet univers : le premier terme du second membre est dominant par rapport au terme constant lié à la courbure. On est donc également en présence d’un univers Big-bang. Les choses changent lorsque l’univers vieillit. L’équation (14) admet une racine pour une valeur égale à :

 

(15)

L’équation (10) reste valide puisque la pression est nulle. On peut donc écrire :

 

(16)

Revenons à l’équation (14). On peut la reformuler comme suit :

 

(17)

La courbe correspondant à cette équation différentielle est une courbe en cloche. Elle n’a pas de solution analytique simple. On peut néanmoins la calculer avec un simple tableur en remarquant qu’elle est symétrique par rapport à son point maximum. Il suffit donc de déterminer l’allure de la demi-arche correspondant à la phase d’expansion. Cela se fait aisément en programment l’équation aux différences qui suit:

 

(18)

Figure 1 : Courbe en cloche du facteur d’échelle d’un univers de poussière.

Un Univers de poussières dont la courbure est positive va connaître une première phase d’expansion jusqu’à atteindre le point d’extension maximale correspondant à un facteur d’échelle qui vaut (équation 16). Une fois passé ce pic, l’univers va se contracter de plus en plus rapidement pour revenir à un point de densité infinie. Les astrophysiciens évoquent cette possibilité en parlant de Big crunch.

Lorsque la courbure est négative l’équation (7) s’écrit :

 

(19)

On part donc d’un Big-bang comme dans les deux cas de figure précédents mais cette fois l’expansion ne ralentit jamais. Lorsque t tend vers l’infini le premier terme du second membre de l’équation tend vers zéro puisque :

 

avec    croissant

(10 bis)

Il ne reste dans l’équation que le terme constant dû à la courbure. L’accélération se poursuit au même rythme indéfiniment.

Influence de la constante cosmologique sur un univers de poussières

Pour terminer ce tour d’horizon des Univers de poussières, il reste à considérer l’influence de la constante cosmologique sur leur évolution. Ces considérations ne font que généraliser ce qui précède. Rappelons l’équation qui gouverne l’évolution de l’univers :

 

(7 bis)

Constante cosmologique négative

Lorsque la constante cosmologique est négative, le troisième terme du second membre est négatif. La constante cosmologique s’oppose toujours à l’expansion. Le Big crunch est inéluctable. C’est évident si la courbure est positive : la constante cosmologique a pour effet de renforcer celui de la courbure. C’est également vrai si la courbure est négative ou nulle. On peut s’en convaincre en raisonnant par l’absurde. Supposons que croisse indéfiniment. Le troisième terme, dont le signe est négatif, prendrait de plus en plus d’importance jusqu’à devenir prépondérant... ce qui est en contradiction complète avec l’hypothèse de croissance de .

Constante cosmologique positive

Lorsque la constante cosmologique est positive, l’éventail des possibilités est plus large. Lorsque la courbure est négative ou nulle, l’effet de la constante cosmologique conduit à renforcer l’expansion. Il se produit un phénomène d’emballement : plus le facteur d’échelle augmente, plus la valeur du troisième terme de l’équation croît. Il finit par devenir prépondérant :

 

(20)

Cette équation différentielle est celle qui gouverne l’évolution d’une fonction exponentielle : l’expansion d’un Univers de poussières soumis à une constante cosmologique positive et de courbure négative ou nulle prend un caractère exponentiel lorsque t tend vers l’infini. On parle de Big rip.

Lorsque la courbure est positive, les deux scenarii sont possibles (Big crunch ou Big rip) en fonction de la valeur de .

Conditions initiales

Nous avons discuté jusqu’à présent du comportement de l’univers lorsque tend vers l’infini. Quid des conditions initiales ?

Pour déterminer ces conditions, nous allons considérer la fonction définie comme suit :

 

(21)

Nota : Attention à ne pas faire de confusion. La fonction ne représente pas l'évolution du facteur d'échelle dans le temps. Elle donne par contre de précieuses indications sur les valeurs possibles du facteur d'échelle et sur la valeur de sa dérivée. Par exemple, les valeurs de telles que < 0 n'ont pas de sens physique. Cette fonction permet donc de se faire une représentation approximative de l'évolution du facteur d'échelle dans le temps. Les tableaux qui suivent récapitulent les différents scenarii d'évolution de l'Univers possibles en fonction du signe de la courbure et de la constante cosmologique . Comme on pourra le voir, courbure de l’espace et comportement dynamique de l’Univers ne sont pas nécessairement liés. Un Univers fermé (à courbure positive) peut très bien être en expansion infinie. La courbure dépend en effet de la densité de matière-énergie, ou plutôt du rapport entre densité de matière-énergie et densité critique. Le comportement dynamique dépend principalement de la constante cosmologique. On constatera également que tous les scenarii à l’exception d’un seul débutent par un Big-bang : facteur échelle nulle, croissance rapide.

< 0 ,    = -1, 0, +1

La fonction est positive de 0 à . Les valeurs de supérieures à n’ont pas de sens physique. tend vers l’infini lorsque tend vers zéro.

L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit en décélérant jusqu’à ce que le facteur d’échelle atteigne la valeur . L’Univers entre alors dans une phase de contraction de plus en plus rapide. C’est le Big crunch.

= 0 ,    = +1

La fonction est positive de 0 à . Les valeurs de supérieures à n’ont pas de sens physique. tend vers l’infini lorsque tend vers zéro.

L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit en décélérant jusqu’à ce que le facteur d’échelle atteigne la valeur . L’Univers entre alors dans une phase de contraction de plus en plus rapide. C’est le Big crunch.

Les deux premiers tableaux correspondent au scenario Big-bang / Big crunch décrit plus haut. L’univers part d’une situation de Big-bang. Il connaît une phase d’expansion jusqu’au point pour lequel on . Ensuite il se contracte et s’effondre sur lui-même.

= 0 ,    = 0

La fonction est toujours positive. tend vers l'infini lorsque tend vers zéro. tend vers zéro lorsque tend vers l'infini.

L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit. Il tend asymptotiquement vers zéro lorsque tend vers l'infini.

= 0 ,    = -1

La fonction est toujours positive. tend vers l'infini lorsque tend vers zéro. tend vers 1 lorsque tend vers l'infini.

L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit. La croissance du facteur d'échelle tend asymptotiquement vers une valeur constante lorsque tend vers l'infini.

Les deux suivants correspondent à un scenario Big-bang / expansion infinie. L’Univers est en expansion continue mais cette expansion reste modérée.

> 0 ,    < ,    = 1

La fonction est positive de 0 à . Les valeurs de comprises entre et n'ont pas de sens physique. redevient positive au-delà et tend vers l'infini lorsque tend vers l'infini.

Il existe une solution physique pour laquelle l'Univers démarre avec un facteur d'échelle non nul. Il n'y a donc pas de Big-bang3. Cette solution n'est pas stable : le plus petit écart va entraîner l’Univers dans une expansion inexorable qui finira par s’emballer. C’est un scenario de Big rip.

Le cas présenté dans le 5ème tableau est tout à fait particulier. Il autorise un scenario dans lequel le facteur d’échelle part d’une valeur non nulle. C’est donc un scenario sans Big-bang ! C’est à un scenario de ce type qu’Einstein pensait lorsqu’il a introduit sa constante cosmologique. Einstein avait en effet introduit cette constante pour s’adapter à un univers statique. Friedmann est le premier à avoir compris qu’une telle solution n’était pas stable (ce que démontre le tableau ci-dessus). Tout d’abord, elle suppose que soit strictement égal à , ce qui est hautement improbable. Ensuite, tout écart par rapport à cette valeur, si minime soit-il, conduit nécessairement à une croissance du facteur d’échelle qui l’éloigne du point défini par .

> ,    = 1

La fonction est toujours positive. tend vers l’infini lorsque tend vers 0. Elle décroît jusqu’à atteindre un minimum lorsque puis croît de nouveau et tend vers l’infini.

L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit dans un premier temps. Au fil du temps, le facteur répulsif dû à la constante cosmologique positive prend le pas sur les autres termes et l’expansion reprend un rythme accéléré. Elle finit par devenir exponentielle : c’est également un scenario de Big rip.

> 0 ,    = 0 ou -1

La fonction est toujours positive. tend vers l’infini lorsque tend vers 0. Elle décroît jusqu’à atteindre un minimum lorsque puis croît de nouveau et tend vers l’infini.

L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit dans un premier temps. Au fil du temps, le facteur répulsif dû à la constante cosmologique positive prend le pas sur les autres termes et l’expansion reprend un rythme accéléré. Elle finit par devenir exponentielle : c’est encore un scenario de Big rip.

Dans les deux derniers tableaux on revient à un scenario Big-bang / expansion infinie. Cette fois, cependant, l’expansion s’emballe au bout d’un certain temps et devient exponentielle (de type Univers de De Sitter). On parle dans ce cas de Big rip.

Univers de radiations

Dans un univers rempli de radiations (ou de matière relativiste4) il n’est plus possible de considérer que la quantité est constante5. Il est facile de comprendre pourquoi. La pression exercée par les photons6 (ou les particules relativistes) n’est plus négligeable. Elle vaut :

 

(22)

Or, dans le chapitre précédent, nous avons établi la formule suivante :

 

 

La pression de radiation entraîne donc une évolution de avec l’expansion :

 

(23)

En développant les termes dérivés il vient :

 

(24)

Ou encore :

 

(25)

La seule solution possible est :

 

(26)

On voit que la densité décroit beaucoup plus vite dans un Univers de radiations que dans un Univers de poussières. Reprenons la méthode que nous avons utilisée précédemment pour analyser les différentes solutions des équations. Comme on l’a vu au chapitre précédent, la première équation de Friedmann peut s’écrire :

 

(27)

Dans le cas d’un univers plat et sans constante cosmologique il vient :

 

(27 bis)

En introduisant la valeur de calculée grâce à l’équation (26) cela conduit à écrire :

 

(28)

La solution de cette équation différentielle se déduit très simplement de l’équation (28) :

 

(29)

On peut constater que la densité varie toujours comme l’inverse du carré de l’âge de l’univers. On en tire l’égalité suivante :

 

(30)

étant la constante de Hubble. Les conclusions que l’on peut tirer dans le cas d’un espace courbe ou en présence d’une constante cosmologique sont à peu près les mêmes aux premiers âges de l’Univers que dans le cas d’un univers de poussières. C’est en effet le premier terme de l’équation (27) qui dicte son comportement au facteur d’échelle aux premiers instants après le Big-bang. Or ce terme tend vers l’infini lorsque t tend vers zéro :

 

 

Le comportement lorsque t tend vers l’infini n’a pas d’intérêt pour la cosmologie : l’expansion de l’Univers conduit à une dilution rapide de l’énergie de radiation, plus rapide que celle de l’énergie de matière non relativiste. On aura donc inéluctablement transition d’un modèle d’univers de radiations vers un Univers de poussières.

Equation d’état

Entre ces deux situations très tranchées (univers de radiations et univers de poussières) il existe toute une palette de situations intermédiaires. Elles sont caractérisées par une équation d’état :

 

(31)

Nous avons démontré dans le chapitre précédent le résultat remarquable suivant :

 

 

Ceci conduit à écrire :

 

(32)

... ou encore :

 

(33)

Il vient :

 

(34)

Si on combine l’équation qui précède avec l’équation (6-bis), ceci conduit à la formule suivante pour le facteur d’échelle :

 

(35)

Si l’on connaît les valeurs de et de à un instant quelconque, il vient :

 

(36)

Dès lors que est supérieur à -1 on se trouve dans les conditions d’un Big-bang.

Rappelons la troisième équation remarquable que nous avions mise en évidence à partir des équations de Friedmann :

 

 

En l’absence de constante cosmologique on peut réécrire cette équation de la façon suivante :

 

(37)

étant toujours positif, on voit que l’expansion est accélérée si -1 < < -1/3 et qu’elle est décélérée au-delà.

Décalage vers le rouge cosmologique

Comme nous venons de le démontrer, la théorie de la relativité générale nous décrit un monde qui ne peut pas rester statique. Nous verrons au chapitre suivant comment on peut construire un scenario de l’évolution de l’Univers qui permet d’expliquer de manière étonnamment précise la plupart des observations faites par les astronomes. Il en est une qui a joué un rôle décisif dans l’histoire de la cosmologie au XXème siècle : celle de la fuite des galaxies. Comment cette fuite des galaxies a-t-elle pu être mesurée ? L’explication est assez simple… et c’est une application directe de la relativité générale !

L’expansion de l’Univers a un effet direct sur la longueur d’onde des photons : celle-ci augmente directement avec le facteur d’expansion. On appelle ce phénomène le décalage vers le rouge cosmologique7 (cosmological redshift en anglais). Ce décalage vers le rouge ne doit pas être confondu avec le décalage gravitationnel. C’est la mesure de ce décalage vers le rouge qui permet de quantifier la distance qui nous sépare des galaxies lointaines. La lumière qui nous arrive en provenance de ces galaxies a été émise il y a plusieurs milliards d’années. La mesure de leur décalage vers le rouge nous renseigne sur le moment auquel elle a été émise, donc sur la distance de ces galaxies.

Dans la métrique FLRW, l’équation géodésique d’un photon s’écrit :

 

(38)

Considérons un photon émis à l’instant t0 et perçu à l’instant t1. On peut écrire :

 

(39)

Pour un autre photon émis après une période on peut écrire de la même façon :

 

(40)

Le second membre de ces deux équations est identique. On peut donc écrire :

 

(41)

On peut décomposer cette équation comme suit :

 

(42)

En réarrangeant les deux derniers termes du membre de droite de cette double équation il vient :

 

(43)

La variation du facteur d’échelle est infinitésimale sur une période. On peut donc écrire :

 

(44)

Ou encore :

 

(45)

Dans cette formule, représente le décalage vers le rouge cosmologique. Comme on connaît le spectre d’émission des galaxies, il est facile de déterminer ce décalage et donc de remonter au moment où le rayonnement a été émis à partir du modèle d’expansion de l’Univers.

Que devient l’énergie des photons ?

La conséquence directe du redshift des photons est que ceux-ci perdent de l’énergie. Ceci conduit à se poser la question suivante : que devient cette énergie ? N’y a-t-il pas violation de la loi de conservation de l’énergie ? C’est une question qui revient de façon périodique sur les forums de discussion et il est rare qu’on lui donne une réponse appropriée.

Ceux qui posent cette question font en général une confusion entre conservation de l’énergie et conservation de l’impulsion. Lorsqu’on dit que les photons cosmologiques perdent de l’énergie, c’est une manière raccourcie de dire que la composante de leur quadrivecteur énergie-impulsion diminue. Or aucune loi ne dit que cette composante doive être conservée. On a d’ailleurs vu dans le chapitre sur les géodésiques que la conservation d’une composante du quadrivecteur énergie-impulsion n’était assurée que dans des circonstances très particulières. Dans le cas d’un photon par exemple, l’amplitude de la composante de son quadrivecteur énergie-impulsion dépend de la courbure de l’espace-temps. Lorsque cette courbure est assimilable à celle de l’espace, on parle de décalage gravitationnel. Lorsque la courbure affecte aussi le temps, il y a décalage cosmologique.

Si on veut appliquer la loi de conservation de l’énergie, il faut prendre en compte l'énergie totale du système considéré. Prenons le cas, par exemple, d'un volume d’Univers dont les dimensions sont proportionnelles au facteur d’échelle . La loi de conservation de l’énergie nous dit que la variation d’énergie interne doit être égale au travail de la pression lors du changement de volume (exactement comme dans le cas d’un piston). Or qu'est-ce qu'un photon ? C'est un état d'énergie du champ électromgnétique. S'intéresser uniquement à l'énergie d'un photon revient à isoler ce photon du champ dont il n'est que la matérialisation lors d'une interaction. Il nous faut donc prendre en compte l'énergie totale de ce champ, y compris celle liée à la pression qu'il génère. C’est très précisément ce que nous invite à faire la deuxième équation remarquable que nous avions mentionnée dans le chapitre précédent :

 

(46)

Sachant que la pression radiative vaut :

 

(47)

La solution de l’équation (46) s’écrit :

 

(48)

Soit l’énergie moyenne des photons. La densité d’énergie peut donc s’écrire :

 

(49)

On retrouve bien l’équation (10) qui indique que l’énergie des photons varie comme l’inverse du facteur d’échelle.

Que devient l’énergie perdue par les photons ? On pourrait dire, sous forme de boutade, qu'elle sert à pousser les murs... Plus sérieusement, on peut faire le raisonnement qualitatif suivant. Si les photons conservaient la même énergie, il faudrait, pour maintenir la pression correspondante dans cette portion d'Univers qui s'est agrandie, lui injecter une énergie supplémentaire. L'équation (46) ne dit rien d'autre que cela : la perte d'énergie "nominale" des photons compense l'augmentation de l'énergie de pression du champ liée à l'accroissement du volume.

 

Notes

1 : Cosmological redshift en anglais.

2 : Une courbure positive correspond à un Univers de type hypersphère : c’est un Univers sans limite mais d’extension finie (la généralisation de la notion de sphère à un espace à 3 dimensions). On dit aussi qu’il est fermé. Courbure nulle et espace euclidien sont deux termes équivalents. Une courbure négative caractérise un univers hyperbolique.

3 : C’est le seul scenario sans Big-bang. Einstein l’avait privilégié lorsqu’il en vint à considérer les impacts de sa théorie sur l’évolution de l’Univers. Comme bon nombre de scientifiques à son époque, il croyait en un Univers fermé (de courbure positive) dont le facteur d’échelle est constant. C’est pour cette raison qu’il introduisit a posteriori dans son équation une constante cosmologique dont la valeur était calculée précisément pour contrebalancer de la gravitation universelle. Lorsque les mesures réalisées par Hubble lui démontrèrent que l’Univers n’était pas statique, il abandonna la constante cosmologique et la qualifia de « plus grosse bourde de sa vie ».

4 : Un univers rempli de matière relativiste peut être assimilé à un univers de radiations. L’énergie d’une particule de matière relativiste est principalement due à son impulsion. La masse propre de la particule devient en effet négligeable devant son énergie cinétique. Son comportement se rapproche donc de celui d’un photon : masse propre nulle, énergie égale au produit de l’impulsion par la vitesse de la lumière.

5 : La quantité est l’énergie contenue dans un volume comobile.

6 : Le détail du calcul de la pression de radiation est donné dans l’annexe du chapitre suivant.

7 : On parle parfois d’effet Doppler mais c’est une appellation impropre. L’effet Doppler est dû au mouvement relatif de la source et du récepteur alors que, dans le cas qui nous intéresse, source et récepteur sont immobiles (ou plutôt comobiles).