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Espaces courbes

Annexe 2 : Equation des géodésiques

 

Annexe 1 : Métriques et Tenseurs

 

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Préambule : indices covariants et indices contravariants

Dans ce qui suit, nous allons utiliser la notion d’indices covariants et contravariants ainsi que la convention de sommation d’Einstein.

Soit un espace de dimension n dans laquelle a été définie une base de vecteurs . Soit un vecteur de cet espace. En suivant les règles qui s’appliquent aux indices covariants et contravariants, sa décomposition sur la base de s’écrit :

 

(a-1)

Dans la formule qui précède, il convient de remarquer deux choses :

  • L’indice du coefficient de la composante du vecteur est en haut lorsque celui du vecteur unitaire correspondant est en bas (et vice versa si on utilise des covecteurs).
  • Lorsqu’un même indice intervient en haut et en bas dans une formule, cela signifie que l’on procède à une sommation sur cet indice.

Les indices sont placés en haut ou en bas en fonction du type de vecteur considéré. Les vecteurs peuvent en effet prendre deux formes : la forme covariante ou la forme contravariante. Attention : la forme covariante et la forme contravariante d’un vecteur ne sont interchangeables. Ecrivons la formule qui exprime la norme d’un vecteur. Si l’on respecte la convention d’Einstein, cela donne :

 

(a-2)

Or, dans un espace courbe, la norme d’un vecteur n’est pas égale au produit scalaire de ce vecteur par lui-même. Elle fait intervenir la métrique (voir plus bas) :

 

(a-3)

En comparant (a-2) et (a-3) on comprend mieux la nécessité d’introduire les notions de forme covariante et de forme contravariante d’un vecteur. Il n’est en effet possible de conserver le formalisme de l’équation (a-2) que si l’on écrit :

 

(a-4)

Il y a donc correspondance entre forme covariante et forme contravariante d’un même vecteur mais ces deux formes ne sont pas interchangeables.

Tenseur

La métrique est un tenseur. Le calcul tensoriel a été introduit à la fin du XIXème siècle par l’italien Gregorio Ricci-Curbastro et son disciple Tullio Levi-Civita. Un tenseur est une application multilinéaire d’un espace vers le corps des réels . Un tenseur d’ordre associe un réel à vecteurs d’un espace :

 

(a-5)

Si l’espace est de dimension n, le tenseur a coefficients (on parle de composants dans le cas d’un tenseur). Ces composants s’écrivent . Notons au passage que :

 

(a-6)

si les vecteurs sont les vecteurs unitaires de la base de l’espace .

Les tenseurs prennent des formes différentes selon qu’ils sont associés à la forme covariante ou à la forme contravariante des vecteurs considérés. Le passage d’une forme à une autre s’appelle une élévation ou un abaissement d’indice. Nous expliciterons ce point plus tard.

Métrique

La métrique est un tenseur d’ordre 2. Elle généralise la notion de produit scalaire dans un espace courbe. Dans un espace euclidien celui-ci s’écrit :

 

(a-7)

En géométrie riemannienne il convient d’écrire:

 

(a-8)

Par définition, la métrique est symétrique :

 

(a-9)

Elle est également non dégénérée :

 

Si    

quel que soit ,

alors   

 

La distance minkowskienne est une métrique :

 

(a-10)

On dit de cette métrique qu’elle a la signature . Il est à noter que l’on peut aussi utiliser la signature inverse. Il suffit de modifier en conséquence les formules et les conclusions des calculs effectués...

La notion de distance élémentaire découle directement de celle de métrique :

 

(a-11)

La longueur totale d’une courbe peut s’en déduire facilement. Considérons une courbe définie par ses coordonnées . La longueur de la portion de courbe comprise entre les points et vaut :

 

(a-12)

C’est en recherchant le minimum de que l’on obtient l’équation des géodésiques (voir plus bas).

Nous avons évoqué le fait qu’il était possible d’élever ou d’abaisser les indices d’un tenseur. Cette opération fait intervenir le tenseur métrique de l’espace considéré. Soit un tenseur d’ordre 2 :

 

(a-13)

Il vient donc:

 

(a-14)

Il en va de même pour les vecteurs : voir l’équation (a-4) plus haut.

Exemples de métrique

Nous avons rencontré la métrique de Minkowski dans les chapitres consacrés à la relativité restreinte. Elle s’écrit :

 

(a-15)

 

avec :      

 

Nous étudierons plus tard la métrique de Schwarzschild, associée à une masse isolée dépourvue de moment cinétique :

 

(a-16)

 

avec :      

 

Les métriques ne sont pas nécessairement diagonales. La métrique de Kerr, associée à une masse isolée en rotation, ne l’est pas :

 

(a-17)

Changement de base

Une métrique est liée à une base. Si l’on change de base les composants de la métrique sont modifiés. Supposons que l’on passe d’une base dans laquelle les coordonnées sont représentées par les symboles à une base dans laquelle les coordonnées sont représentées par les symboles . Supposons également que l’on puisse exprimer en fonction des coordonnées d’origine :

 

 

La formule qui permet de passer de la métrique initiale à la nouvelle métrique s’écrit :

 

(a-18)

La démonstration de cette formule ne présente pas de difficulté si l’on explicite la longueur d’un segment élémentaire dans la nouvelle et l’ancienne base et si l’on écrit :

 

(a-19)

Dérivée covariante

La dérivée covariante permet de s’affranchir des effets de la courbure pour déterminer l’évolution intrinsèque d’un vecteur tangent à une géodésique (notion de transport parallèle, voir plus haut dans ce chapitre). Elle est notée , étant l’indice du vecteur unitaire dans l’axe duquel on effectue cette dérivation. La formule permettant de déterminer la dérivée covariante fait intervenir les symboles de Christoffel . On aboutit à cette formule en recherchant la dérivée covariante des vecteurs unitaires de la base : par définition ils sont transportés parallèlement à eux-mêmes.

 

(a-20)

Ceci permet de déterminer la valeur des symboles de Christoffel à partir des composants de la métrique :

 

(a-21)

La formule générale de la dérivée covariante s’écrit de la manière suivante :

 

(a-22)

Notons que, par définition, la dérivée covariante du tenseur métrique est nulle :

 

(a-23)

Equation des géodésiques

Comme nous l’avons indiqué plus haut, elle s’obtient en recherchant la courbe de longueur minimum entre deux points. On résout ce problème en appliquant le théorème d’Euler-Lagrange. Soit la fonction s définie comme suit :

 

(a-24)

étant la dérivée de par rapport au paramètre . On peut écrire :

 

(a-25)

Le théorème d’Euler-Lagrange permet de trouver aisément la trajectoire qui minimise la quantité L. Elle est telle que :

 

(a-26)

Si l’on choisit tel que cette equation se simplifie et on parvient après quelques développements supplémentaires à l’équation des géodésiques (voir plus bas) :

 

(a-27)

Tenseur de Riemann, tenseur de Ricci et courbure scalaire

La formule qui donne les composants du tenseur de Riemann est relativement complexe, nous la mentionnerons sans chercher à la démontrer :

 

(a-28)

Le tenseur de Ricci s’obtient par abaissement d’indice du tenseur de Riemann :

 

(a-29)

Sur le plan mathématique, le tenseur de Ricci est le laplacien du tenseur métrique. Le laplacien1 est un opérateur (noté ) construit à partir des opérateurs divergence et gradient :

 

(a-30)

La courbure scalaire est la trace du tenseur de Ricci relativement à la métrique:

 

(a-31)

La courbure scalaire et le tenseur de Ricci interviennent tous deux dans l’équation d’Einstein de la relativité générale.

Notation :

La dérivée simple et la dérivée covariante sont souvent notées de la manière suivante :

 

(a-32)

 

(a-33)

La présence d’une virgule est la marque d’une dérivée simple, celle d’un point-virgule d’une dérivée covariante.

 

Notes

1 : En mathématiques, le laplacien d’une fonction mesure l’écart entre la valeur de cette fonction en un point et sa valeur moyenne au voisinage du point. Pour une fonction scalaire on peut en effet écrire :

 

   étant l’arête du cube sur lequel est calculée la valeur moyenne.

 

  Annexe 2 : Equation des géodésiques

La recherche des géodésiques revient à trouver la trajectoire qui minimise la fonctionnelle définie par :

 

(b-1)

Cette équation peut aussi s’écrire :

 

avec

(b-2)

Le théorème d’Euler-Lagrange permet de résoudre ce problème. Il nous indique que la trajectoire qui minimise est telle que :

 

(b-3)

Décomposons les deux termes de cette somme :

 

(b-4)

 

(b-5)

L’équation (b-5) résulte du fait que :

  • ne dépend pas explicitement de ,
  • chacun des termes intervient 2 fois dans la formule.

Ceci permet de réécrire l’équation (b-3) :

 

(b-6)

Le choix d’un paramètre tel que permet de simplifier cette équation. Dans ce cas, en effet, la quantité est égale à 1. Ceci conduit à écrire (b-6) sous la forme suivante :

 

(b-7)

Si l’on revient à la définition de la dérivée partielle on peut écrire :

 

(b-8)

Ceci amène à une nouvelle formulation de l’équation (b-6) :

 

(b-9)

Considérons le deuxième terme de l’équation (b-9). Les sommations qui interviennent sont faites sur i et j qui jouent un rôle symétrique. On peut donc écrire (simple jeu d’écriture) :

 

(b-10)

Ceci conduit à la formulation suivante :

 

(b-11)

On peut isoler le terme i en multipliant l’équation qui précède par . En effet :

 

puisque :

 

étant le symbole de Kronecker. Il est égal à 1 si les indices sont identiques et il est nul s’ils sont différents. Il vient :

 

(b-12)

Or, par définition des symboles de Christoffel, on peut écrire :

 

(b-13)

Ceci conduit à la formulation de l’équation des géodésiques :

 

(b-14)