Un peu de physique...

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Annexe 1 : Métrique et Tenseurs

Annexe 2 : Equation des géodésiques

 

Espaces courbes

Avant d’aborder la théorie de la relativité générale, il est nécessaire de faire un détour par la géométrie. Pourquoi ? Parce que la théorie de la relativité générale est une théorie géométrique de la gravitation. Et quand Einstein parle de géométrie, il ne s’agit pas de n’importe quelle géométrie, il s’agit de géométrie non-euclidienne. La théorie de la relativité générale est en effet basée sur la notion d’espace courbe, introduite par Carl Friedrich Gauss et Bernhard Riemann au XIXème siècle. Mais avant de parler d’espace courbe il convient de rappeler ce qu’est un espace euclidien.

Euclide est un mathématicien grec qui vécut vers -300 avant notre ère. Il a rédigé un ouvrage majeur pour les mathématiques : les Éléments. Les Eléments ne cesseront d’être recopiés et publiés pendant des siècles. Ils furent l'un des premiers livres imprimés. Euclide est considéré comme le père de la géométrie. Ce n’est pas tout à fait le cas : Euclide a bénéficié des travaux antérieurs de mathématiciens comme Thalès de Milet ou Pythagore. Il n’en reste pas moins que son livre est une somme qui fait la synthèse de toutes les connaissances en géométrie de l’époque.

La géométrie euclidienne est le schéma mental au travers duquel nous nous représentons le monde qui nous entoure. On nous l’a enseignée à l’école et nous l’avons complètement intégrée à notre façon d’appréhender le monde. Il faut dire qu’elle est basée sur des concepts simples et faciles à mémoriser : le plus court chemin d’un point à un autre est un segment de droite, on obtient une droite en prolongeant ce segment de chaque côté jusqu’à l’infini, deux droites parallèles ne se coupent jamais, par un point il passe une parallèle et une seule à une droite donnée. Ses conséquences les plus simples sont également faciles à retenir : la somme des angles d’un triangle fait 180 degrés et la circonférence d’un cercle est égale à . Si on lui adjoint un peu de trigonométrie, on obtient un outil très puissant pour mesurer l’espace autour de nous (c’est, étymologiquement la fonction première de la géo-métrie) et pour faire des calculs de distance, de surface, de volume, d’angle... Plans d’architecte, plans d’usinage, plans de villes, cartes routières, tous ces documents qui nous sont familiers sont des applications directes de la géométrie euclidienne.

Newton a fait de la géométrie euclidienne la scène sur laquelle se joue le grand spectacle de l’Univers. La mécanique newtonienne est, par définition, euclidienne. Cela nous paraît d’ailleurs relever de l’évidence. Notre environnement proche est incontestablement euclidien. Rien, à première vue, ne nous incite à penser que ce pourrait ne pas être le cas pour ce qui est de l’Univers tout entier.

Or la géométrie euclidienne n’est pas démontrable. Elle repose sur 5 postulats. Pouvons-nous, dans ces conditions, étendre à l’Univers tout entier comme Newton nous incite à la faire les principes de cette géométrie ? Qui nous dit qu’à l’échelle des distances intergalactiques la somme des angles d’un triangle continue de faire 180 degrés et la circonférence d’un cercle ?

Espace courbe

La réponse qu’Einstein donne à cette question est négative et les arguments qu’il utilise pour le démontrer conduisent à des prédictions qui ont été vérifiées par la suite. Mais avant de rentrer dans le vif du sujet, posons-nous la question suivante : qu’est-ce qu’un espace courbe ? Est-il possible de construire une géométrie adaptée à un espace courbe ?

L’exemple de la Terre va nous permettre de commencer à nous familiariser avec cette notion. Nous savons tous que la Terre est ronde. Des navigateurs en ont fait le tour depuis plusieurs siècles et aujourd’hui les satellites nous permettent de l’admirer depuis l’espace. Pourtant notre voisinage est manifestement euclidien. Tout ce qu’il y a de plus euclidien. La somme des angles des triangles que nous traçons fait bien 180 degrés, la circonférence de nos cercles est égale à et nos parallèles ne se rejoignent pas. Les plans d’architecte utilisés pour construire nos immeubles et nos ponts font l’hypothèse que le sol sur lequel sont bâtis ces ouvrages d’art est plat.

Pourtant… Prenons notre sac à dos, un kit de parfait randonneur avec canoë gonflable et perce-montagne portatif et plaçons nous à l’intersection de l’équateur et du méridien de Greenwich. Commençons notre randonnée en partant plein ouest. Nous avançons en ligne droite tout au long de l’équateur et empruntons à n’en pas douter le plus court chemin pour aller vers l’ouest. Au bout de 10 000 km environ, nous avons parcouru un quart de la circonférence de l’équateur. A tout moment notre environnement nous a semblé euclidien et nous avons progressé en ligne droite. Il est temps alors de changer de direction. Après avoir fait un virage de 90 degrés vers la droite, nous remontons plein nord pour suivre un méridien qui passe non loin de Mexico et traverse les Etats-Unis puis le Canada. Notre perce-montagne portatif nous est bien utile pour ne pas dévier d’un pouce et continuer d’avancer en ligne droite. Après avoir parcouru à nouveau un peu plus de 10 000 km nous voici arrivés au pôle Nord. Le temps de constater que notre voisinage de banquise est froid mais toujours euclidien, nous opérons un nouveau virage de 90 degrés sur la droite. Nous retrouvons le méridien de Greenwich que nous empruntons tout droit vers le sud. Notre randonnée nous ramène à notre point de départ : un nouveau quart de tour à droite et nous faisons à nouveau face à l’équateur.

Il est temps de faire le bilan de notre randonnée : nous avons parcouru un peu plus de 31 000 km. A tout moment nous nous sommes repérés dans un environnement euclidien. Nous avons toujours progressé en ligne droite et nous avons parcouru trois segments. Nous avons opéré trois virages pour nous retrouver dans notre position de départ. Notre randonnée peut donc être représentée par une figure de géométrie tout à fait élémentaire : un triangle. Seulement voilà : la somme des trois angles de ce triangle fait 270 degrés ! Il y a là de quoi nous faire réfléchir. Première constatation : il est manifestement imprudent de généraliser de façon hâtive à l’espace tout entier ce qui n’est, au fond, qu’une propriété de notre voisinage.

Prenons un autre exemple. Nous sommes en 2100. L’homme n’a pas su modérer ses appétits d’énergie et le réchauffement climatique a conduit à une telle montée des eaux que la Terre est recouverte par un gigantesque océan. L’occasion pour nous de faire une petite expérience. Plaçons-nous quelques mètres au-dessus de cet océan et laissons tomber une petite pierre. En touchant l’eau cette pierre génère une onde circulaire qui s’éloigne du point d’impact. A l’aide d’un appareil photo, nous prenons plusieurs clichés. L’occasion de vérifier une autre prédiction de la géométrie euclidienne : la circonférence d’un cercle est égale à son rayon multiplié par .

Prenons un peu d’altitude et, au lieu de jeter un caillou, jetons un énorme rocher, un rocher aussi gros qu’une montagne. La chute génère une onde circulaire colossale qui va se propager loin, très loin, très très loin… Au début, pas de différence avec l’ondelette générée par notre pierre. La circonférence de notre rond-dans-l’eau fait toujours . Comme rien ne l’arrête, ce rond-dans-l’eau va continuer de s’étendre. Supposons que j’ai jeté mon rocher au-dessus du pôle Nord, la banquise ayant fondu depuis longtemps. Le cercle se propage jusqu’à l’équateur. Et là rien ne va plus : le rayon de notre cercle vaut 10 500 km... mais sa circonférence ne fait que 42 000 km ! Que se passe-t-il ensuite ? Le rond-dans l’eau poursuit sa progression, passe de l’autre côté de la Terre et sa circonférence se met à décroître ! Pour un rayon égal à un peu plus de 15 000 km, elle n’est plus que de 29 000 km. Pour un rayon de 17 000 km elle est descendue à 21 000 km et lorsque le rayon atteint 21 000 km elle s’annule.

Une circonférence qui n’est pas toujours égale à et qui décroît lorsque le rayon augmente, la somme des angles d’un triangle supérieure à 180 degrés... La géométrie à la surface de la Terre n’est décidément pas euclidienne si on s’écarte de notre voisinage immédiat. Les deux exemples que nous venons de passer en revue n’ont rien de mystérieux. C’est la rotondité de la Terre qui empêche d’appliquer la géométrie euclidienne sur toute sa surface. Notre voisinage est effectivement euclidien mais il est hasardeux de prolonger mentalement ce voisinage pour l’appliquer à toute la surface de la Terre.

Il est facile de comprendre les effets de la rotondité de la Terre sur la géométrie à sa surface. On peut même les calculer facilement. La surface de la Terre est en effet une sphère et nous n’avons aucune difficulté à nous représenter cette surface dans un espace euclidien à trois dimensions ! Les mathématiciens expriment cela en disant que la sphère est une surface courbe à deux dimensions, une 2-surface, qui est plongée dans un espace à 3 dimensions. Un espace à 3 dimensions qui est, lui, tout ce qu'il y a de plus euclidien : l’espace . Nous n’aurions d’ailleurs aucune difficulté à nous représenter mentalement n’importe quelle autre surface courbe à deux dimensions dans cet espace, qu’il s’agisse d’un tore, d’une paraboloïde, d’une hyperboloïde ou de toute autre surface plus tarabiscotée…

Mais si notre espace à 3 dimensions lui-même n’était pas euclidien, serions-nous capables de le détecter ? Cette fois les représentations mentales nous manquent. Et comment faire de la géométrie dans un espace courbe sans passer par un plongement dans un espace de dimension supérieure ?

Courbure et géométrie non-euclidienne

C’est Carl Friedrich Gauss qui a, le premier, étudié de manière approfondie les propriétés des surfaces courbes. Carl Friedrich Gauss est l’un de ces savants du début du XIXème siècle qui pouvaient se permettre de consacrer leurs recherches à de multiples domaines. Il est surtout connu pour ses travaux en mathématiques. Il a en particulier contribué à définir de façon rigoureuse la notion de courbure d’une surface en un point et il en a donné une expression analytique.

Soit une surface quelconque (voir figure ci-dessous). Nous l’appellerons . Si cette surface est régulière (les mathématiciens disent différentiable) on peut construire un plan tangent à cette surface en chacun de ses points. Soit l’un de ces points et le plan tangent en ce point. N’importe quel plan perpendiculaire au plan et passant par coupe la surface . L’intersection de avec le plan est une courbe plane passant par . Les formules de Gauss permettent de calculer le rayon de courbure en ce point. La courbure est l’inverse du rayon de courbure (une courbure importante correspond à un rayon de courbure faible, ce qui est somme toute assez logique). C'est un nombre réel : elle peut être positive ou négative. Si on fait tourner le plan autour du vecteur normal au point la courbure varie. Elle passe par une valeur minimum et une valeur maximum. On appelle courbures principales ces deux valeurs. La courbure de Gauss est le produit des courbures principales.

Figure 1 : détermination de la courbure d’une surface à deux dimensions.

Cette figure est mise à disposition sur Wikimedia par Eric Gaba (pseudo Sting).

Les travaux de Gauss jouent un rôle essentiel dans l’histoire de la géométrie. Ils vont susciter de nombreux développements par la suite. Ils restent cependant attachés à une conception euclidienne de l’espace.

Nicolaï Lobatchevski puis Jànos Bolyai vont poursuivre dans la voie ouverte par Gauss en s’intéressant aux géométries à courbure négative. Le pas décisif sera franchi par Bernhard Riemann. En 1854, lors de sa soutenance d’habilitation au poste de professeur à l'université de Göttingen, il fit en présence de Gauss un exposé « sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie » qui va définir les bases de ce que l’on appelle aujourd’hui la géométrie différentielle. Riemann généralise à n dimensions les résultats démontrés par Gauss pour des surfaces à 2 dimensions. Il introduit pour cela un nouveau concept, celui de variété (Mannigfaltigkeit en allemand, manifold en anglais).

Le cadre formulé par Bernhard Riemann permet de s’affranchir complètement des contraintes de la géométrie euclidienne. La géométrie euclidienne n’est plus qu’un cas particulier de la géométrie riemannienne. Un cas particulier qui a un statut privilégié : en tout point de l’espace de Riemann, il existe un espace euclidien tangent qui constitue une excellente approximation pour représenter le voisinage de ce point.

Variété riemanienne

Une variété est une généralisation de la notion d’espace vectoriel. Elle est à la base de la géométrie non euclidienne. Une variété est un espace vectoriel qui a les propriétés suivantes :

  • Il est continu et différentiable. On peut calculer une dérivée en tout point de cet espace.
  • Il admet une base dénombrable. Cela veut dire en particulier que l’on peut décomposer tout élément de cet espace sur une base de vecteurs que l’on peut indexer avec une série dénombrable d’entiers naturels .
  • Il est séparé. Si on considère deux points disjoints de cet espace, on peut construire autour de chacun de ces points un voisinage tel que les deux voisinages ainsi définis soient disjoints. Prenons par exemple le cas d’un espace euclidien à 3 dimensions, et choisissons deux points très proches l’un de l’autre. Si la distance entre ces points est égale à , il est possible de construire une sphère dont le rayon vaut autour de chacun de ces points. Les deux sphères ainsi construites sont disjointes. L'espace euclidien est un exemple d'espace séparé.
  • En tout point d’une variété il existe un voisinage dans lequel l’espace vectoriel euclidien constitue une très bonne approximation. On dit que ce voisinage est homéomorphe à un sous-ensemble de .

Cette définition peut paraître abstraite. On la comprend mieux si on l’applique à la surface d’une sphère. Cette surface est continue. On conçoit bien qu’il est possible de calculer une dérivée sur cette surface (les radars qui jalonnent nos autoroutes y parviennent très bien). Elle est dénombrable : tout point de la sphère peut être représenté par deux coordonnées. Enfin en tout point il existe un voisinage pour lequel un sous-ensemble du pan euclidien constitue une excellente approximation. La sphère est bien une 2-variété au sens de la géométrie riemannienne.

Toute autre surface à deux dimensions, à condition qu’elle soit différentiable, fait d’ailleurs l’affaire. C’est le cas, par exemple, d’une surface hyperbolique (voir la figure 2 ci-dessous). Ce que nous dit Riemann, c’est que cette définition peut être étendue à n’importe quelle dimension. On peut tout à fait concevoir un espace courbe à 3 dimensions (une 3-variété)… et même à 4, 5, 6 dimensions ou plus !

Figure 2 : Surface hyperbolique.

Arrêtons-nous à 4 dimensions. L’espace-temps de Minkowski est un espace vectoriel à 4 dimensions mais il n’est pas euclidien au sens où nous l’entendons habituellement. Sa signature n’est pas strictement positive. Est-il possible d’imaginer un espace courbe de signature quelconque ?

On peut analyser les composantes spatiales de l’espace-temps de Minkowski en termes euclidiens. Sa composante temporelle est, quant à elle, strictement assimilable à l’ensemble des réels R. On peut donc dire, d’une certaine façon, qu’il est pseudo-euclidien. Ceci amène à penser qu’il doit être possible de généraliser la notion de variété riemannienne et de construire une pseudo-variété à 4 dimensions respectant les 3 premières conditions définie par Riemann mais telle que :

en tout point de cette 4-variété il existe un voisinage homéomorphe à l’espace-temps de Minkowski.

Le pas a été franchi par Einstein et cette généralisation s’est avérée particulièrement fructueuse. D’autant plus fructueuse que tous les outils développés par Riemann sont applicables à la pseudo-variété à 4 dimensions de l’espace-temps de la relativité générale.

Métrique

Définir le cadre de l’étude des espaces non-euclidien ne suffit pas. Il faut également disposer d’outils pour analyser les propriétés de ces espaces. De quels outils avons-nous besoin ?

Tout d’abord, nous avons besoin d’une distance. La distance que l’on utilise en géométrie euclidienne est une simple généralisation du théorème de Pythagore :

 

(1)

Minkowski s’est contenté de l’adapter à son espace-temps à 4 dimensions en lui adjoignant la notion de signature :

 

avec la signature    

(2)

Il est facile de voir qu’une telle définition n’est plus adaptée dans le cas d’un espace courbe. Il suffit de considérer le cas d’une surface sphérique pour s’en convaincre. Sur une telle surface la distance entre deux points proches s’écrit :

 

(3)

Nous avons donc besoin d’un « objet » mathématique qui généralise cette notion de distance. Les mathématiciens appellent cet objet une métrique. Le plus souvent elle est exprimée sous la forme d’un tenseur1 :

 

(4)

Dans l’équation qui précède, les coefficients sont les composants du tenseur métrique et les termes représentent les coordonnées d’un déplacement élémentaire dans l’espace. Le troisième membre est obtenu à partir du second en appliquant la convention de notation d’Einstein2. En règle générale, nous continuerons d’utiliser cette convention par la suite.

A partir de la notion de distance il est possible de construire des lignes droites : la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre. A partir de la métrique il nous sera donc possible déterminer le plus court chemin pour relier deux points d’un espace courbe. Dans ce cas on ne parle plus de droite : le terme employé est celui de géodésique. Dans un espace courbe, la géodésique est le chemin le plus court entre deux points :

 

(5)

Nous avons souligné le lien entre la notion de distance et le théorème de Pythagore. En fait, la distance peut être aussi vue comme le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même. Le produit scalaire est une notion bien utile : il permet de faire de la trigonométrie. La trigonométrie permet de relier la notion d’angle à celle de distance. Dans un espace courbe le produit scalaire entre deux vecteurs se calcule également au moyen de la métrique :

 

(6)

Dérivée covariante

Jusqu’à présent, nous avons raisonné en termes de géométrie. Cela ne suffit pas pour faire de la physique et pour étudier le comportement dynamique des objets. Ce comportement est en général exprimé au moyen d’équations dérivées : nous avons donc besoin d’une dérivée. Les mathématiques mettent à notre disposition un nombre varié d’outils dans ce domaine : dérivée partielle, gradient, divergence... Cela peut-il suffire à notre bonheur ?

Rien n’est moins sûr… N’oublions pas que la préoccupation première d’Einstein est de généraliser le plus possible le principe de relativité. En mécanique classique tout comme dans le cadre de la relativité restreinte ce principe de relativité s’exprime dans le fait qu’un corps qui n’est soumis à aucune force extérieure se déplace en ligne droite avec une vitesse constante. Logiquement, cela doit le conduire à suivre une géodésique dans un espace courbe. Sa vitesse doit donc rester constamment parallèle à cette géodésique tout en conservant un module identique.

Reprenons l’exemple de la sphère. Imaginons un univers strictement limité à cette sphère. Donc un univers à deux dimensions dans lequel la notion de verticale n’existe pas. Considérons un objet (lui-même à deux dimensions) se déplaçant librement sur cette sphère. Si le principe de relativité s’applique, cet objet doit se déplacer sur un grand cercle à la surface de la sphère. Sa vitesse doit rester parallèle à ce grand cercle et conserver un module constant.

Cette propriété de la vitesse d’un objet se déplaçant librement dans un espace courbe porte un nom : on parle de transport parallèle. Le transport parallèle est une notion très simple. Cela veut dire tout simplement que lors d’un déplacement infinitésimal ce vecteur doit rester parallèle à lui-même. Dans un monde euclidien, cette notion est triviale : ce vecteur reste toujours parallèle à la même direction. Si on lui fait parcourir un triangle, par exemple, il revient au point de départ dans le même état qu’il avait à l’origine.

Qu’en est-il dans un espace courbe ? Refaisons la randonnée qui nous a menés de l’équateur au pôle mais en emportant cette fois un vecteur avec nous. Dans la première branche (au long de l’équateur) il pointe droit devant nous en direction de l’ouest. Lorsque nous faisons un premier quart de tour à droite, nous prenons bien soin de ne pas modifier la direction de notre vecteur. Dans la seconde branche de notre périple, il va donc pointer sur notre gauche, toujours en direction de l’ouest. Arrivés au pôle, nouveau quart de tour. Désormais le vecteur pointe derrière nous et marque la direction du pôle tandis que nous cheminons le long du méridien de Greenwich en direction du sud. Revenus à notre point de départ, le vecteur se retrouve à 90 degrés par rapport à sa position d’origine !

On voit bien que cette notion de transport parallèle est tout à fait centrale dès lors que l’on veut étudier les propriétés des espaces courbes. Il nous faut donc en tenir compte dans notre définition de la vitesse. La dérivée qui respecte les conditions du transport parallèle s’appelle la dérivée covariante.

On démontre que la connaissance de la métrique suffit à définir la dérivée covariante à partir de sa dérivée simple. Soit un vecteur u, la dérivée covariante de sa ième composante par rapport à l’indice j s’écrit en effet :

 

(7)

Dans cette équation, les termes sont appelés symboles de Christoffel. On les obtient directement à partir du tenseur métrique (voir annexe 1). Les symboles de Christoffel jouent un rôle au moins aussi important que la métrique dans la géométrie des espaces courbes. Ils interviennent notamment dans l’équation des géodésiques :

 

(8)

La démonstration de cette équation est donnée en annexe 2 de ce chapitre.

Les symboles de Christoffel permettent également de calculer les coefficients du tenseur de Riemann, un tenseur qui permet de calculer la courbure en tout point de l’espace.

Métrique, géodésique, dérivée covariante, symboles de Christoffel, tenseur de Riemann : nous avons désormais tous les outils mathématiques nécessaires pour aborder la théorie de la relativité générale.

 

Notes

1 : Les notions de métrique et de tenseur sont détaillées en annexe de ce chapitre.

2 : Lorsqu’un même indice apparaît en haut et en bas cela signifie qu’il y a sommation sur cet indice.