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Relativité générale

 

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La théorie de la relativité restreinte permet de rendre compatible la mécanique newtonienne et l’électromagnétisme de Maxwell : deux piliers de la physique du XIXème siècle qui semblaient irrévocablement antagonistes après l’échec de la tentative de Michelson et Morley de mettre en évidence l'existence de l'éther luminifère, le milieu dans lequel étaient supposées se propager les ondes électromagnétiques.

Pour autant, la relativité restreinte n’est pas entièrement satisfaisante. Comment se contenter d’une théorie dont les effets sont limités aux seuls référentiels inertiels ? La notion de référentiel galiléen est une pure vue de l’esprit. Comment prétendre que nous vivons dans un référentiel galiléen alors que la Terre tourne autour d’elle-même, qu’elle tourne autour du soleil et que celui-ci tourne autour du centre de la galaxie… Devons-nous prendre en compte tous ces mouvements de rotation pour faire une physique un tant soit peu rigoureuse ?

L’autre critique que l’on peut faire à la relativité restreinte est plus fondamentale. Elle ne s’attaque pas au grand mystère de la loi de gravitation universelle : son caractère instantané. La loi de gravitation de Newton dit que la force d’attraction entre deux corps est proportionnelle au produit de leur masse respective et inversement proportionnelle au carré de leur distance. Si on tient cette loi pour vraie, tout mouvement de l’un de ces deux corps entraîne un effet immédiat sur l’autre corps, quelle que soit la distance qui les sépare. C’est une contradiction flagrante avec le caractère indépassable de la vitesse de la lumière érigé en principe par la théorie de la relativité restreinte.

Einstein était pleinement conscient de ce paradoxe. Il travailla près de dix ans à le résoudre. On a coutume de dire qu’Einstein fut mis sur la voie de la solution par une expérience de pensée qui est restée dans l’histoire des sciences sous le nom d’ascenseur d’Einstein.

Espace courbe et ascenseur d’Einstein

Supposons qu’un observateur soit enfermé dans un ascenseur en chute libre dans un champ gravitationnel. Cet observateur n’a aucun moyen de savoir que l’ascenseur est en mouvement. Rien ne lui permet de distinguer la situation dans laquelle il se trouve de celle correspondant au mouvement uniforme d’un référentiel galiléen en l’absence de tout champ gravitationnel. Supposons qu’on ait percé un trou dans la paroi de l’ascenseur et qu’on éclaire la paroi depuis l’extérieur. Le principe de relativité nous amène à penser que l’observateur situé à l’intérieur de l’ascenseur doit voir le rayon traverser l’ascenseur en ligne droite.

Considérons maintenant la situation vue d’un observateur immobile dans ce champ gravitationnel, solidement campé les pieds sur terre. Pour lui, l’ascenseur est en mouvement uniformément accéléré. Si le rayon lumineux traverse l’ascenseur en ligne droite, il doit nécessairement décrire un arc de parabole pour l’observateur immobile ! La conclusion de cette expérience de pensée défie le sens commun : la pesanteur doit courber les rayons lumineux. Elle sera pourtant confirmée par l’observation. Cette expérience de pensée est à la base du principe d’équivalence1, un des fondements de la relativité générale : localement, les effets d'un champ gravitationnel sont identiques aux effets d'une accélération du référentiel de l'observateur.

Ainsi donc, la gravité courberait la trajectoire des rayons lumineux, rayons qui sont réputés représenter le plus court chemin dans l’espace-temps de Minkowski. Dans le désarroi où nous avait laissés l’expérience de Michelson et Morley, nous avions été amenés à reconstruire la notion d’un temps relatif en nous appuyant sur les droites de type « lumière » de cet espace-temps. Si les rayons lumineux ne se déplacent pas en ligne droite en présence d'un champ gravitationnel, nous faut-il renoncer définitivement à toute notion de temps ?

Einstein eut l’intuition que la réponse à cette question passait par une modification de la géométrie. La relativité restreinte l’avait conduit à modifier les règles de combinaison des vitesses, ce que l’on appelle la cinématique. Il comprit qu’il fallait revisiter cette fois l’un des fondements de la géométrie, les postulats d’Euclide. Le problème était ardu, il s’appuya sur les conseils de son ami Marcel Grossmann, un mathématicien hongrois qui l’initia aux mystères de la géométrie non euclidienne et des variétés différentielles.

Relativité générale et vérifications expérimentales

Einstein mit dix ans pour mettre au point sa théorie de la relativité générale. Il publia ses conclusions dans un article mémorable paru dans les Comptes rendus de l'Académie de Prusse en fin 1915. La théorie de la relativité générale eut un écho international très rapide. L’une de ses prédictions les plus spectaculaires, la déflexion des rayons lumineux en présence d’un champ gravitationnel, put être vérifiée dès 1919, lors d’une expédition menée par l’astrophysicien anglais Arthur Eddington à l’occasion d’une éclipse totale du Soleil2. L’occultation du Soleil permit en effet de mesurer cette déflexion sur la position d’étoiles bien connues des astronomes. Le résultat de cette expédition ainsi que le fait que la toute nouvelle théorie permettait d'expliquer la précession du périhélie du Mercure permit de convaincre rapidement la communauté scientifique de sa pertinence.

D’autres prédictions ont attendu beaucoup plus longtemps avant d’être vérifiées expérimentalement. C’est en 1960 que Robert Pound et Glen Rebka ont mis en évidence pour la première fois le décalage gravitationnel des horloges au Jefferson Laboratory de l’Université de Harvard. Ce décalage a été confirmé en 1971 en comparant le temps mesuré par deux horloges atomiques, l’une embarquée à bord d’un avion et l’autre restée à terre. Sa prise en compte est de nos jours indispensable pour garantir la précision des GPS.

Le satellite Cassini-Huygens, lancé en 2003, a permis de mesurer avec une grande précision le décalage induit par le passage des ondes radio à proximité du soleil. Le résultat des mesures a confirmé à 2 10-5 près les calculs de la relativité générale.

L’effet d’entraînement de l’espace-temps par un corps en rotation ne fut mesuré qu’en 2004 par la mission spatiale Gravity Probe B. L’expérience a pu mesurer la déflexion de l’axe de rotation de quatre gyroscopes par rapport à celui d’un télescope pointé sur une étoile lointaine. Le dépouillement des résultats collectés au cours de plusieurs années de fonctionnement du satellite en orbite a confirmé les prédictions de la théorie de la relativité générale.

L’existence des ondes gravitationnelles est une autre prédiction de la relativité générale dont on a longtemps pensé qu’elle ne pourrait jamais être confirmée. Elle a été tout d’abord démontrée de façon indirecte par les astronomes Russel Hulse et Joseph Taylor. Ceux-ci ont étudié pendant plus de 10 ans le comportement d'un pulsar binaire et ils ont montré que le ralentissement de sa période de rotation était conforme aux prédictions de la relativité générale. Ce n’est que très récemment, au début de l’année 2016, que le dispositif expérimental LIGO constitué de deux interféromètres laser de très grande précision a permis de détecter de manière directe les oscillations de l’espace traversé par l’onde provoquée par la coalescence de deux trous noirs.

La pierre angulaire de la théorie de la relativité générale est le principe d’équivalence. Il est aujourd’hui vérifié avec une précision de 10-12. Le satellite Microscope lancé en avril 1016 a pour objectif de porter cette précision à 10-15. Placé sur une orbite héliosynchrone, le satellite emporte deux masses de densité différente. Grâce à des accéléromètres de grande précision, les scientifiques vont vérifier le déplacement de ces masses « en chute libre » dans l’espace est identique et ne dépend donc pas de leur masse. Les résultats sont attendus à l’issue d’une campagne d’étalonnage et de mesure de 2 ans.

Géodésiques

La relativité générale remet-elle en question la relativité restreinte ? La réponse est non. Celle-ci reste la meilleure approximation dans le cas d’un espace-temps faiblement perturbé par la gravitation. De manière plus générale, tout ce que nous dit la relativité restreinte sur le caractère indépassable de la vitesse de la lumière et sur les conséquences que cela a sur l’espace et le temps reste vrai. La relativité générale se contente de changer le cadre dans lequel nous devons formuler tout cela : à l’espace-temps de Minkowski elle substitue un espace courbe de Riemann. La gravitation perd son statut de force s’exerçant instantanément à distance, elle devient une caractéristique géométrique de l’espace. Dans la relativité générale, les corps soumis à la gravitation (on les appelle corps inertiels) suivent tout simplement une trajectoire dont les caractéristiques sont déterminées par la géométrie de l’espace. On dit qu’ils parcourent une géodésique (voir le chapitre suivant). Il n’est nul besoin d’introduire une force supplémentaire due à l’attraction gravitationnelle : celle-ci est inscrite dans la géométrie.

C’est ainsi que la Terre, dont le mouvement autour du soleil est purement dicté par la gravitation, peut être considérée comme un corps inertiel. Elle parcourt une géodésique dans l’espace-temps. Exit la spécificité des référentiels galiléens qui intriguait Einstein. Un référentiel lié à la Terre est un référentiel comme un autre : la relativité est devenue générale.

La théorie de la relativité générale est une théorie géométrique de la gravitation. La gravitation universelle que Newton attribuait à une force d'attraction est interprétée par Albert Einstein comme l'effet de la courbure de l’espace-temps. C'est la répartition de la matière-énergie qui détermine la courbure de l'espace-temps. En retour, c'est la courbure de l'espace-temps qui détermine la trajectoire des corps en mouvement : tout corps en mouvement, s’il n’est soumis à aucune autre force que celle de la gravitation, suit une géodésique de l’espace-temps. Le physicien américain John Wheeler exprime ceci de façon concise et imagée : « Spacetime tells matter how to move, matter tells spacetime how to curve. »

Carlo Rovelli avance même une interprétation encore plus radicale : pour lui, champ gravitationnel et espace-temps ne font qu’un. L’espace-temps est un champ au même titre que le champ électromagnétique. La conception qu’avait Einstein de l’espace-temps n’est d’ailleurs pas très éloignée de celle de Rovelli. En 1916 il écrivait à Karl Schwarzschild : « Si toutes les choses venaient à disparaître du monde, alors, pour Newton, il resterait l’espace inertiel galiléen ; mais pour moi, il ne resterait rien. »

Equation d’Einstein de la relativité générale

L’équation de la relativité générale d’Einstein s’exprime sous une forme tensorielle. Dans sa première version, cette équation est la suivante :

 

(1)

Dans cette équation :

  • est le tenseur de Ricci décrivant la géométrie de l’espace.
  •      est la constante de gravitation universelle.
  • est le tenseur énergie-impulsion.
  • est le tenseur métrique de l’espace-temps.
  •      est la courbure scalaire au point considéré.

Le premier membre de l'équation est aussi appelé Tenseur d'Einstein.

Le tenseur de Ricci s’obtient par contraction du tenseur de Riemann et la courbure scalaire est la trace du tenseur de Ricci relativement à la métrique :

 

(2)

 

(3)

L'équation d'Einstein est la traduction mathématique de la formule de Wheeler : le contenu de l'Univers déforme la géométrie; en contrepartie, la géométrie dicte sa loi à la dynamique de l'Univers. Le premier membre de l’équation décrit la géométrie de l’espace-temps. L'équation d'Einstein nous indique que cette géométrie est tributaire de la matière (deuxième membre de l’équation).

Interprétation

On peut faire une analogie entre l’équation d’Einstein de la relativité générale et la loi de Hooke3 sur la déformation des solides soumis à un jeu de contraintes. Cette analogie est éclairante sur la nature de l’espace-temps. Sous sa forme généralisée, la loi de Hooke s’exprime comme suit :

 

 

avec le tenseur des déformations au sein du solide, le tenseur des contraintes appliquées à ce solide et un coefficient d’élasticité. et sont bien évidemment des tenseurs définis sur l’espace euclidien . On ne peut pas manquer de faire le lien avec l’équation d’Einstein si on la formule de la manière suivante :

 

 

Le tenseur apparaît comme étant la déformation de l’espace-temps soumis aux contraintes matérialisées par le tenseur énergie-impulsion. ( est le tenseur d’Einstein.) Le coefficient est en quelque sorte l’élasticité de l’espace-temps en regard des contraintes qui lui sont appliquées par la matière-énergie. Ce coefficient est très faible, de l’ordre de 2 10-26 m/kg, ce qui explique que les déformations de l’espace-temps ne soient pas perceptibles dans la vie courante.

On peut aussi faire le lien avec la loi de Poisson qui relie, en mécanique classique, le potentiel gravitationnel à la masse volumique en un point :

 

 

Dans cette équation représente l’opérateur laplacien. Il est intéressant de noter que le tenseur de Ricci est justement le laplacien du tenseur métrique. En mathématiques, le laplacien d’une fonction mesure l’écart entre la valeur de cette fonction en un point et sa valeur moyenne au voisinage du point. Pour une fonction scalaire on peut en effet écrire :

 

 

a étant l’arête du cube sur lequel est calculée la valeur moyenne. Dans l’équation d’Einstein, le tenseur de Ricci exprime donc, d’une certaine façon, la déformation de la métrique. Ces deux analogies permettent de comprendre le cheminement qui a permis à Einstein de parvenir à l’équation de la relativité générale.

Tenseur énergie-impulsion

Pour décrire la matière (ou plutôt l’énergie : la relativité restreinte nous a habitués au principe d’équivalence entre matière et énergie), Einstein a recours au tenseur énergie-impulsion. Le tenseur énergie-impulsion s'écrit sous la forme d'un tenseur symétrique d'ordre 2 :

La signification des composantes de ce tenseur est la suivante :

  • est la densité d'énergie. Elle est positive.
  • est la densité de la ième composante d'impulsion.
  • est le flux d'énergie à travers la surface unité suivant i.
  • est le flux de la ième composante d'impulsion dans la direction i par unité de surface. C'est donc une pression.
  • est le flux de la ième composante d'impulsion dans la direction j par unité de surface. Cela traduit un effet de couplage par viscosité.

 

La sous-matrice 3 x 3 des composantes « spatiales » :

est la matrice des flux de moment. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels de viscosité.

Le tenseur impulsion-énergie est à divergence nulle :

 

(4)

En algèbre tensorielle, le point-virgule symbolise la dérivée covariante. Cette relation exprime la conservation locale de l'énergie-impulsion. En relativité restreinte, cette équation s'écrit plus simplement :

 

(5)

la virgule symbolisant la dérivée simple.

Constante cosmologique

Résumons-nous : la matière courbe l’espace et en retour la géométrie de l’espace dicte sa dynamique à la matière. Celle-ci suit les géodésiques de l’espace-temps. Einstein a tout de suite vu l’intérêt que présentait son équation pour analyser l’évolution de l’univers. Il lui est alors apparu que cette équation ne permettait pas de décrire un univers statique tel qu’on le concevait à l’époque où il travaillait sur le sujet. La constante de gravitation universelle a beau être très faible - elle vaut 6.67259 10-11 m3/kg/s2 - lorsqu’elle s’applique à l’échelle de l’univers elle conduit inévitablement celui-ci à se contracter dès lors que l’on part d’une position des corps célestes donnée et d’une vitesse nulle.

Cette constatation l’a amené à modifier son équation en 1916 pour introduire une constante cosmologique :

 

(6)

Telle que l'a conçue Einstein, est une constante ad hoc qui a pour seul but d’équilibrer la gravitation universelle en introduisant un terme de gravitation répulsive. Le fait de placer la constante cosmologique du côté géométrique de l’équation est purement arbitraire. On peut tout aussi bien la placer au second membre. On peut alors l'interpréter comme une forme d'énergie inhérente à l'espace-temps proprement dit :

 

(7)

Cette densité d’énergie est constante. Comme on le verra plus tard (voir chapitre sur les solutions de l’équation de Friedmann), une densité d’énergie constante génère une pression négative :

 

(8)

Et comme nous le verrons également plus tard, une pression négative induit un effet répulsif qui s’oppose à l’attraction gravitationnel.

La constante cosmologique a connu une histoire mouvementée. Ajoutée tout d’abord par Einstein à son équation pour la rendre compatible avec un univers statique, celui-ci l’a abandonnée dès lors qu’Edwin Hubble a démontré que l’univers était en expansion (1929). La constante cosmologique a alors connu une longue traversée du désert. La découverte de l'accélération de l'expansion de l'Univers en 1998 par Saul Perlmutter et Adam Riess l’a sortie du placard. Georges Lemaitre, un astrophysicien belge qui a toujours défendu l’existence de la constante cosmologique, aurait été ravi de l’apprendre s’il n’était mort en 1966.

Décalage gravitationnel des horloges

Comme nous l’avons dit plus haut, la relativité générale prédit que la gravitation courbe les rayons lumineux. Or nous avons vu dans le chapitre sur la relativité restreinte que l’on ne pouvait pas toucher à la propagation de la lumière sans toucher au temps. On peut donc s’attendre à ce que vitesse d’écoulement du temps dépende de l’intensité de l’attraction gravitationnelle !

Lorsqu’Einstein a rendu publique sa théorie de la relativité générale, cette prédiction a suscité beaucoup de scepticisme. Ce scepticisme s’est prolongé pendant plusieurs décennies. Si certaines des prédictions de la théorie ont pu être vérifiées rapidement (la précession du périhélie de Mercure et la déviation des rayons lumineux) ce n’est pas le cas du décalage des horloges. Il fallut attendre 1959 et l’expérience que menèrent Robert Pond et Glen Rebka dans les locaux de l’Université de Harvard pour avoir la première confirmation de ce décalage.

Cette confirmation a été affinée depuis. La mise en orbite de satellites embarquant une horloge atomique ultra-précise a démontré avec une grande précision la véracité de cette prédiction. Le décalage des horloges est d’ailleurs à l’origine d’une des rares applications de la relativité générale dans la vie courante. Le fonctionnement des GPS est en effet totalement dépendant de la justesse des calculs de correction relativiste : les satellites utilisés pour déterminer la position des récepteurs orbitent à une altitude de 20000 km. Le décalage de leurs horloges par rapport au temps propre au niveau de la mer est de 45μs/jour. De quoi entraîner une erreur de position de plusieurs centaines de mètres !

Décalage des horloges avec une métrique statique

Pour analyser le phénomène, nous allons prendre le cas d’une métrique statique, c’est-à-dire telle que ses composantes ne dépendent pas de la coordonnée temporelle. Nous allons également supposer que :

 

 

ce qui, comme nous le verrons par la suite, permet de simplifier les calculs. Ces deux hypothèses peuvent sembler très restrictives mais elles sont vérifiées par la métrique de Schwarzschild : elles permettent donc de rendre compte de l’espace-temps à proximité de la plupart des astres et des planètes (voir le chapitre sur la métrique de Schwarzschild<).

Soit un point A défini par ses coordonnées d’espace et où est situé un premier observateur (Alice). La ligne d’univers d’Alice est décrite par le quadruplet . Le temps propre d’Alice sur sa ligne d’univers s’exprime comme suit :

 

(9)

La définition du temps propre est la même qu’en relativité restreinte. Cette équation peut être reformulée de la manière suivante :

 

(10)

Comme on peut le voir, il existe une relation simple qui relie le temps propre d’Alice à la coordonnée temporelle x0 qui repère sa position dans l’espace-temps.

De la même façon, on définit un point B, où se trouve une deuxième observateur (Bob) dont les coordonnées d’espace sont . La ligne d’univers de Bob est décrite par le quadruplet et la formule qui relie son temps propre à la coordonnée temporelle y0 s’écrit comme suit :

 

(11)

Comme nous l’avons vu dans le chapitre consacré à la relativité restreinte, pour se synchroniser deux observateurs distants doivent échanger des photons. Alice va donc envoyer des photons à Bob. Ceux-ci vont suivre une géodésique entre le point d’espace A et le point d’espace B. (Il est possible de parler de point d’espace puisque la métrique est statique.) Tout au long de cette géodésique, on vérifie que :

 

ou encore :

(12)

C’est ici qu’intervient l’hypothèse de nullité de g10 et g01. Elle permet de décorréler la coordonnée temporelle x0 et la coordonnée spatiale x1. Ceci permettra par la suite de comparer plus facilement les intervalles de temps mesurés par Alice et Bob.

Supposons qu’Alice envoie un premier photon à Bob à l’instant repéré par la coordonnée temporelle . Bob le recevra à l’instant repéré par défini par :

 

(13)

Nota : Pour éviter d’alourdir le texte, on a utilisé le terme « instant » en lieu et place du terme « coordonnée temporelle ». Il faut bien avoir en tête que les coordonnées et ne correspondent pas au temps mesuré par Alice et Bob. Pour connaître ce temps, il faut transformer ces coordonnées temporelles en leur « temps propre » respectif, ce que permettent les équations (10) et (11).

Si Alice émet un deuxième photon à l’instant repéré par , il mettra le même temps pour parvenir à Bob puisque que la métrique est statique :

 

(14)

avec :

 

 

On peut donc écrire :

 

(15)

Plaçons-nous du point de vue d’Alice. Pour elle, l’intervalle de temps propre qui sépare l’émission du premier photon de l’émission du second photon est :

 

(16)

Pour Bob, l’intervalle de temps propre qui sépare la réception du premier photon de la réception du second photon est :

 

(17)

En combinant les équations (15) (16) et (17) on voit que :

 

(18)

Le temps propre d’Alice s’écoule donc différemment de celui perçu par Bob. Alice et Bob peuvent comparer la vitesse d’écoulement de leur temps respectif en utilisant le protocole de synchronisation décrit au premier chapitre sur la relativité restreinte. Si Bob renvoie les photons à Alice, ceux-ci mettront le même intervalle temporel qu’à l’aller puisque la métrique est statique. Ceci permettra à Alice de déterminer à quel moment Bob a reçu les photons et, après avoir communiqué à Bob sa propre mesure de l’intervalle de temps écoulé, de constater le décalage entre leurs mesures respectives.

Décalage de fréquence

Nous avons raisonné jusqu’à maintenant en termes d’émission et de réception de photons. Le même raisonnement s’applique si on analyse la fréquence des signaux émis et reçus :

 

(18 bis)

Ce décalage porte le nom de redshift gravitationnel. Il est parfaitement mesurable, même dans les conditions de la gravité terrestre (expérience de Pond et Rebka). Ceci amène à faire une remarque. On sait que l’énergie et l’impulsion d’un photon sont liées à sa fréquence :

 

et

 

Si la fréquence évolue au long de la géodésique, comment expliquer que son énergie varie ? N’est-ce pas en contradiction avec le principe de conservation de l’énergie ?

Pour comprendre ce qui se passe, on peut faire l’analogie avec un corps massif lancé en l’air depuis la Terre. Dans un cas aussi simple, la mécanique newtonienne constitue une excellente approximation pour expliquer le comportement dynamique de ce corps. Tout au long de sa trajectoire, on vérifie que :

 

(19)

On exprime cela de manière imagée en disant que le corps troque de l’énergie cinétique contre de l’énergie potentielle. Il en va de même pour notre photon...

Il y a néanmoins une différence : l’énergie du photon n’est pas déterminée par son énergie cinétique mais est donnée par l’équation E = hν. Pour résumer, on peut dire que pour passer d’un point A à un point B où la gravité est plus faible, le photon doit vaincre l’effet du potentiel gravitationnel. Il perd donc de l’énergie.

Revenons au cas d’un corps massif lancé en l’air et hasardons une explication semi-relativiste. L’énergie totale de ce corps au moment où on le lance est :

 

(20)

S’il parvient à l’altitude h avant de retomber, on peut écrire :

 

(21)

Au moment où il atteint le sommet de sa trajectoire, son énergie propre se résume à son énergie de masse :

 

 

On peut donc écrire :

 

(22)

Cette relation ne dépend pas de la masse. On peut légitimement supposer qu’elle reste valable dans le cas d’un photon :

 

(23)

Dans les faits, cette formule est une très bonne approximation de l’équation (19) pour des expériences réalisées depuis la Terre. Lorsque h est grand, on peut la raffiner en prenant en compte une formule plus précise du potentiel gravitationnel :

 

ce qui donne :

(24)

Pour illustrer ce décalage, nous allons prendre 4 exemples :

  • Le premier exemple est un exemple tiré de la vie courante : il illustre le décalage entre l’horloge atomique d’un satellite GPS orbitant à 20180 km autour de la Terre et celle d’une station réceptrice située au niveau de la mer.
  • Le second consiste à comparer le temps propre à la surface du soleil avec celui d’une horloge située à grande distance de celui-ci.
  • Le troisième illustre le décalage entre une horloge placée à 3 fois le rayon de Schwarzschild4 d’un trou noir de 10 masses solaires et une horloge située à grande distance de celui-ci.
  • Le quatrième fait la même estimation pour un trou noir de 4 millions de masses solaires tel que celui qui se trouve au centre de notre galaxie.

Le résultat est exprimé en valeur relative (ε) et en décalage par jour terrestre.

 

M

GM/c2

R1

R2

ε

Δτ/j

  Terre

6 1024 kg

4,43 10-3

6300 km

26480 km

5,5 10-10

45 μs

  Soleil

2 1030 kg

1,48 103

700 000 km

>> R1

2,1 10-6

180 ms

  Trou noir de 10

20 1030 kg

1,48 104

89 km

>> R1

1,7 10-1

4 h

  Trou noir de 4 106

20 1036 kg

5,93 109

35 106 km

>> R1

1,7 10-1

4 h

Comme on le voit, le décalage entre l’horloge atomique d’un satellite GPS et une horloge atomique placée au niveau de la mer est faible mais perceptible. La détermination de la position du récepteur se faisant par triangulation, cet écart doit être impérativement corrigé. Un écart de 46 μs correspond en effet à une erreur de 14 km sur la détermination de la distance par rapport au satellite !

Pour le soleil, l’écart est de 180 ms par jour... un peu plus d’une minute par an. Cet exemple reste néanmoins très théorique. Difficile de placer une horloge à la surface du soleil…

Les deux derniers exemples concernent des trous noirs. Le choix de correspond à la plus petite orbite circulaire stable autour d’un trou noir de Schwarzschild (voir chapitre consacré aux particules en mouvement dans la métrique de Schwarzschild). Le premier cas correspond à un trou noir stellaire, le second à un trou noir super-massif. Le décalage journalier est identique dans les deux cas : rien d’étonnant à cela puisque le rayon de Schwarzschild est proportionnel à la masse du trou noir. Il apparaît donc au numérateur et au dénominateur.

En réalité, il convient pour être précis d’ajouter à ce décalage celui dû à la vitesse relative entre les deux horloges. La transformation de Lorentz nous donne une très bonne approximation de l’écart dû à la vitesse :

 

(25)

Pour un satellite GPS, la vitesse est de 3,87 km/s et l’écart est de 7 μs/j. Cet écart a un signe opposé par rapport au décalage gravitationnel. L’écart total est donc de 38 μs/j.

Ondes gravitationnelles

Comme nous l’avons dit en introduction, l’une des motivations d’Einstein lorsqu’il s’est lancé dans le développement de sa théorie de la relativité générale était d’éliminer le paradoxe posé par l’instantanéité de l’action à distance de la loi de gravitation universelle. La théorie de la relativité générale résout effectivement cette contradiction. Elle montre comment une modification du tenseur énergie-impulsion engendre une onde gravitationnelle qui se propage dans l’espace-temps à une vitesse égale à celle de la lumière.

La démonstration n’est pas évidente et elle ne découle pas de manière directe de l’équation d’Einstein présentée plus haut. Cette équation ne fait intervenir que le tenseur de Ricci et la courbure scalaire de l’espace-temps. Or une variation du tenseur énergie-impulsion a des effets sur le tenseur de Riemann dont certaines des composantes n’interviennent pas dans le tenseur de Ricci.

Pour analyser cette onde gravitationnelle il faut utiliser autre tenseur, le tenseur de Weyl, du nom du mathématicien et physicien allemand Hermann Weyl. On obtient le tenseur de Weyl en combinant le tenseur de Riemann, le tenseur de Ricci et la métrique. Le tenseur de Weyl donne la structure de l’espace-temps dans les régions vides de matière.

Les ondes gravitationnelles sont des oscillations de la courbure de l’espace-temps. Elles ont été prédites par Einstein en 1918. L’effet de ces ondes gravitationnelles est pratiquement indécelable. Seuls des événements cataclysmiques à l’échelle de ceux qui se produisent dans l’Univers peuvent engendrer une perturbation d’amplitude suffisante pour qu’on puisse espérer la détecter de manière directe.

L’existence des ondes gravitationnelles a cependant pu être démontrée de façon indirecte par Russel Hulse et Joseph Taylor grâce à la découverte du pulsar binaire PSR 1913+16 en 1974. Cette démonstration est basée sur l’observation pendant plus de 10 ans de ce pulsar binaire. Un système binaire est formé de deux étoiles qui tournent l’une autour de l’autre. Ce tournoiement engendre une sorte de tourbillon de l’espace-temps qui se propage dans l’Univers sous forme d’ondes gravitationnelles. Ces ondes emmènent avec elles une partie de l’énergie du système binaire qui, de ce fait, ralentit. Ce ralentissement est perceptible si le système binaire est associé à un pulsar. Hulse et Taylor ont montré que le ralentissement de la fréquence du pulsar PSR 1913+16 correspondait aux valeurs calculées en appliquant les principes de la relativité générale. Cette découverte leur a valu l’attribution du prix Nobel de physique en 1994.

La détection directe des ondes gravitationnelles est beaucoup plus délicate à réaliser. Elle nécessite de disposer d’instruments de mesure des distances très précis. Les expériences LIGO et VIRGO, aux Etats-Unis et en Italie, ainsi que le satellite LISA qui doit être lancé en 2020, ont pour objectif de réaliser cette détection.

Le 16 février 2016, l’équipe qui opère LIGO a annoncé avoir détecté quelques mois auparavant et pratiquement simultanément sur les deux interféromètres qui composent le dispositif (l’un est en Louisiane et l’autre dans l’état de Washington) un événement qui, après analyse, s’avère avoir toutes les caractéristiques de l’écho de la fusion de deux trous noirs d’environ 30 masses solaires chacun. Cette fusion est un événement cataclysmique qui a converti l’équivalent de trois masses solaires en ondes gravitationnelles.

 

Notes

1 : Le principe d’équivalence stipule que les effets d'un champ gravitationnel sont identiques localement aux effets d'une accélération du référentiel de l'observateur. Ce principe revient à dire que la masse inertielle et la masse grave d’un corps sont égales. La masse d’un corps est la mesure de la quantité de matière qu’il contient. On distingue la masse inertielle et la masse grave. La première caractérise la difficulté que l’on a à modifier la trajectoire d’un corps, la seconde l’intensité du couplage de ce corps au champ d’attraction gravitationnelle. (Il ne faut pas confondre la masse grave d’un corps et son poids, qui mesure l’attraction exercée par la Terre sur ce corps.) Rien ne permet de dire a priori que ces deux masses sont égales. Le principe d’équivalence est basé sur le postulat qu’elles le sont. A ce jour, cette égalité est vérifiée avec une précision de 10-12. Le lancement du satellite Microscope par le CNES en avril 2016 a pour objectif de porter cette précision à 10-15.

2 : Depuis, la déflexion des rayons lumineux par le soleil a été démontrée de façon beaucoup plus précise grâce aux mesures réalisées avec la sonde Cassini.

3 : Robert Hooke est un scientifique anglais contemporain de Newton. Il fut secrétaire de la Royal Society of London for the Improvement of Natural Knowledge, la première société savante créée en Europe.

4 : Voir le chapitre consacré à la métrique de Schwarzschild.