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Annexe 1 : Rappels de mécanique newtonienne

Annexe 2 : Relativité restreinte et relativité générale

 

Trajectoire d'un corps en relativité générale

 

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Le chapitre précédent nous a permis découvrir les principes de base de la relativité générale. Attardons-nous quelques instants sur l’une de ses principales affirmations : le mouvement inertiel des corps soumis à la seule attraction gravitationnelle.

Equation des géodésiques

Remarque préliminaire : dans tout ce qui suit, on utilise un système d’unités tel que .

Considérons le cas d’une particule suffisamment petite pour que sa masse et son déplacement ne perturbent pas l’espace-temps. La théorie de la relativité générale nous dit qu’une particule libre (c’est à dit soumise aux seules forces de la gravitation) suit un mouvement inertiel dans cet espace-temps.

Dans l’espace euclidien de la mécanique newtonienne, un corps en mouvement inertiel suit une ligne droite. La ligne droite est le plus court chemin pour aller d’un point à un autre. Dans l’espace courbe de la relativité générale, le plus court chemin pour aller d’un point à un autre est une géodésique. Une particule libre suit donc une géodésique.

Nous avons démontré dans le chapitre consacré aux espaces courbes la formule qui donne l’équation des géodésiques. Les composantes de la courbe qui définit une géodésique sont telles que :

 

(1)

Dans cette équation, les coefficients sont les symboles de Christoffel de la métrique .

Interprétation

La démonstration de l’équation des géodésiques s’appuie sur des considérations purement géométriques. Il n’est pas inutile de la resituer dans un contexte plus « mécanique » pour se convaincre de sa pertinence et en comprendre la signification. Revenons donc à notre particule de faible masse. Comme nous l’avons indiqué plus haut, les lois de la mécanique newtonienne nous indiquent qu’en l’absence de toute force extérieure une telle particule suit un mouvement inertiel. Un mouvement inertiel est caractérisé par la conservation du vecteur vitesse :

 

(2)

Nous allons chercher à transposer cette condition dans l’espace-temps de la relativité générale. Soit le quadrivecteur vitesse de la particule considérée. La conservation du quadrivecteur vitesse au cours du mouvement inertiel de cette particule conduit à écrire :

 

(3)

tout au long de la trajectoire. Dans un cadre classique (euclidien) cela reviendrait à écrire :

 

 

équation dans laquelle représente les coordonnées de la particule le long de sa trajectoire. Comme nous l’avons vu dans le chapitre sur les espaces courbes, ceci n’est pas correct. Il faut en effet utiliser la notion de dérivée covariante en lieu et place de la dérivée partielle pour s’affranchir des artefacts mathématiques liés à la courbure. Ceci conduit à écrire :

 

(4)

étant l’opérateur de dérivée covariante suivant la coordonnée d’indice . Or, par définition du quadrivecteur vitesse, on a :

 

 

Ceci amène à la formulation suivante :

 

(5)

C’est la condition de conservation du quadrivecteur vitesse d’une particule tout au long de sa trajectoire. Sachant que, par définition de la dérivée covariante :

 

 

il vient :

 

(6)

... ce qui nous ramène à l’équation des géodésiques !

 

 

Une particule dont le quadrivecteur vitesse est conservé suit donc une géodésique.

Analysons cette formule. Son équivalent en mécanique classique est l’équation qui indique qu’une particule suit un mouvement uniforme. Or, en mécanique relativiste le mouvement inertiel intègre les effets de l’attraction gravitationnelle. Il n’est donc pas anormal que le terme d’accélération (la dérivée seconde de ) ne soit pas nul. D’une certaine manière, on peut dire que, dans l'espace-temps de la relativité générale, le champ gravitationnel se manifeste au travers du symbole de Christoffel. C’est le terme qui conduit à ce que nous interprétons comme « l’accélération de la particule » en mécanique classique.

Un exemple simple

Prenons l'exmple de trois projectiles : un ballon lancé par un enfant d’un point A à un point B, une balle tirée par un chasseur depuis A vers B, un rayon laser pointé de A vers B. Tous trois suivent une géodésique. La vitesse du premier est de 10 m/s, celle du second 500 m/s et celle du troisième 300 000 km/s. Supposons que la distance entre A et B soit de 10 m. Le ballon s'élève à 2,5 m, la balle de 0,5 mm et le rayon de 10-12 mm.

Figure 1 : Trajectoire des trois projectiles dans différentes représentations.

La figure de gauche illustre la forme des trajectoires dans un espace à deux dimensions. Comme on peut le constater, elles sont très différentes. La figure du centre représente cette fois les trajectoires dans un espace-temps à 2+1 dimensions : un espace de Minkowski simplifié. La ressemblance n'est toujours pas flagrante. La figure de droite trace cette fois les trajectoires dans un repère (ct, z). Dans cet espace, les trajectoires ont la même forme : un arc de parabole dont les paramètres sont strictement les mêmes. Seule l'extension de cet arc change. C'est la représentation la plus simple et la plus immédiatement compréhensible du fait que le ballon, la balle et le photon se déplacent le long d’une géodésique de l’espace-temps. La forme de cette géodésique ne dépend que de la courbure et la courbure est fixée par l’intensité du champ gravitationnel.

Sur la base de cet exemple, on peut d'ailleurs faire une constatation très simple : la courbure temporelle est beaucoup plus facilement perceptible que la courbure spatiale. L’espace à 3 dimensions tel que nous le percevons intuitivement est très rigide. En pratique, il faut un corps de densité énorme pour le déformer. Par contre, la courbure temporelle est immédiatement perceptible. En première approximation, c’est en effet la courbure temporelle qui permet de déterminer la trajectoire des corps dans un champ gravitationnel. Cela explique pourquoi on a longtemps cru que l’espace et le temps étaient indépendants.

Formulation lagrangienne

Au cours du XVIIIème siècle Joseph-Louis Lagrange a reformulé les lois de la mécanique newtonienne en les dérivant du principe de moindre action1. C’est d’ailleurs en hommage à sa contribution décisive à la mécanique qu’on écrit aujourd’hui ce principe en utilisant une quantité appelée « lagrangien ».

En l’absence de tout potentiel de force, le lagrangien représente l’énergie cinétique du système considéré. Il est tentant d’adapter cette notion à la relativité en définissant un lagrangien relativiste qui peut s’écrire comme suit :

 

(7)

Si le principe de moindre action continue de s’appliquer au mouvement d’une particule dans l’espace-temps de la relativité générale, on doit pouvoir retrouver l’équation des géodésiques en recherchant la trajectoire qui minimise l’intégrale de . La solution à ce problème s’obtient une fois encore en appliquant le théorème d’Euler-Lagrange :

 

(8)

Le tenseur ne dépend pas explicitement de . On peut donc écrire l’équation (8) sous la forme suivante :

 

(9)

Développons le deuxième terme :

 

et

 

En renommant convenablement les indices qui apparaissent dans les sommes (leur choix est arbitraire), l’équation (9) peut s’écrire :

 

(10)

Nous avons déjà rencontré cette équation dans le chapitre sur les espaces courbes (voir annexe 2 de ce chapitre). C’est précisément celle qui nous a conduit à l’équation des géodésiques :

 

 

On vérifie donc qu’il y a bien équivalence entre les deux approches : celle issue de la géométrie et celle issue de la mécanique lagrangienne.

Invariance du quadrivecteur impulsion

On peut remarquer que l’équation (7) est l’expression du carré de la norme du quadrivecteur vitesse multiplié par . Or la norme de la quadrivitesse est égale à 0 ou à 1 selon que la particule est un photon ou une particule massive (c’est un résultat que nous avons déjà rencontré dans les chapitres sur la relativité restreinte) :

 

pour une particule massive

 

pour un photon

Il suffit pour s’en convaincre d’écrire que :

 

 

Or, dans le cas d’une particule massive, il y identité entre et alors que, dans le cas d’un photon, est nul.

On peut donc écrire pour n’importe quelle particule :

 

(11)

Cette équation est la forme relativiste de la loi de conservation de l’énergie. On peut aussi l’écrire sous la forme suivante :

 

(12)

représente le quadrivecteur énergie-impulsion de la particule, sa forme covariante et ε2 l’énergie de masse. ε est égal à 0 pour un photon et à 1 pour une particule massive. Cette équation est l’extension à la relativité générale de la fameuse équation de conservation de l’énergie d’Einstein2 :

 

(12 bis)

 

 

est en effet la norme du quadrivecteur énergie-impulsion dans l’espace-temps minkowskien et, par ailleurs, m2ε2 = m2c4 dans notre système d’unités (c = 1).

Si l’on reprend la définition de l’impulsion dans l’approche lagrangienne de la mécanique classique, on peut écrire (voir annexe 1) :

 

 

Ceci est aussi applicable en relativité générale :

 

(13)

(Le terme de dérivée apparaît deux fois et ne dépend pas explicitement de .) Reprenons l’équation (8). On peut donc l’écrire comme suit :

 

(14)

En remplaçant par sa valeur littérale il vient :

 

(15)

Ceci permet de mettre en évidence un résultat remarquable. La composante covariante de l’impulsion d’une particule libre est invariante tout au long d’une géodésique si le tenseur métrique est indépendant de la coordonnée .

C’est une extension à la relativité générale d’un résultat bien connu en mécanique newtonienne : la conservation du moment cinétique. Le cas échéant, ce résultat s’applique également à la coordonnée temporelle . On retrouve dans ce cas l’équation de conservation de l’énergie puisque la composante temporelle du quadrivecteur énergie-impulsion d’une particule est égale à son énergie divisée par c.

Vecteur de Killing

La notion de vecteur de Killing3 permet de généraliser la recherche des invariants tout au long de la trajectoire d’un corps.

La dénomination vecteur de Killing désigne en fait à un champ de vecteurs. Un champ de Killing est un champ vectoriel qui conserve la métrique. Soit M un point de l’espace-temps et soit le vecteur de Killing en ce point. Considérons la courbe passant par M et tangente au vecteur . Soit M' le point obtenu en glissant M le long de cette courbe. On a, par définition du champ de Killing :

 

(16)

On peut exprimer cette condition d’une autre façon. Soit N un autre point auquel on fait subir le même type de transformation pour obtenir le point N'. On peut écrire :

 

(17)

La forme très générale des équations de conservation tout au long d’une géodésique peut s’exprimer de la manière suivante en faisant appel aux vecteurs de Killing :

 

(18)

Ceci revient à écrire que :

 

(19)

Nous allons nous intéresser à deux cas particuliers. Prenons tout d’abord le cas d’une métrique stationnaire. Une métrique est dite stationnaire si la transformation définie par :

 

 

ne change pas la métrique. Ceci revient à dire que :

 

(20)

et :

 

(21)

Dans le cas de la métrique de Schwarzschild, cela conduit à écrire :

 

(22)

On verra dans le chapitre consacré à la métrique de Schwarzschild que cela conduit à une équation que l’on identifie à l’équation de conservation de l’énergie :

 

(23)

Le deuxième cas particulier concerne les métriques axisymétriques. Supposons qu’elles soient exprimées dans un repère de type . Elles sont telles qu’un déplacement tel que :

 

 

ne change pas la métrique. Le vecteur de Killing associé est :

 

(24)

... soit, dans la métrique de Schwarzschild :

 

(25)

On verra également plus tard que cela conduit à une équation de conservation du moment cinétique. En effet, dans le plan équatorial (θ = π/2) il vient :

 

(26)

Dans le cas de la métrique de Kerr (trou noir en rotation), le même type de raisonnement conduit aux vecteurs suivants dans le plan équatorial :

  et :

(27)

Ces deux vecteurs permettent également d'écrire les équations de conservation de l'énergie et du moment cinétique d'un corps en transit aux abords du trou noir.

 

Notes

1 : Le principe de moindre action est présenté en détail dans l'annexe consacrée aux principes généraux de la mécanique newtonienne.

2 : On trouvera en annexe 2 des explications plus détaillées sur le lien entre les quantités introduites dans le cadre de la relativité restreinte et leur équivalent en relativité générale.

3 : Wilhelm Killing est un mathématicien allemand (1847 - 1923) qui a travaillé sur les algèbres de Lie et et les géométries non euclidienne.