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Ondes gravitationnelles

 

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Les ondes gravitationnelles sont des oscillations de la courbure de l’espace-temps. Elles ont été prédites par Einstein en 1918. L’effet de ces ondes gravitationnelles est difficilement décelable. Seuls des événements cataclysmiques à l’échelle de ceux qui se produisent dans l’Univers peuvent engendrer une perturbation d’amplitude suffisante pour qu’on puisse espérer la détecter de manière directe.

L’existence des ondes gravitationnelles a été démontrée de façon indirecte par Russel Hulse et Joseph Taylor. Cette démonstration est basée sur l’observation pendant plus de 10 ans d'un pulsar binaire qu'ils avaient découvert en 1974. Un système binaire est formé de deux étoiles qui tournent l’une autour de l’autre. Ce tournoiement engendre une sorte de tourbillon de l’espace-temps qui se propage dans l’Univers sous forme d’ondes gravitationnelles. Ces ondes emmènent avec elles une partie de l’énergie du système binaire qui, de ce fait, ralentit. Ce ralentissement est perceptible si le système binaire est associé à un pulsar. Hulse et Taylor ont montré que le ralentissement de la fréquence du pulsar PSR 1913+16 correspondait parfaitement aux valeurs calculées en appliquant les principes de la relativité générale. Cette découverte leur a valu l’attribution du prix Nobel de physique en 1994.

La détection directe des ondes gravitationnelles est beaucoup plus délicate a réaliser. Elle nécessite de disposer d’instruments de mesure des distances très précis. Les expériences LIGO et VIRGO, aux Etats-Unis et en Europe, ainsi que le satellite LISA qui doit être lancé en 2020, ont pour objectif de réaliser cette détection. L'équipe en charge de l'expérience LIGO a annoncé avoir détecté en septembre 2015 un événement dont l'analyse a montré qu'il avait toutes les caractéristiques d'une distorsion de l'espace-temps due à la collision de deux trous noirs.

L’événement référencé GW150914 a consisté en la coalescence de deux trous noirs dont les masses respectives étaient de 36 et 29 masses solaires. Le trou noir qui en a résulté a une masse de 62 masses solaires. L’équivalent de 3 masses solaires a été transformé en énergie transportée par les ondes gravitationnelles ! La puissance générée par un tel événement est tout simplement fantastique. Elle est de l’ordre de grandeur de la puissance rayonnée à chaque instant par l’Univers observable ! Cela donne une idée de l’extraordinaire rigidité de l’espace-temps. La coalescence de deux trous noirs produit un "accroc" dans l’espace-temps. Un peu comme lorsqu’on casse une baguette rigide. La fracture de la baguette libère d’un seul coup l’énergie que l’on a dépensée en tentant de la courber. Plus la baguette est rigide, plus cette énergie est importante. Cette énergie se répand sous la forme d'une onde sphérique dans l'Univers. Or, comme on le sait, l'énergie-matière courbe l'espace... d'où l'existence des ondes gravitationnelles. L'énergie démesurée emportée par les ondes gravitationnelles ne produit cependant sur Terre qu'une ondulation de très faible amplitude, pas même le rayon d'un proton, alors que des étoiles situées à la même distance et qui ont une puissance incomparablement plus faible sont parfaitement visibles. Une étoile comme le Soleil rayonne l'équivalent en énergie de 4 millions de tonnes par seconde, à comparer avec les 6 1027 tonnes rayonnées en quelques millisecondes lors de la fusion de ces deux trous noirs... Cela montre donc à quel point l’espace-temps est extraordinairement rigide. Depuis, plusieurs autres événements de ce type ont été détectés.

 

Rencontre de deux étoiles à neutrons

L’histoire se passe il y a 130 millions d’années dans la galaxie NGC 4993. A l’époque, les dinosaures règnent en maîtres sur Terre. Tout là-haut, deux étoiles à neutrons de 1,17 et 1,60 masses solaires ont entamé depuis fort longtemps une valse mortelle. Ces deux étoiles impriment dans le tissu de l’espace-temps une double empreinte qui tourne à la même vitesse qu’elles. Ce mouvement de rotation incessant engendre une onde de déformation de la courbure de l’espace-temps qui se propage à la vitesse de la lumière.

Or, la relativité générale nous enseigne que courbure et énergie sont indissociablement liée. Cette onde emmène donc avec elle un peu d’énergie qui est prélevée sur l’énergie de rotation du couple d’étoiles à neutrons. C’est ainsi que chaque tour rapproche ces deux étoiles imperceptiblement. D’abord de manière infime, puis chaque fois un peu plus. La danse dure peut-être depuis des dizaines de millions, voire des centaines d’années. Elles sont désormais très proches, leur spirale infernale est effrénée : plus de 100 tours par seconde ! Leur énergie de rotation fond à vue d’œil. Il arrive un moment où la collision est inévitable.

L’événement est cataclysmique et secoue violemment l’espace-temps. Une onde gravitationnelle est générée qui emporte une énergie équivalente à près de 3% de la masse solaire. L’énergie rayonnée par 100 000 soleils pendant un milliard d’années ! Mais ce n’est pas tout : les forces de marées titanesques qui s’appliquent aux étoiles juste avant la fusion les volatilisent en partie. L’onde de choc produit des éléments lourds à profusion comme l’or ou le platine. L’équivalent de 100 fois la masse de la Terre en quelques heures… Un flux puissant de rayons gamma est émis. L’enveloppe de matériaux nouvellement créés est éjectée et produit une lumière intense. Les scientifiques avaient donné le nom de kilonova à ce type d’événement mais ne l’avaient jamais encore observé.

17 août 2017 : les interféromètres LIGO aux Etats-Unis et Virgo en Europe détectent l’écho de l’onde gravitationnelle produite par la collision. Toute la communauté astronomique se mobilise aussitôt. 1,7 secondes plus tard, le télescope spatial Fermi capte un sursaut gamma court (GRB : Gamma Ray Burst) dans la même direction. Quelques jours après, c’est le satellite Chandra qui détecte une nouvelle source de rayons X au même endroit. Puis c’est Hubble qui prend le relai, et enfin le réseau de radiotélescope VLA…

Tout concorde, toutes ces détections sont bien liées au même événement. Elles corroborent les modèles établis par les astrophysiciens et qu’ils n’avaient jamais pu mettre à l’épreuve des faits. Elles permettent aussi d’expliquer l’origine des sursauts gamma courts mais aussi la production d’éléments lourds dont la proportion dans l’Univers était jusqu’alors inexpliquée. C’est la première fois qu’on peut associer la détection d’ondes gravitationnelles à la mesure de rayonnement dans une gamme aussi étendue de fréquences : depuis les rayons gamma jusqu’aux radiofréquences.

C’est enfin un extraordinaire exemple de ce que la coopération et la coordination scientifiques permettent de réaliser : 3500 chercheurs, des dizaines de labos, 4 satellites, 3 interféromètres… L’exploitation des données collectées ne fait que commencer. Elle va permettre à la science des étoiles à neutrons de faire un bond en avant sans précédent.

Equation de propagation des ondes gravitationnelles

L’espace-temps de la relativité-générale est courbe mais il est très rigide. Dans la plupart des cas, il se distingue de l’espace-temps plat de Minkowski par une déviation infime, insensible aux mesures effectuées avec des instruments traditionnels. On peut donc écrire :

 

avec :

(1)

étant la métrique de Minkowski et l’écart par rapport à cette métrique.

Nous allons exprimer les symboles de Christoffel et le tenseur de Riemann en fonction de ce tenseur d’écart.

 

(2)

Si l’on tient compte du fait que :

  • les termes de type sont tous nuls,
  • on peut négliger les termes du second ordre faisant intervenir ,

on peut écrire :

 

(3)

On peut procéder au même type de simplification avec le tenseur de Riemann en négligeant les termes qui font intervenir les doubles produits de symboles de Christoffel :

 

(4)

 

(4 bis)

Le tenseur de Ricci peut donc s’écrire :

 

(5)

Soit :

 

(6)

Ce qui peut encre s’écrire :

 

(7)

Dans cette formule, on peut reconnaître la trace de ainsi que l’opérateur d’Alembertien :

 

 

 

 

 

avec :

 

Ceci permet de réécrire la formule du tenseur de Ricci sous la forme suivante :

 

(8)

Calculons maintenant la courbure de l’espace-temps. Par définition elle vaut :

 

(9)

Ce qui donne :

 

(10)

Il reste à calculer la valeur du tenseur d’Einstein :

 

(11)

On définit le tenseur de trace inverse :

 

(12)

Le nom de ce tenseur provient du fait que . Ceci permet d’écrire :

 

(12 bis)

L’équation (11) se simplifie légèrement :

 

(13)

(On a adopté la convention classique selon laquelle G et c sont égaux à 1.)

Jauge de Lorentz

Jusqu’à maintenant, nous n’avons fait aucune hypothèse sur le référentiel choisi (rappelons que la relativité générale nous laisse une grande latitude à ce sujet). Il est possible de déterminer quelques règles permettant d’aboutir à une équation beaucoup plus simple. Supposons que l’on effectue un changement de coordonnées tel que :

 

(14)

Le tenseur d’écart h' correspondant à ce nouveau système de coordonnées est différent du tenseur h. Néanmoins, si la condition (1) est respectée, on peut démontrer que :

 

(15)

La simple application de l’équation (6) conduit alors à constater que le tenseur de Riemann associé reste inchangé dans cette transformation :

 

(16)

Ceci nous renvoie à un cas que nous avons déjà rencontré. Lorsque nous avons étudié le comportement des équations de Maxwell dans le cadre de la relativité restreinte1 nous avions montré que le champ électromagnétique dérivait d’un quadripotentiel qui n’était pas défini de manière univoque. Ceci nous avait amené à définir un jeu de contraintes sur le choix A et qui conduisait à une formulation beaucoup plus simple des équations de propagation du champ. Ce jeu de contraintes s’appelle une jauge. Dans le cas des équations de Maxwell, la jauge que l’on utilise couramment est la jauge de Lorentz :

 

(17)

D’une certaine manière, nous pouvons considérer le tenseur d’écart h comme un potentiel dont dérive le tenseur de courbure . Par analogie avec l’électromagnétisme, nous allons définir une jauge sur h directement dérivée de la jauge de Lorentz (on lui donne d’ailleurs le même nom) :

 

ce qui équivaut à écrire :

(18)

Cette fois l’équation (13) ce simplifie considérablement :

 

(19)

Cette équation n’est autre que l’équation de propagation d’une onde ! Dans le vide , la solution de cette équation peut être décomposée en une superposition d’ondes monochromatiques se propageant à la vitesse de la lumière.

L’analyse plus précise des équations de propagation des ondes gravitationnelles montre que, tout comme les ondes électromagnétiques, les ondes gravitationnelles peuvent avoir deux modes de polarisation. La polarisation d’une onde gravitationnelle dépend des caractéristiques de sa source. Les astrophysiciens estiment en particulier que la période d’inflation cosmique qui a multiplié les dimensions de l’Univers dans un rapport 1050 juste après le Big-bang2 a généré des ondes gravitationnelles polarisées en spirale. Cette polarisation devrait trouver un écho dans la polarisation du fond diffus cosmologique. Le degré de précision des observations réalisées jusqu’à maintenant ne permet pas de confirmer cette prédiction.

Détection des ondes gravitationnelles

La signification physique de l’équation (19) est la suivante : lorsque le tenseur énergie-impulsion est soumis localement à des variations, celles-ci se traduisent par des ondes de déformation de l’espace-temps qui se propagent à la vitesse de la lumière. C’est une conséquence de ce phénomène qui a été détectée par Russel et Hulse en 1974. La rotation rapide d’un système binaire comportant un pulsar entraîne une variation périodique de forte amplitude du tenseur énergie-impulsion autour du centre de gravité de l’ensemble. Cette variation agit comme une source d’ondes gravitationnelles. Ces ondes emportent avec elles une partie infime de l’énergie cinétique du système binaire, ce qui conduit à le ralentir.

Puissance dissipée par les ondes gravitationnelles dans le cas d'un système binaire

Le calcul de la puissance emportée par les ondes gravitationnelles est très complexe. Dans le cas d’un système binaire, le résultat communément accepté donne la valeur suivante :

 

(20)

avec :

  • la masse totale du système :     ,   et étant la masse de chacune des composantes de ce système,
  • a la séparation moyenne entre les deux composantes du système,
  • μ la masse réduite du système :    .

Prenons quelques exemples.
Dans le cas du système binaire composé de la Terre et du soleil, la puissance emportée par les ondes gravitationnelles vaut 200 W. Compte tenu du moment cinétique de la Terre, l’effet ne sera même pas perceptible lorsque le soleil jettera ses derniers feux dans 5 milliards d’année. Si l’on considère le système binaire composé du soleil et de Jupiter, la puissance est un peu plus importante (5 kW) mais l’effet est tout aussi négligeable.

Dans le cas du système binaire composé de la Terre et de la Lune, la puissance emportée est infinitésimale (7 μW). L’effet d’éloignement de la Lune lié aux marées prédomine largement.

Dans le cas du système binaire PSR 1913+16 identifié par Hulse et Taylor en 1974, la puissance est au contraire considérable. Le système est composé de deux étoiles à neutrons de masse à peu près équivalente (1,4 masses solaires). La séparation moyenne a vaut quant à elle 1,6 millions de km. Dans ces conditions, le calcul montre que la puissance dissipée vaut 7 1024 W ! Une valeur suffisante pour que les astronomes puissent détecter son effet sur la période de rotation du système binaire.

Détection directe

La mesure du ralentissement d'un système binaire est une confirmation indirecte de l'existence des ondes gravitationnelles. Une mesure directe est beaucoup plus difficile à réaliser : elle demande une très grande précision dans la détermination des distances et cette précision est à la limite des possibilités de la technologie actuelle.

Le dispositif LIGO (Laser Interferometer Graviational-Wave Observatory) est composé de deux dispositifs identiques dont l’un est situé à Livingston en Lousiane et l’autre à Hanford dans l’état de Washington. Chacun de ces dispositifs est composé de deux bras orthogonaux longs de 4 km parcourus par un faisceau laser séparé en deux demi-faisceaux qui font 400 aller-et-retours avant d’interférer. Le passage d'une onde gravitationnelle se traduit par une variation de longueur différente de chacun des bras. Le 16 février 2016, l’équipe qui opère LIGO a annoncé avoir détecté quelques mois auparavant et pratiquement simultanément sur les deux détecteurs un événement qui, après analyse, s’avère avoir toutes les caractéristiques de l’écho de la fusion de deux trous noirs d’environ 30 masses solaires chacun. Cette fusion est un événement cataclysmique qui a converti l’équivalent de trois masses solaires en ondes gravitationnelles.

Le dispositif Virgo en Europe est de même nature. Il n'était pas en service le jour où l'événement est survenu. La mission spatiale LISA améliorera considérablement la sensibilité de la mesure : trois satellites formeront dans l'espace un interféromètre à 2 bras de près de 1 million de kilomètres. Les satellites devraient être lancés en 2020. Le démonstrateur LISA Pathfinder dont l'objectif est de préparer cette mission a été mis sur orbite en 2015.

 

Notes

1 : Voir le chapitre sur les équations de Maxwell relativistes dans la section consacrée à la relativité restreinte.

2 : Voir le chapitre consacré au modèle standard de la cosmologie.