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Trajectoire d'un corps

Annexe 2 : Relativité restreinte et relativité générale

 

Eléments de mécanique newtonienne

 

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Lorsqu’on aborde la théorie de la relativité, il n’est pas inutile de se remémorer quelques notions de mécanique newtonienne. Newton est incontestablement à l’origine de l’essor de la pensée scientifique sans précédent qui a transformé l’Europe et le monde à partir du début du XVIIIème siècle. La mécanique newtonienne fixe le cadre dans lequel les sciences se sont développées pendant un peu plus de deux siècles. Aujourd’hui encore, elle est enseignée « en première langue » dans tous les lycées et collège et elle est utilisée telle quelle par tous les ingénieurs de par le monde.

La mécanique newtonienne, ce sont des lois (ou plutôt des principes) qui s’appliquent à la dynamique des corps en mouvement. C’est aussi un cadre de pensée qui reste aujourd’hui, malgré les démentis apportés par la science, celui dans lequel nous nous représentons le monde. Ce cadre nous est aujourd’hui tellement familier que nous ne mesurons pas ce qu’il pouvait avoir de novateur à l’époque où Newton l’a formulé. Et il nous paraît tellement évident, tellement intuitif, qu’il en est devenu un handicap pour comprendre celui de la relativité. Ce cadre peut être résumé sous la forme de deux propositions

  • Le monde et tous les objets qui le constituent évoluent dans un espace à trois dimensions qui est indépendant de lui et dont les propriétés géométriques sont fixes et éternelles. L’espace est en quelque sorte la scène sur laquelle se joue l’histoire de l’Univers.
  • Le temps s’écoule de la même façon en tout point de cet espace. Il est lui aussi indépendant de la composition du « monde des objets ». Il existe donc un temps universel qui rythme tous les événements qui se produisent dans l’Univers.

La théorie de la relativité (ou plutôt les théories de la relativité) va (vont) se construire en assimilant l’héritage de la mécanique newtonienne dans un cadre plus vaste, plus général. En fait, la relativité restreinte et la relativité générale ne remettent pas en question les principes posés par Newton : elles montrent qu’ils ont un domaine de validité très large mais limité. D’une certaine façon, on peut dire qu’elles corrigent la mécanique newtonienne aux limites : lorsque la vitesse des objets approche la limite indépassable de la vitesse de la lumière pour ce qui concerne la relativité restreinte, lorsque la dimension des objets tend vers leur rayon de Schwarzschild pour la relativité générale. Limiter l’apport de la relativité à un simple correctif pour traiter les cas extrêmes serait cependant une grave erreur. La relativité introduit en effet un changement radical de paradigme : au sujet de l’espace et du temps, de la masse et de l’énergie, de la gravitation et de la géométrie… C’est le sujet de ce précis de relativité. Cette annexe permet de revenir sur certaines des notions fondamentales de la mécanique newtonienne qui peuvent être utiles pour mieux comprendre ces ruptures.

Les lois de Newton

C’est en 1686 qu’Isaac Newton publie le livre qui a révolutionné la pensée scientifique mondiale : Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Principes mathématiques de la philosophie naturelle). Dans ce livre, il énonce les trois grands principes de la mécanique ainsi que sa théorie de l’attraction universelle :

  • Principe d’inertie

  <=>

(4)

En l’absence d’une force extérieure, le mouvement d’un corps est uniforme dans un référentiel galiléen.

  • Principe fondamental de la dynamique
 

(2)

Soit un corps de masse m donnée, l’accélération γ qu’il subit dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qui s’exercent sur lui.

  • Principe d’action réciproque

Les actions exercées par deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et opposées.

  • Loi de la gravitation universelle

Deux corps distants l’un de l’autre exercent l’un sur l’autre une force d’attraction égale à :

 

(3)

avec :

 

la constante de gravitation universelle

 

 

et

la masse de ces deux corps

 

 

la distance qui sépare le centre de gravité des deux corps

 

La constante de gravitation universelle est égale à 6,67384 10-11 m3/hg/s2.

Champ gravitationnel

A proximité d’un astre ou d’une planète, on peut négliger l’action des corps de petite taille qui se déplacent sur cet astre ou à proximité. Tout se passe comme si ces corps se trouvaient soumis à un simple champ d’attraction gravitationnelle. La force d’attraction qui s’exerce sur chacun d’entre eux est assimilable à une force de pesanteur :

 

et

(4)

avec :

 

la masse du corps considéré

 

 

le champ gravitationnel

 

 

la masse de l’astre

 

 

la distance qui sépare le centre de gravité de l’astre et celui du corps

 

 

un vecteur unitaire orienté dans la direction du corps

 

On démontre facilement que le champ gravitationnel dérive d’un potentiel scalaire :

Energie cinétique

L’énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement par rapport à un référentiel donné. Le concept d’énergie cinétique a été introduit par Gottfried Leibniz1 qui l’appelait à l’époque force vive. L’énergie cinétique d’un corps isolé2 est égale à :

 

et

(5)

Revenons au principe fondamental de la dynamique :

 

(6)

Multiplions les deux membres par . il vient :

 

 

On reconnaît dans le membre de droite un terme de puissance. Ceci conduit à l’équation suivante :

 

(7)

La variation de l’énergie cinétique d’un point est égale au travail de la force qui s’exerce sur lui.

 

(8)

Quantité de mouvement

C’est le produit de la masse par la vitesse :

 

(9)

La quantité de mouvement est une grandeur que l’on peut directement relier au principe fondamental de la dynamique. On peut en effet réécrire l’équation (2) sous la forme suivante :

 

(10)

Il en résulte qu’en l’absence de force extérieure, la quantité de mouvement d’un corps est conservée. On peut également exprimer l’énergie cinétique d’un corps de masse en fonction de :

 

(11)

Energie potentielle

La notion d’énergie potentielle est associée à celle d’interaction. L’énergie potentielle d’un système soumis à une interaction est l’énergie qu’il est susceptible d’acquérir sous une autre forme (le plus souvent sous forme d’énergie cinétique) s’il est laissé libre d’évoluer.

Prenons le cas d’un corps simple soumis au champ gravitationnel. Si on le lâche, il va prendre de la vitesse et « tomber ». L’énergie cinétique qu’il va acquérir s’écrit :

 

(12)

... ou, plus exactement :

 

(12 bis)

La différence d’énergie potentielle entre les deux points A et B est égale à l’opposé du travail de la force qui s’applique à ce corps simple pour aller de l’un à l’autre. Dans ce cas on peut écrire l’énergie potentielle du corps considéré sous la forme :

 

(13)

dépend des coordonnées du corps dans l’espace.

Le cas que nous avons considéré est très simple. La notion d’énergie potentielle peut être généralisée à toute sorte de système. Dans ce cas, l’énergie potentielle dépend des coordonnées du système dans son espace des phases. La différence entre les énergies potentielles associées à deux points de l’espace des phases est égale à l’opposé du travail qu’il faut fournir pour déplacer le système considéré entre ces deux points. L’énergie potentielle n’est pas nécessairement liée à un mouvement : elle peut être associée à toute variation d’énergie d’un système résultant de la variation d’une quantité qui le caractérise. La notion générale d’espace des phases permet de s’affranchir de l’idée de mouvement (tout en la comprenant).

Lors de la matérialisation de l’énergie potentielle il y a conservation de l’énergie. Lorsque le système est laissé libre d’évoluer, il tend à rejoindre un état dans lequel son énergie est minimale. Le déplacement du système (ou, de manière plus générale, le passage d’un point à un autre dans l’espace des phases) suit une trajectoire qui respecte le principe de moindre action3.

Sur le plan mécanique, ce déplacement peut être analysé comme l’action d’une force. Soit l’énergie potentielle, l’expression de cette force est :

 

(14)

On dit de cette force qu’elle dérive du potentiel .

L’énergie potentielle peut exister sous de multiples formes : énergie potentielle gravitationnelle, énergie potentielle électrostatique, énergie potentielle élastique, énergie potentielle magnétique, énergie potentielle chimique…

Le potentiel gravitationnel (dans sa forme non relativiste) et le potentiel électrostatique présentent de grandes similitudes.

 

(15-a)

 

(15-b)

Tous deux satisfont à l’équation de Poisson (du nom du mathématicien Siméon Denis Poisson).

 

étant la distribution des charges,

(16-a)

 

étant la densité de masse.

(16-b)

Dans cette équation, l'opérateur est l'opérateur laplacien :

 

 

Vitesse de libération, vitesse de satellisation

Les notions de vitesse de libération et de vitesse minimum de satellisation vont nous permettre d’illustrer les notions qui précèdent.

La vitesse de libération est la vitesse minimale qu’il faut communiquer à un objet pour qu’il échappe à l’attraction d’un astre. On calcule cette vitesse en appliquant la loi de conservation de l’énergie à cet objet. Cette loi nous dit que l’énergie totale de l’objet se conserve tout au long de son mouvement :

 

(17)

Si cet objet échappe à l’attraction de l’astre, il pourra s’en éloigner indéfiniment. Or :

 

si    

 

Nous recherchons la vitesse de libération minimale. On peut donc supposer que :

 

lorsque    

 

Il vient :

 

(17 bis)

On peut en déduire la vitesse de libération :

 

(19)

La vitesse de satellisation minimale est la vitesse minimale d’un corps en orbite circulaire autour d’un astre. Un corps en mouvement circulaire uniforme est soumis à une accélération centrifuge telle que :

 

(20)

étant la vitesse tangentielle et le rayon de l'orbite. Il est par ailleurs soumis à la force d’attraction de l’astre :

 

(20 bis)

Le corps considéré reste en orbite circulaire si la force d’accélération centrifuge et la force d’attraction gravitationnelle s’équilibrent. On peut en déduire la vitesse de satellisation correspondante :

 

(21)

La vitesse de satellisation minimale est celle qui correspond au rayon de l’astre :

 

(21 bis)

Pour passer d’un référentiel galiléen à un autre référentiel galiléen en translation avec une vitesse par rapport au premier, il suffit de soustraire à la vitesse des corps considérés.

Le principe de moindre action

La mécanique newtonienne a donné lieu à de multiples développements. Nous n’en citerons que deux : le principe de moindre action et la formulation hamiltonienne.

Dans Principe de la moindre quantité d'action pour la mécanique (1744), Pierre Louis de Maupertuis définit l'action comme suit :

« L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible. »

En mécanique, le principe de moindre action affirme qu'un corps prend la direction qui lui permet d’optimiser la dépense d'énergie dans l'immédiat en tenant compte qu'il doit y avoir continuité du mouvement (en position et en vitesse) s'il y a continuité des conditions physiques. En reliant deux points, la trajectoire suivie par le corps n'est pas toujours celle qui lui fait dépenser globalement le moins d'énergie. C'est la dépense immédiate (ou plutôt instantanée) d'énergie qui est minimisée. Le corps ne perçoit en effet que les conditions de son environnement immédiat. S’il existe un chemin permettant une dépense globale inférieure mais conduisant à une dépense d'énergie immédiate localement plus élevée, il ne sera pas suivi.

Dans ce résumé du principe de moindre action, l’énergie fait référence à l’énergie cinétique, et la dépense d'énergie signifie que de l'énergie cinétique se transforme en énergie potentielle.

On peut interpréter cela comme équivalent aux deux conditions suivantes :

  • La trajectoire que suit un corps est celle qui permet la transformation instantanée d'énergie cinétique en énergie potentielle la plus faible possible (donc le plus lent sur la trajectoire).
  • La transformation (et donc la trajectoire) est déterminée par les conditions initiales (position et vitesse) et les conditions de l'environnement physique : il doit y avoir continuité de la trajectoire s'il y a continuité du milieu physique.

La détermination du trajet se fait par une méthode variationnelle : les points extrêmes étant fixés, le temps de trajet aussi, on fait varier les trajets. Le ou les trajets physiquement admis sont ceux pour lesquels l'action est stationnaire par rapport aux variations infinitésimales du trajet.

Le plus souvent, on utilise le formalisme qui suit :

  • La trajectoire est exprimée par des variables d’état . Ces variables d’état sont des fonctions du temps.
  • Le lagrangien représente la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle (la relation qui permet de quantifier en chaque point de la trajectoire l’échange entre énergie cinétique et énergie potentielle).

L’intégrale d’action s’écrit :

 

(22)

Le principe de moindre action se traduit par le fait que :

 

(23)

La trajectoire est un optimum : sa dérivée partielle par rapport à est donc nulle. On dit que est "stationnaire".

La résolution de cette équation se traite en utilisant la méthode d’Euler-Lagrange. L’application de l’équation d’Euler-Lagrange au Lagrangien permet en effet d’obtenir l’équation aux dérivées qui décrit le mouvement du système :

 

(24)

Application au mouvement d’un corps soumis à un champ de potentiel

Soit un corps défini par son vecteur position . Soit sa quantité de mouvement. Soit l’énergie potentielle de ce corps. Son lagrangien s’écrit :

 

(25)

On peut aisément calculer les deux membres de l’équation (24) :

 

et

(26)

Il vient :

 

(27)

Dans la mesure où il existe une force qui dérive du potentiel :

 

 

on peut écrire :

 

(28)

Cette équation est tout simplement le principe fondamental de la dynamique.

Impulsion

La notion d’impulsion est la généralisation de celle de quantité de mouvement. La définition de l’impulsion est donnée par la formule suivante :

 

(29)

Il est facile de voir qu’il y a identité entre cette définition et celle de la quantité de mouvement dans le cas d’un corps isolé.

L’impulsion est aussi appelée moment linéaire.

Interprétation du Lagrangien

Soit l’énergie cinétique en un point de la trajectoire optimale et l’énergie potentielle. L’énergie totale du système est . Si le système est isolé, elle est constante.

Sur une trajectoire proche de la trajectoire optimale, on peut écrire l’énergie cinétique sous la forme et l’énergie potentielle sous la forme . La loi de conservation de l'énergie s'écrit :

 

et

(30)

La quantité caractérise le transfert entre énergie cinétique et énergie potentielle au cours d’un mouvement de petite amplitude. Le lagrangien est une quantité qui mesure ce transfert.

La fonction n’a de sens que dans le cadre du principe de moindre action et de la méthode d’Euler-Lagrange. Il ne faut pas lui chercher de sens physique (contrairement au hamiltonien qui correspond à l’énergie totale du système). Elle n’a d’autre fonction que de permettre de rechercher la trajectoire répondant au principe de moindre action.

Hamiltonien

Le hamiltonien d’un système mécanique peut être vu comme l’énergie totale de ce système. Il est relativement peu utilisé en théorie de la relativité et beaucoup plus en physique quantique.

Considérons un système mécanique qui possède N degrés de liberté. Soient les coordonnées généralisées associées à ces degrés de liberté. Le hamiltonien du système s’écrit :

 

(31)

Mathématiquement, le hamiltonien se définit comme la transformée de Legendre4 du lagrangien. Les variables et sont appelées variables canoniques du système.

On peut montrer facilement que :

 

(32)

En effet :

 

(33)

Or :

 

et

 

A partir du principe de moindre action, on peut démontrer les équations canoniques d’Hamilton :

 

(34-a)

 

(34-b)

 

(34-c)

Dans le cas d’un corps isolé soumis à un champ de potentiel, on montre facilement que :

 

(35)

On reconnaît dans l’énergie totale du système. L’équation (27-a) n’est autre que l’équation qui nous dit que l’impulsion d’un corps est égale à sa quantité de mouvement. De son côté, l’équation (27-b) nous permet d’écrire :

 

(36)

... ce qui nous renvoie une fois de plus au principe fondamental de la dynamique.

Signalons enfin l’équation de Hamilton-Jacobi qui relie le hamiltonien à l’action :

 

(37)

En physique quantique, on démontre que l’action ne varie pas de façon continue. Il existe un quantum d’action. Ce quantum d’action est égal à la constante de Planck .

 

Notes

1 : Gottfried Leibniz attribuait à la force vive la valeur . C’est le mathématicien et ingénieur Gustave Gaspard de Coriolis qui a donné à l’énergie cinétique sa forme définitive.

2 : On fait ici abstraction du moment cinétique et on considère que la masse du corps est concentrée en son centre de gravité.

3 : Voir plus bas le paragraphe sur le principe de moindre action.

4 : Soit une fonction. La transformée de Legendre de est la fonction définie par :           avec :