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Les notions de groupes de Lie et d'algèbres de Lie sont abondamment utilisées en physique quantique pour analyser les interactions. Avant de poursuivre nous allons consacrer un peu de temps à rappeler les bases mathématiques qui sous-tendent ces notions.

Groupes et espaces vectoriels

La notion de groupe est une notion très utilisée en mathématiques. A priori, un groupe est une structure abstraite. La notion de groupe se distingue de la notion d’ensemble du fait que le groupe est muni d’une loi de composition interne associative et d’un élément neutre.

Un groupe est un ensemble muni d’une loi interne :

qui a les propriétés suivantes :

-o-   elle est assocative

-o-   elle admet un élément neutre

-o-   elle est assocative

Le groupe est dit commutatif (ou abélien) si :

L’ensemble des entiers relatifs (appelé ) est un groupe pour l’addition. Il en va de même pour l’ensemble des nombres réels. L’ensemble des rotations forme aussi un groupe.

Morphisme et homomorphisme

En mathématiques, un morphisme est une application entre deux ensembles qui préserve certaines des propriétés des lois internes de ces ensembles. On parle d’homomorphisme si les ensembles considérés sont des groupes et que l’application conserve les propriétés de la loi interne.

Soient deux groupes et . Une application de dans est un homorphisme si :

       

Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.

Action de groupe sur un ensemble

On a tendance à ne pas faire la distinction entre le groupe en tant que structure mathématique et l’ensemble qui présente les propriétés associées à ce groupe. Prenons l’exemple de . C’est un groupe pour l’addition modulo . Prenons maintenant l’exemple des rotations dans le plan. C’est également un groupe pour la composition des rotations. Nous avons affaire à deux ensembles distincts… mais à un seul et même groupe . On dit de l’addition modulo dans qu’elle constitue une action de sur , tout comme la composition des rotations est une action du même groupe sur l’ensemble des rotations dans un plan.

Soit un ensemble et le groupe des bijections de sur lui-même. Une action du groupe sur est une application de dans telle que :

Dans cette expression le produit correspond à la composition des applications dans .

Représentation linéaire d’un groupe

La notion de représentation linéaire va plus loin. On parle de représentation linéaire lorsque le groupe agit sur un espace vectoriel et que cette action respecte la structure de l’espace vectoriel.

Soit un espace vectoriel sur un corps ( ou ). Soit l’ensemble des applications linéaires inversibles de dans . Un morphisme de dans qui associe une application linéaire à tout élément de est une représentation linéaire de . peut être identifié au groupe des matrices inversibles n×n  (ou si le corps est ).

est appelé espace de représentation du groupe .

Un sous-espace de est dit invariant par rapport à la représentation si :

Si les seuls invariants sont le sous-ensemble {0} et l’ensemble lui-même alors la représentation est dite irréductible.

Lemme de Schurr

Soit est un espace de dimension finie et soit est une représentation irréductible de dans . Si l’application commute avec alors est proportionnelle à l’application identité .

  alors :    

(1)

Représentation unitaire

Soit une forme hermitienne <|> sur X :

Une représentation unitaire est une représentation telle que :

 

(2)

Ceci revient à dire que :

 

(3)

Espace vectoriel

Un espace vectoriel sur un corps est un ensemble muni :

-o-  d’une loi de composition interne notée « + » appelée somme vectorielle et pour laquelle il est un groupe commutatif,

-o-  d’une loi de composition externe « . » :  , associative et distributive, appelée produit par un scalaire.

        

        

        

        

Cette loi vérifie également les propriétés suivantes :

  et :

 

Dans ce qui précède, -u représente l’inverse de u par l’opération somme vectorielle.

L’ensemble est une espace vectoriel sur . L’ensemble des fonctions continues sur à valeurs réelles ou complexes est également un espace vectoriel sur .

Groupes de Lie

Lorsqu’un groupe est une variété différentiable, que sa loi interne * est différentiable et que l’application inverse est également différentiable, ce groupe est un groupe de Lie. Le plus souvent, on identifie un groupe de Lie à sa représentation linéaire sur (ou ), c’est-à-dire au groupe de matrices qui le représentent.

Exemples de groupes de Lie

Notations

Dans ce qui suit, on utilise les notations suivantes :

  • est la matrice conjuguée de :  
  • est la matrice transposée de :  
  • est la matrice transconjuguée de (on dit aussi adjointe) :   

Le groupe SO(2)

C’est le groupe des matrices orthogonales de dimension 2 et de déterminant 1. Le groupe des rotations dans constituent l’une des représentations linéaires de ce groupe :

 

(4)

Le groupe SO(2) est un groupe de Lie. Il est commutatif. L’inverse de la matrice est la matrice .

On remarquera qu’il est possible d’écrire sous la forme :

 

avec :

(5)

Si l’on remarque que et que on constate en effet que l’équation ci-dessus est le développement limité de l’équation définissant . On peut exprimer cette équation sous la forme suivante :

 

(6)

En ce sens, on peut dire que la matrice (considérée comme un élément d’un espace vectoriel) est un vecteur tangent au groupe SO(2) au point qui correspond à la matrice identité (c’est-à-dire tel que θ = 0).

Il existe une autre représentation de ce groupe, cette fois dans U(1). L’application définie comme suit :

 

(7)

est un isomorphisme. Un isomorphisme est une application bijective qui préserve la structure d’un ensemble et dont la réciproque préserve également la structure de cet ensemble. Les groupes SO(2) et U(1) sont donc isomorphes.

Le groupe SO(3)

C’est le groupe des matrices orthogonales de dimension 3 et de déterminant 1. Le groupe des rotations dans est une représentation linéaire de ce groupe.

Une rotation dans l'espace est caractérisée par un vecteur unitaire et un angle θ appartenant à l’intervalle [ -π , π [. On peut la représenter par un vecteur de :

 

(8)

(Remarque : il ne s’agit pas d’une représentation linéaire.) L’extrémité de ce vecteur appartient à une boule centrée sur l’origine et de rayon π. Cette représentation présente une particularité : deux points antipodaux du bord extérieur de cette boule représentent la même rotation alors qu’à toute rotation d’un angle inférieur à π ne correspond qu’un point et un seul de la boule. Comme on l’a dit, cette représentation n’est pas une représentation linéaire. Elle nous donne par contre une indication sur la topologie de SO(3) : on peut en effet dire que SO(3) est compact.

Le groupe SO(3) est un groupe de Lie. A la différence du groupe SO(2) il n’est pas commutatif : l’application de la rotation R1 suivie de la rotation R2 ne donne pas le même résultat que l’application de R2 suivi de R1.

Le groupe SU(2)

C’est le groupe des matrices 2x2 unitaires complexes de déterminant égal à 1.

  et :

(9)

Ceci revient à écrire :

  et :

(10)

Si on écrit et , il vient :

 

(11)

C’est l’équation de l’hypersphère de rayon unité . Là encore il ne s’agit pas d’une représentation linéaire : c’est la topologie de l’hypersphère qui nous intéresse. Tout comme celle de la boule , celle de est compacte.

Le groupe SU(2) est un groupe de Lie.

Le groupe SU(2) et les quaternions

Le groupe SU(2) est souvent associé à la notion de quaternions. Cette notion a été introduite par William Rowan Hamilton pour représenter les rotations dans l’espace. Soit q le quaternion défini par :

 

(12)

On dit de w qu’il s’agit de la composante scalaire de q et on on donne au triplet (x,y,z) le nom de composante vectorielle.

Soit une rotation définie par le vecteur unitaire et l’angle θ. On peut lui associer le quaternion unitaire :

 

(13)

avec :

 

(14)

On peut dans ce cas écrire q sous la forme :

 

(15)

avec :

 

(16)

Considérons maintenant un vecteur quelconque appartenant à . On peut le représenter par un quaternion de composante scalaire nulle et de composante vectorielle égale à :

 

(17)

La rotation de ce vecteur d'un angle θ autour de l’axe porté par s’écrit de manière simple dans l’espace des quaternions :

 

(18)

Il est facile de voir qu’il y a bijection entre l’ensemble des quaternions unitaires et SU(2) :

 

(19)

En effet :

 

(20)

On écrit souvent la matrice en utilisant le formalisme suivant :

 

(21)

avec :

 

Ces matrices sont appelées matrices de Pauli.

Relation entre SU(2) et SO(3)

Comme on l’a vu, les groupes SU(2) et SO(3) sont tous deux associés aux rotations dans . Pour SO(3) la relation est directe : il y a même isomorphisme entre le groupe des rotations dans et SO(3). Dans le cas de SU(2) c’est moins évident…

La bijection entre l’ensemble des quaternions unitaires et le groupe SU(2) nous permet cependant d’établir une relation entre SU(2) et SO(3).

Soit l’application de dans l’espace des matrices hermitiennes complexes :

 

 

 

(22)

Une matrice hermitienne (ou auto-adjointe) est une matrice telle que :

        soit :        

Autrement dit, une matrice hermitienne est égale à sa matrice adjointe (matrice transposée de la matrice conjuguée).

L’application est un isomorphisme entre et le sous-espace vectoriel des matrices hermitiennes de trace nulle inclus dans . La transformation inverse s’écrit comme suit :

 

 

 

(23)

Tr étant l’opérateur trace de la matrice.

Considérons maintenant l’effet d’une rotation du vecteur . On peut l’écrire de manière directe de la façon suivante :

 

(24)

On peut aussi l’écrire en faisant un passage par et par :

   

 

 

(25)

L’application qui transforme A en A’ :

 

(26)

est l’équivalent, dans SU(2) de la rotation dans SO(3). Accessoirement, on peut aussi remarquer qu’elle définit une représentation linéaire du groupe SU(2) sur l’espace vectoriel des matrices hermitiennes de trace nulle de dimension 2x2.

Ceci permet de définir une application de SU(2) dans SO(3) :

 

 

 

(27)

qui fait correspondre à chaque élément du groupe SU(2) une rotation dans et donc un élément de SO(3). Il s’agit d’un morphisme de groupe mais il n’est pas bijectif : et ont tous deux la même transformée. On dit qu'il est surjectif.

Nous avons déjà signalé que SU(2) pouvait être représenté (du point de vue topologique) par une sphère de rayon unité dans l’espace . Ce qui précède nous montre qu’il peut également être représenté par une boule de de rayon . La particularité de cette représentation est que la sphère de rayon qui délimite cette boule est associée à la matrice .

Propriétés de l’application

Il n’est pas inutile de revenir un instant sur l’application . C’est, comme nous l’avons vu, un isomorphisme entre et le sous-espace vectoriel des matrices hermitiennes de trace nulle inclus dans .

 

(28)

Soient A et B les matrices associées aux vecteurs et . Elles peuvent s’écrire :

 

(29)

Les produits gauche et droit de ces matrices s’écrivent :

 

(30)

 

(31)

Les matrices associées à deux vecteurs et orthogonaux vérifient donc l’équation :

 

(32)

Nous venons de voir la transcription de l’orthogonalité par cette application. Intéressons-nous maintenant à la symétrie par rapport à un plan dans l’espace .

Considérons l’opération de symétrie par rapport à un plan de . Ce plan peut être défini par son vecteur orthogonal . Considérons un vecteur quelconque . Ce vecteur peut être décomposé en une composante parallèle et une composante orthogonale à :

 

(33)

Soient , , et les matrices correspondant à ces vecteurs. On peut écrire :

 

(34)

 

(35)

et sont orthogonaux par construction, donc . Il vient :

 

(36)

 

(37)

Le vecteur symétrique de par rapport au plan est donc représenté par la matrice définie comme suit :

 

(38)

Si est unitaire :

 

(39)

IL vient donc :

 

(40)

On peut en déduire :

 

(41)

Ceci complète ce que nous avons vu au sujet des rotations :

 

(42)

La représentation spinorielle de SU(2)

Comme nous l’avons vu, l’espace vectoriel des matrices hermitiennes de trace nulle de dimension 2x2 porte une représentation linéaire du groupe SU(2).

 

 

Cette représentation est intéressante sur le plan mathématique mais elle est de peu d’utilité en physique, et en particulier en physique quantique.

En physique quantique, les états permettant de décrire une particule ou un système quantique appartiennent à un espace de Hilbert qui est un espace vectoriel sur . Plutôt que d’une représentation sur un espace vectoriel sur nous aurions donc besoin d’une représentation sur un espace vectoriel sur . Ajoutons à cela que les applications du type :

 

(43)

ne correspondent pas au formalisme des opérateurs quantiques. Nous serions plutôt enclins à rechercher une représentation du type :

 

 

 

(44)

L’espace possède 4 degrés de liberté, les éléments de SU(2) n’en ont que 3 : il doit donc exister de plus une condition sur qui neutralise un degré de liberté. Il nous reste à déterminer la relation qui permet de passer de à .

Spineur

Ce problème a été résolu au début du XXème siècle par le mathématicien Elie Cartan. Pour ce faire, il a introduit une nouvelle catégorie d’objets mathématiques aux propriétés assez déroutante, les spineurs1.

Il existe différentes façons d’aborder la notion de spineur. L’une d’entre elles consiste à partir de celle de plan orienté.

On peut définir un plan à partir de deux vecteurs unitaires orthogonaux et :

  et :

(45)

L’orientation du plan est fixée par l’ordre entre ces vecteurs : .

On peut remarquer que la définition d’un plan orienté est équivalente à la définition d’un vecteur perpendiculaire à ce plan. Le passage par un plan et un sens de rotation peut passer pour un artifice de calcul mais, en physique, dans le cas du moment cinétique par exemple, cette définition a un sens. La direction du vecteur moment cinétique est effectivement déterminée par à un plan de rotation et un sens de rotation.

L’étape suivante consiste à associer à ce plan orienté le vecteur complexe défini comme suit :

  et :

(46)

Par construction, les coordonnées des vecteurs et vérifient :

 

(47)

et étant unitaires et orthogonaux, le vecteur complexe est tel que :

 

(48)

Il est tout à fait possible d’étendre à ce vecteur la transformation définie dans le chapitre précédent :

 

(49)

C’est à partir de cette matrice que l’on définit le spineur. Le spineur est un vecteur complexe de dimension 2 défini comme suit :

  avec :

(50)

 

(51)

Dans cette équation, est le vecteur transposé de et la matrice est définie comme suit :

 

(52)

Ceci revient à écrire :

 

(53)

Puisque et sont unitaires on peut montrer que :

 

(54)

Rotation d'un spineur

Soit une rotation d’un angle θ autour d’un axe défini par le vecteur . Une telle rotation peut être représentée par la matrice définie comme suit :

 

(55)

Si :

 

 

alors :

 

(56)

Symétrie par rapport à un plan

Considérons la symétrie par rapport à un plan perpendiculaire au vecteur auquel on peut associer la matrice :

 

(57)

Si :

 

 

alors :

 

(58)

Conjugaison

L’opération de conjugaison du spineur consiste à associer le spineur au vecteur complexe conjugué :

 

(59)

 

(60)

Le spineur conjugué se transforme comme dans les rotations :

 

(61)

Relation entre la représentation spinorielle et les rotations dans

Comme nous l’avons vu plus haut, il existe un morphisme surjectif de SU(2) dans SO(3). Cela signifie que l’on peut faire correspondre à toute matrice M de SU(2) une rotation dans . Il est intéressant de voir quel effet la matrice a sur un spineur quelconque.

Il est facile de voir qu’une rotation d’un angle θ dans se traduit par une rotation d’un angle θ/2 du spineur. Ainsi, par exemple, une rotation de , qui laisse inchangé un vecteur de a pour effet d’inverser le spineur correspondant :

 

(62)

Pour revenir au spineur initial, il faut donc réaliser une rotation de .

Une autre propriété est tout à fait intéressante. Considérons les deux vecteurs de coordonnées (0,0,1) et (0,0,-1). Le premier peut être associé au plan orienté et le second au plan :

  et :

(63)

Ceci conduit aux matrices :

  et :

(64)

On peut facilement en déduire les spineurs associés :

  et :

(65)

On voit que les spineurs et sont orthogonaux ! Il est facile de montrer que cette propriété est vérifiée pour tout vecteur de . On a en effet :

  et :

(66)

Ceci conduit à un vecteur tel que :

  qui est orthogonal à :

(67)

On peut en déduire cette propriété très générale : les spineurs associés à deux vecteurs opposés sont orthogonaux.

La notion de spineur est fondamentale en physique quantique. Elle est directement associée à celle du spin de l’électron mais elle aussi utilisée dans le formalisme de l’interaction faible. Pour simplifier, on peut dire que la théorie des champs quantiques repose sur trois types de champs :

  • les champs scalaires,
  • les champs vectoriels,
  • les champs spinoriels.

Algèbre de Lie d’un groupe de Lie

est une algèbre sur le corps commutatif si :

-o-     est une espace vectoriel sur

-o-    on a défini une loi « x » de dans

-o-    la loi « x » est bilinéaire

Une loi est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables :

-o-    

-o-    

-o-    

Algèbre commutative : algèbre dont la loi « x » est commutative.

Algèbre associative : algèbre dont la loi « x » est associative.

Algèbre unifère : algèbre dont la loi « x » admet un élément neutre (noté 1).

Exemples :

( , +, ., x) est une algèbre associative, commutative et unifère sur . ( , +, ., x) est de dimension 2.

Table de multiplication de la loi « x » de l’algèbre (, +, ., x) :

(, +, ., x) est une algèbre associative, unifère et non commutative sur (quaternions). (, +, ., x) est de dimension 4.

Agèbre de Lie

Une algèbre de Lie de dimension n est un espace vectoriel de dimension n muni d’une application bilinéaire [ . , . ] :

 

(68)

qui soit :

  • distributive :    
  • antisymétrique :    
  • et respecte la relation de Jacobi :    

Cette application est appelée crochet de Lie.

Soient les éléments d’une base de . Le crochet de Lie appliqué à ces éléments se décompose dans la base de la manière suivante :

 

(69)

Les coefficients sont appelés constantes de structure de l’algèbre de Lie . Ces constantes de structure définissent complètement l’algèbre de Lie considérée.

Algèbre de Lie d’un groupe de Lie

Soit un groupe de Lie tel que ceux définis précédemment. On définit la notion de chemin sur ce groupe de la manière suivante. Un chemin est une application différentiable du segment [-1 1] sur ce groupe :

 

(70)

étant différentiable on peut définir la dérivée de à l’origine :

 

(71)

L’ensemble de toutes les matrices obtenues par dérivation sur tous les chemins passant par l’application est appelé algèbre de Lie du groupe de Lie et noté .

Nous allons montrer qu’il s’agit bien d’une algèbre de Lie au sens défini précédemment.

On démontre tout d’abord très facilement que un espace vectoriel sur . On démontre ensuite qu’il existe une représentation linéaire du groupe de Lie sur . Pour ce faire, on procède de la manière suivante. Soit un chemin sur et soit un élément de . On peut définir le chemin de la manière suivante :

 

(72)

La dérivée à l’origine de sur ce chemin appartient par définition à l’algèbre de Lie :

 

(73)

porte donc une représentation linéaire de . Dans la littérature, on lui donne le nom de représentation adjointe.

 

(74)

Définissons maintenant un nouveau chemin sur :

 

(75)

Pour toute valeur de , appartient à . étant un espace vectoriel, la dérivée de à l’origine appartient également à . Or :

 

(76)

(Pour démontrer la formule précédente, il suffit de se rappeler que .) Le crochet de Lie appartient donc à , ce qui suffit à compléter la démonstration concernant la structure d’algèbre de .

Espace tangent au groupe de Lie

Revenons à la définition des matrices . On peut la réécrire de la manière suivante :

  lorsque est petit.

(77)

C’est la raison pour laquelle on donne souvent à le nom d’espace tangent à l’élément neutre du groupe de Lie .

Représentation exponentielle et générateurs de G

Parmi tous les chemins associés à un même élément de , il en est un (et un seul) qui a la propriété suivante :

    vérifiant l'inégalité  

(78)

Sur ce chemin, l’équation suivante est vérifiée :

 

(79)

Ce qui permet d'écrire :

 

(80)

Les éléments de toute base de sont appelés générateurs du groupe de Lie . Il est en effet facile de générer à partir de ces éléments l’action d’un élément de appartenant au voisinage de l’élément neutre.

Les chapitres précédents nous donnent toutes les clefs nécessaires pour construire les algèbres de Lie associées aux groupes SO(3) et SU(2).

Algèbre de Lie du groupe SO(3)

Les matrices du groupe SO(3) peuvent s’écrire de la manière suivante :

  avec :

(81)

Les matrices réelles antisymétriques sont les générateurs des matrices .

L’ensemble des matrices réelles antisymétriques est l’algèbre de Lie du groupe de Lie SO(3) :

 

(82)

Comme on peut le voir, il y a bijection entre les vecteurs et les matrices qui constituent . L’ensemble est isomorphe à .

On remarquera par ailleurs que la matrice est aussi celle qui est associée au produit vectoriel dans :

 

(83)

Il en découle la relation suivante sur les générateurs associés aux rotations autour des 3 axes principaux :

  (idem par permutation des indices)

(84)

Cette relation est celle qui définit les constantes de structure de

Remarque : En physique quantique, on utilise plutôt la notation :

  avec :

(85)

Dans ce cas, les matrices associées aux rotations autour des axes Ox, Oy et Oz vérifient les relations :

 

(86)

Algèbre de Lie du groupe SU(2)

Tout élément de SU(2) peut s’écrire :

 

(87)

avec :

 

(88)

  et :

(89)

Les matrices antihermitiennes de trace nulle sont donc les générateurs des matrices . L’ensemble des matrices antihermitiennes de trace nulle est l’algèbre de Lie du groupe SU(2) :

 

(90)

Les matrices de Pauli forment une base de :

 

(91)

 

 

A toute matrice on peut donc faire correspondre un vecteur de : est lui aussi isomorphe à .

On remarquera par ailleurs que les matrices de Pauli respectent les mêmes relations de commutation que les matrices . Les algèbres et ont les mêmes constantes de structure : on dit qu’elles présentent un isomorphisme d’algèbre :

 

 

Considérons maintenant la matrice générée par . On peut écrire sous la forme :

 

(92)

avec :

  et :

(93)

Il vient pour les composantes et de :

  et :

(94)

Toute matrice du groupe SU(2) peut s’écrire en fonction d’un vecteur unitaire et d’un angle θ. C’est un résultat qui ne nous étonnera pas : nous l’avions déjà signalé au chapitre sur les groupes de Lie.

On notera cependant une particularité : l’angle θ utilisé pour exprimer les matrices peut prendre ses valeurs entre 0 et . Il en découle les relatons suivantes :

 

(95-a)

 

(95-b)

C’est une différence notable avec la représentation de SO(3) par les matrices .

 

Notes

1 : Voir en annexe une présentation ludique du spineur.