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Annexe 1 : Théorème de Noether et conservation de l’énergie

 

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Le théorème de Noether démontre qu’il y a équivalence entre la conservation d’une grandeur en physique classique et l’existence d’une classe de transformations qui laisse invariante les lois physiques d’un système. L’invariance des lois physiques d’un système dans une transformation porte le nom de symétrie du système.

Nous allons démontrer le théorème de Noether dans un cas particulier : l’équivalence ente l'invariance par translation dans le temps et la conservation de l'énergie.

Soit le Lagrangien d’un système quelconque. La condition de symétrie par rapport au temps induit qu’il ne doit pas dépendre explicitement du temps. Sa dérivée par rapport au temps ne doit donc pas contenir de terme en :

 

(a-1)

Combinons cette formule avec l’équation d’Euler-Lagrange :

 

(a-2)

Il vient :

 

(a-3)

Ceci conduit à l’équation remarquable suivante :

 

(a-4)

On peut donc déduire de la seule condition de symétrie par rapport au temps que l’expression suivante :

 

(a-5)

est invariante. On vérifie facilement que cette expression est celle de la conservation de l’énergie du système.

On peut démontrer de la même façon que :

  • l'invariance par translation dans l'espace selon une direction donnée entraîne la conservation de la quantité de mouvement dans la même direction ;
  • l'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment angulaire ;
  • dans la théorie de la relativité restreinte, l’invariance par transformation de Lorentz entraîne la conservation du vecteur énergie-impulsion.

 

  Annexe 2 : Antimatière

En 1929, Paul Dirac s’est attaché à trouver une formulation relativiste de l’équation de Schrödinger. Cela l’a conduit à développer une théorie applicable à toute particule de spin 1/2. Le formalisme est assez complexe mais il est particulièrement puissant. C’est ce formalisme qui lui a permis de prédire l’existence de l’antimatière plusieurs années avant sa découverte expérimentale.

Les équations de Dirac sont invariantes dans une transformation de Lorentz. Elles respectent par ailleurs le principe de causalité. Soit a+ l’opérateur de création et a- l’opérateur d’annihilation. a+(x) et a-(y) ne commutent pas si l’intervalle xy est de genre temps (une particule ne peut pas être détruite avant d’être créée). L’application de cette règle conduit à admettre l’existence d’ondes de fréquence négative. Cela amène à considérer trois possibilités :

  • soit il existe des particules d’énergie négative,
  • soit il existe des particules qui remontent le temps…
  • soit il existe des particules d’antimatière.

C’est la troisième alternative que Dirac a privilégié. L’intuition géniale de Dirac a été confirmée dès 1932 par Carl David Anderson qui a découvert l’existence du positron en analysant la collision de rayons cosmiques avec des molécules dans l’atmosphère.

Il est apparu par la suite que toutes les particules élémentaires avaient leur antiparticule. Une antiparticule a la même masse et le même spin que la particule à laquelle elle est associée mais tous les autres nombres quantiques qui la caractérisent (en particulier la charge électrique) sont inversés.

La rencontre d'une particule et de son antiparticule les annihile. La totalité de l’énergie est transmise à une paire de photons qui partent dans des directions opposées. C’est ce qui justifie le nom d’antimatière qui est donné à ce type de particules. Lorsque les deux particules se rencontrent, toute la masse disparaît. L’énergie correspondante (E = mc2) est emportée par les photons qui sont générés. C’est un phénomène très violent, bien plus violent que celui qui résulte d’une explosion nucléaire : dans le cas d’une explosion thermonucléaire (la bombe à hydrogène) seule une partie de la masse est transformée en énergie. Il suffirait d’une petite quantité d’antimatière pour provoquer une explosion cataclysmique. Heureusement, il n’existe qu’une quantité infime d’antimatière dans l’univers. C’est d’ailleurs une énigme : pourquoi n’y a-t-il pas une quantité égale de matière et d’antimatière ?

Une interprétation originale de l’antimatière

Richard Feynman a proposé une interprétation tout à fait originale de l’antimatière. Selon lui, une antiparticule est une particule qui remonte le temps.

Supposons que l’on génère à l’instant t0 une paire électron-positron (en concentrant, par exemple, un faisceau de photons de forte énergie). Le positron va vivre un instant très bref : il ne manquera pas de rencontrer à l’instant t1 un autre électron avec lequel il va se désintégrer en émettant deux photons.

Comme les électrons sont indiscernables (principe d’indétermination), on peut très bien interpréter cette succession d’événements de manière tout à fait différente.

Figure 1 : Diagramme caractérisant l’interaction..

Interprétation 1 : un faisceau de photons génère une paire électron-positron à l’instant t0. L’électron émis s’échappe en direction de A. A l’instant t1, le positron rencontre un électron qui provient de B. Leur annihilation génère deux photons. C’est l’interprétation classique.

Interprétation 2 : Un électron provient de B. Il émet des photons à l’instant t1. Cet événement lui fait remonter le temps. Il prend le chemin inverse de celui emprunté par le positron dans l’interprétation 1. Au temps t0 antérieur à t1, ce même électron entre en interaction avec des photons très énergiques. Il reprend alors le cours normal du temps et s’échappe en direction de A. C’est l’interprétation non conventionnelle des événements. Elle est autorisée par la théorie : un positron et un électron orienté en sens inverse et qui remonte le temps sont représentés par la même équation.

Cette interprétation peut paraître anecdotique. Une curiosité proposée par un physicien facétieux (ce que Richard Feynman était). Elle amène pourtant à se poser un certain nombre de questions sur les propriétés de symétrie de la physique quantique. Les symétries jouent un rôle important en physique. Emmy Noether a démontré que toute loi impliquant la conservation d’une grandeur physique était la manifestation d’une propriété de symétrie1. L’interprétation proposée par Feynman est une conséquence de la symétrie CPT de l’électrodynamique quantique. La symétrie CPT indique que toute transformation inversant à la fois la charge (C), les coordonnées dans l’espace (P) et le temps (T) laisse invariantes les équations.

C’est en s’appuyant sur cette symétrie que le physicien russe Andreï Sakharov a formulé en 1965 les conditions qui peuvent amener à une dissymétrie entre matière et antimatière… et donc à la disparition quasi totale de celle-ci. Cette dissymétrie exige selon lui la violation de la symétrie CP. La violation de la symétrie CP a été mise en évidence en 1964 par trois physiciens américains (Christenson, Cronin et Fitch) et un français (Turlay). Elle intervient lors de la désintégration des kaons, des mésons aux propriétés particulières. Cette découverte donne à penser qu’on est sur la bonne voie pour expliquer la prééminence de la matière sur l’antimatière mais, 50 ans après, le phénomène reste très mal compris.

 

Notes

1 : Voir plus haut l'annexe sur les symétries.

 

  Annexe 3 : Comment construire un spineur en papier ?

Prenons une bande de papier aux deux bouts de laquelle nous dessinons un L bleu (figure 1-a). Sur l’envers du papier, nous dessinons en rouge un L inversé en miroir des deux premiers. Ces quatre figures se superposent deux à deux.

Figure 2 : Spineur en papier

Procédons maintenant à une rotation du bord gauche (que nous appellerons A) d’un angle π par rapport à l’axe Ox, puis à une rotation du bord droit (baptisé B) d’un angle . (Par convention, les rotations qui se font dans le sens horaire par rapport à Ox sont notées positivement.) Notre papier est tordu (figure 1-b). Nous ne voyons plus les L bleus mais nous voyons les L rouges en miroir avec la tête en bas. Notre bande de papier est dans une position inconfortable. Pour lui éviter le torticolis, nous allons faire passer le bord B à gauche du bord A (figure 1-c). La bande forme désormais une simple boucle. On peut remarquer que cette double rotation a fait pivoter le bord A d’un angle par rapport au bord B. Par contre, si l’on se réfère à l’orientation de nos marqueurs en L, on constate qu’ils ont été tous deux inversés. Si l’on note leur position initiale par le vecteur :

 

(b-1)

la position après rotation s’écrit :

 

(b-2)

Id étant la matrice identité. Cet exemple illustre de manière simple comment une rotation d’un angle peut se traduire par une simple inversion dans un espace qui n’a rien d’une fantasmagorie mathématique.

Procédons à une nouvelle rotation d’un angle π du bord A et d’un angle du bord B. Nouvelle torsion du papier : attention à ne pas le chiffonner (figure 1-d). Cette fois, il suffit de faire passer le bord A à gauche du bord B pour revenir à la bande plane initiale (figure 1-f). En reprenant la notation de la position de nos marqueurs utilisée plus haut, on voit que :

 

(b-3)

Bingo : une rotation de angle du bord A par rapport au bord B s’est traduite par une rotation de angle du vecteur .

Nous avons à chaque fois procédé à des rotations de π ou de . Nous aurions pu nous limiter à des rotations de plus ou moins π/2. Pour représenter l’effet de ces rotations sur nos marqueurs, nous allons utiliser une notation complexe : le L du bord A, qui est vertical et la tête en bas sera repéré par le nombre imaginaire –i et celui du bord B, qui est simplement vertical sera repéré par le nombre imaginaire i. Le bord A a pivoté d’un angle π par rapport au bord B et le nouveau vecteur s’écrit :

 

(b-4)

Dans le cas d’un angle quelconque θ il est facile de voir que :

 

(b-5)

Nous avons bel et bien construit un spineur en papier ! Les composantes de ce spineur repèrent la position des marqueurs aux deux extrémités de la bande de papier. L’opérateur rotation mesure l’angle entre les marqueurs.