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Théorie des cordes

Gravitation quantique à boucles

 

La gravitation quantique à boucles

La démarche suivie par les tenants de la gravitation quantique à boucles est complètement différente de celle des cordistes. Elle part de l’hypothèse que la géométrie de l’espace-temps s’identifie au champ gravitationnel. La géométrie peut donc être assimilée à un champ. Or, la physique quantique est une théorie des champs. Que se passe-t-il si on cherche à quantifier le champ représentatif de la géométrie de l’espace-temps ?

Plus facile à dire qu’à faire. La première tentative de quantification de la géométrie a été faite sur la base des travaux du physicien américain Charles Misner et de son équipe en 1962. A l’époque, Charles Misner cherchait à trouver une formulation hamiltonienne de la gravitation : la physique quantique offre en effet un formalisme très efficace pour quantifier toute relation exprimée sous une forme hamiltonienne. Les physiciens John Wheeler et Bryce DeWitt cherchèrent à quantifier cette formule mais ils échouèrent. L'équation dite de Wheeler-De Witt a cependant ouvert la voie. De nombreux chercheurs ont tenté par la suite de la formuler sous une forme permettant de l'exploiter.

Le principe de la formulation hamiltonienne1 est d’exprimer toute équation d’évolution d’un système à partir de variables canoniques conjuguées. Prenons par exemple un ensemble de n particules élémentaires. Les variables canoniques de ce système sont :

  • la position des particules ,
  • leur quantité de mouvement .

Ces variables canoniques évoluent dans un espace à 6 n dimensions appelé espace des phases du système. La fonction d'onde de la particule s'exprime en fonction de ces variables et l'équation de Schrödinger décrit sous une forme hamiltonienne l’évolution dans le temps de cette fonction d’onde. La quantification consiste à exprimer les différentes grandeurs physiques caractéristiques du système sous la forme d'opérateurs agissant sur la fonction d’onde puis à rechercher les valeurs propres et les vecteurs propres de ces opérateurs.

Ces valeurs propres sont discrètes. Cela signifie qu’elles ne peuvent prendre que certaines valeurs bien déterminées. On démontre, par exemple, que l'énergie d'un électron au sein d’un atome d’hydrogène ne peut prendre que certaines valeurs. Ce sont ces valeurs discrètes de l’énergie propre des électrons d’un atome qui expliquent le phénomène photo-électrique2. Ce sont également ces valeurs qui déterminent le spectre d’émission de l’atome considéré (raies de Balmer).

La généralisation de cette méthode est à la base de la théorie des champs quantiques. Appliquée pour la première fois à la fin des années 1940 par Richard Feynman, Julian Schwinger et Sin-Itiro Tomonaga à l’interaction électromagnétique, elle s’est révélée si puissante qu’elle a été reprise ensuite avec succès pour expliquer l’interaction faible et l’interaction forte. La tentation était forte de l’appliquer à la gravitation. Mais il fallait pour cela trouver la formulation hamiltonienne de la relativité générale !

C’est le physicien d'origine indienne Abhay Ashtekar qui a trouvé en 1986 les variables canoniques qui convenaient. Ashtekar est parti pour cela d’une formulation particulière de la relativité générale basée sur la notion de connexion. La notion de connexion a été développée au début des années 1920 par le français Élie Cartan et l’allemand Hermann Weyl (nous avons déjà parlé d’Hermann Weyl au sujet des ondes gravitationnelles). Elle a été reformulée et généralisée ensuite par Jean-Louis Koszul, un autre mathématicien français. Elle conduit à un formalisme strictement équivalent à celui de la formulation tensorielle que nous avons utilisée dans les chapitres sur la relativité générale et les solutions de l'équation d'Einstein.

Ashtekar a exprimé le champ gravitationnel sous la forme d’une connexion (symbolisée par la lettre ) et il a trouvé l’expression de la variable canonique duale associée à . D'une certaine manière, on peut dire que et sont à la courbure de l'espace-temps ce que et sont à la particule élémentaire. est, en quelque sorte, l'impulsion associée à la variable . L’ensemble de toutes les valeurs possibles de et forment un espace des phases à l’intérieur duquel il est possible de réécrire l'équation d'Einstein sous une forme hamiltonienne. Cet espace des phases (appelé super-espace) est l’ensemble de toutes les configurations géométriques de tous les espaces possibles. Une géométrie donnée de l'espace est un élément de cet espace des phases.

Il restait à définir ce que pouvait être la fonction d’onde associée à une configuration de l’Univers. Reprenons l’exemple d’un système composé de plusieurs particules. Dans l’espace des phases de ce système la fonction d’onde d’une particule permet de déterminer la probabilité de la trouver à la position avec l’impulsion . Dans le super-espace de toutes les géométries possibles de l’Univers, il convient donc de trouver la fonction d’onde qui exprime la probabilité que l’Univers se trouve dans une configuration géométrique représentée par le couple de valeurs . Il s’agit d’un problème d’analyse fonctionnelle dans un espace riemannien qui dépasse largement le cadre de ce précis de relativité générale. Allons tout droit au résultat…

Il se trouve que l’on peut définir une fonctionnelle3 qui a toutes les caractéristiques requises pour faire une bonne fonction d’onde d’Univers en intégrant la connexion A sur une boucle dans l’espace. Soit en effet une boucle définie dans l’espace et soit l’intégrale de au long de . Lee Smolin a démontré que la fonctionnelle vérifiait l’équation hamiltonienne de la gravitation. Une boucle de l’espace peut donc être considérée comme le support d’une fonction d’onde d’Univers élémentaire ! Cette découverte est à l’origine de la théorie de la gravitation quantique à boucles.

En effet, si on poursuit la démarche en appliquant à ces boucles le processus de quantification, il se passe la même chose que pour l’équation de Schrödinger dans le cas d’un électron autour d’un noyau d’hydrogène. La recherche des valeurs propres de l’équation de Wheeler-De Witt nous donne pour et des valeurs discrètes, tout comme nous avions trouvé des valeurs discrètes d’énergie pour les orbitales d’un électron autour d’un atome d’hydrogène.

Comment passer de ces boucles élémentaires à l’espace tout entier ? Il suffit pour cela de considérer un réseau de boucles interconnectées entre elles et occupant tout l'espace. Chacune de ces boucles donne une mesure de la courbure de l'espace à l'endroit où elle se situe. On peut associer à ce réseau de boucles une fonctionnelle en combinant les fonctionnelles élémentaires de chacune des boucles du réseau. Cette fonctionnelle vérifie elle-aussi l’équation de Wheeler-De Witt : c’est donc bien une fonction d’onde d’Univers. Cette fonction d'onde est beaucoup plus satisfaisante pour l'esprit que les fonctions d’ondes élémentaires qui la constituent : elle couvre l'Univers tout entier d'un maillage très fin.

La dernière pierre à l’édifice fut apportée par le même Lee Smolin et l’italien Carlo Rovelli. Ils montrèrent en effet que l’on peut construire un espace de Hilbert ayant pour base l’ensemble de tous les réseaux de boucles élémentaires possibles (on les appelle des réseaux de spins). Les espaces de Hilbert sont à la physique quantique ce que les variétés riemanniennes sont à la relativité générale. Tout le formalisme de la physique quantique repose sur les propriétés de ces espaces. Dans cet espace de Hilbert, il est possible de démontrer que toute fonction d’onde d’Univers est décomposable en une série de réseaux de spins. Le mathématicien britannique Roger Penrose a contribué à donner toute la rigueur mathématique nécessaire à la théorie naissante.

A ce stade on peut se poser une question : que devient la notion d’espace si la courbure n’est définie qu’à l’échelle de boucles élémentaires et non pas ponctuellement ? La question est déroutante. Pour y répondre il faut revenir aux fondamentaux de la relativité générale. En relativité générale, le champ gravitationnel et l’espace-temps sont une seule et même notion. Le champ gravitationnel ne se développe pas dans l’espace-temps, comme le fait le champ électromagnétique dans l’espace-temps minkowskien, le champ gravitationnel est l’espace-temps. Autrement dit, la notion de point au sens où nous l’entendons habituellement n’est pas pertinente. Elle n'est qu'une extrapolation forgée sur l'illusion d'un espace continu. Or il n’y a pas d’espace continu (ou même de 3-variété riemannienne) sous-jacent aux boucles élémentaires. L'espace continu est une notion qui émerge4 des réseaux de spins tels qu’ils sont définis par la gravité quantique.

Comment fait-on, dès lors, pour passer de ce tricot de mailles enchevêtrées en trois dimensions à l'espace que nous percevons ? L’argentin Jorge Pullin a eu l’intuition d’identifier les nœuds de ce réseau avec des quanta d’espace. Cette approche s’est avérée très fructueuse. On peut en effet montrer que le volume occupé par le réseau est proportionnel au nombre de nœuds. En outre, en poussant plus loin l’analyse, on peut aussi montrer que les liens entre les nœuds sont représentatifs de la surface de contact entre ces quanta d'espace. Cette surface de contact est elle-aussi quantifiée. Elle ne peut prendre que des valeurs discrètes :

 

(1)

est la longueur de Planck et un nombre demi-entier5. Quanta d’espace et boucles sont deux façons différentes mais équivalentes d’interpréter les manifestations du champ gravitationnel (c’est-à-dire de la géométrie). La physique quantique est prodigue de ce genre de dualité. Le champ électromagnétique, par exemple, peut apparaître dans certaines expériences comme une onde et dans d’autres comme une particule. Lee Smolin propose à cet égard une analogie très parlante : il compare les grains d’espace aux photons et les connexions entre les nœuds d’un réseau de spins aux lignes de champ du champ électromagnétique.

Un réseau de spins est un objet quantique. Il est soumis aux mêmes règles que tous les autres objets quantiques. Il est donc imprévisible, agité de fluctuations incessantes. John Wheeler parle de mousse de spins pour évoquer ces réseaux qui se déforment, se font et se défont sans cesse. Un réseau de spins peut aussi s’étendre ou se contracter. C’est en effet l’une des réussites les plus spectaculaires de la physique quantique que d’avoir pu expliquer comment des particules pouvaient apparaître ou être annihilées au cours d’un processus dynamique. Ces créations et ces annihilations s’appliquent aux boucles élémentaires (ou aux grains d’espace). Elles permettent d’expliquer l’expansion de l’Univers lors du Big-bang ou son effondrement s’il advenait un « big crunch ».

Tout ceci échappe bien sûr à l’observation : il y a un rapport 1014 entre la précision des moyens d’investigation les plus puissants dont nous disposons et la longueur de Planck à l’échelle de laquelle se mesurent les dimensions des boucles élémentaires. Mais cela pourrait avoir eu un impact décisif dans le passé… à l’époque ou l’Univers visible était réduit à un petit nombre de boucles. Selon Martin Bojowald, la quantité d’énergie que peut contenir un grain d’espace est limitée. Ou plus exactement, lorsque cette quantité d’énergie dépasse la limite, la gravitation devient répulsive ! En extrapolant cette constatation, Martin Bojowald défend l’hypothèse d’un univers en rebond. Après une longue phase de contraction, l’univers se serait réduit à un réseau de boucles gorgées d’énergie… Et c’est ce qui aurait entraîné la phase explosive du Big-bang.

La gravitation quantique à boucles est une théorie prometteuse. Elle intéresse de plus en plus de physiciens et a beaucoup progressé depuis la percée effectuée par Abhay Ashtekar en 1986. Il reste cependant beaucoup de chemin à parcourir pour résoudre les énormes difficultés théoriques qui subsistent. Elle fait en tout cas figure de challenger sérieux de la théorie des cordes pour faire la synthèse entre relativité générale et physique quantique.

 

Développements récents autour de la gravitation quantique à boucles

La gravitation quantique à boucles révolutionne notre conception du temps en le quantifiant. Certains chercheurs vont plus loin encore et questionnent la notion même de temps.

Ensemble causal

Le processus de quantification suivi par les théoriciens des boucles est fait sur la base d’un espace à 3 dimensions. La formulation hamiltonienne permet de décrire l’évolution de cet espace dans le temps. Les réseaux de spins sont des entités dynamiques, agitées de fluctuations incessantes : John Wheeler parle de mousse de spins pour décrire l'espace.

Or nous savons qu’il n’est pas légitime de considérer le temps comme indépendant de l’espace. La démarche de quantification doit également s’appliquer au temps. Cette réflexion a conduit naturellement certains chercheurs à pousser plus loin la remise en question. Si la géométrie de l’espace à 3 dimensions prend ses valeurs dans l’espace des réseaux de spins, il faut s’attendre à ce que la géométrie quantique de l’espace à 4 dimensions fasse de même.

Comment procède-t-on ? Tout « simplement » en remplaçant le temps par des relations causales entre les différents nœuds. La base de la représentation quantique de l’espace-temps à 4 dimensions fait donc également intervenir une structure en réseau. Cela conduit à une interprétation purement relationnelle de l’espace et du temps. Une sorte de quantification de l’espace conforme largement développé par Penrose.

C’est d’ailleurs ce qui permet de s’affranchir de la dépendance par rapport au temps. Il suffit en effet de prouver l’invariance des mousses de spins par difféomorphisme pour démontrer l'indépendance vis-à-vis du fond (la covariance).

Après avoir abandonné la continuité de l’espace (remplacée par un opérateur dont les valeurs propres sont discrètes) on abandonne le temps. On lui substitue les relations causales, la causalité étant à la fois affaire de temps et d’espace. On parle d’ensemble causal (causal set).

Le temps devient une relation d’ordre. Un ensemble causal est une histoire possible de l’Univers parmi toutes les histoires possibles. La fonction d’onde de l’Univers lui attribue une amplitude de probabilité.

Dans la limite classique de la théorie, la structure d’ordre qui s’est substituée au temps devient la structure causale (c.à.d. conforme) de l’espace-temps. Les nœuds du réseau de spins deviennent le volume. Pour utiliser le langage imagé des mathématiciens, On plonge la mousse de spin dans une variété de Riemann continue.

Quantum graphity

Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou-Kalamara et Lee Smolin, du Perimeter Institute de Toronto, ont mené très loin la réflexion autout des ensembles causaux. Comme nous l'avons vu, les boucles (ou les réseaux de spins) de la gravitation quantique à boucles sont des vecteurs propres d’un opérateur quantique. Ce sont des quantons (nom générique donné à un objet de nature quantique produit par l’application d’un opérateur quantique). On peut se poser à leur sujet les mêmes questions qui se posent au sujet des autres quantons : photons, phonons, électrons, quarks… Entre deux mesures, peut-on véritablement parler d’électrons ou de photons puisqu’ils sont partout à la fois ?

Konopka, Markopoulou et Smolin estiment qu’une telle conception n’est pas liée à un principe indépassable de la nature mais au caractère incomplet de la physique quantique. Une théorie de la gravitation quantique devrait permettre de s'affranchir du flou quantique. Dans la théorie des graphes (quantum graphity, traduit parfois par graphité quantique), ils avancent l'idée que l’espace émerge d'un réseau de relations entre événements. Ce réseau est un graphe et les événements sont aux nœuds de ce graphe. Ce graphe est dynamique et la théorie permet de formuler les lois qui président aux évolutions de la structure du graphe ainsi qu'à la création et à l'annihilation des nœuds et des relations entre nœuds.

Selon eux, chaque nœud avait à l'origine un nombre gigantesque de relations avec les autres nœuds, ce qui explique l’extrême homogénéité de l’espace. L’expansion a conduit à une chute de la température et du nombre de relations directes entre nœuds. A un moment donné, une transition de phase a figé le nombre de relations possibles entre nœuds adjacents. C’est ce qui nous vaut de vivre dans un espace à 3 dimensions. Le nombre de dimensions reflète le nombre maximum de relations possibles entre nœuds adjacents.

Enfin… pas tout à fait : certaines relations directes peuvent se maintenir malgré l’éloignement des nœuds. C’est ainsi que la théorie règle de manière élégante les problèmes de non localité qui découlent de l’intrication quantique.

La théorie est séduisante mais elle a un prix : elle réintroduit la notion d’un repère temporel absolu. Comment expliquer si on accepte l’idée que tous les événements forment un graphe dont émerge l’espace que le temps est relatif et que la simultanéité dépend de l’observateur ?

Lee Smolin estime que l’on peut combiner la théorie des graphes avec la relativité générale en adoptant le point de vue de la relativité des formes. La relativité des formes est une théorie qui fait porter à la relativité des longueurs tout le poids de la relativité, permettant ainsi de réintroduire une notion de temporalité universelle.

Géométrie non commutative

La théorie de la relativité générale a bouleversé notre conception du monde qui nous entoure. Elle reste cependant basée sur une conception semi-classique de la géométrie. Elle postule l'existence d'un espace continu et dérivable dans lequel la notion de point et de courbe reste pertinente. La gravitation quantique à boucles et la graphité quantique nous font entrer dans un monde beaucoup plus exotique où la notion même de continuité prend une signification radicalement différente.

A tout prendre, la notion de point, qui nous paraît pourtant si intuitive, se révèle finalement bien encombrante. Dès que l’on cherche à s’en approcher, tout se met à diverger. La gravitation quantique à boucles, qui s’en est débarrassé, s’en passe très bien. Le mathématicien français Alain Connes (né en 1947, médaille Fields en 1982) propose de l’abandonner. Il conserve la notion de variété (l’espace-temps de la relativité générale est un objet mathématique qui est une 4-variété) mais la fonde sur des bases différentes. Une variété n’est plus un ensemble de points mais un ensemble de fonctions. La géométrie qui en découle perd son caractère parfaitement définie, elle devient floue. Il était possible de définir des fonctions sur une variété constituée de points : ces fonctions deviennent des opérateurs dans la variété nouvelle génération définie par Alain Connes. Ces opérateurs ne commutent pas entre eux comme le faisaient les fonctions. Cette géométrie est donc non-commutative. Cela n’a rien de dramatique, la plupart des opérateurs de la physique quantique ne commutent pas entre eux.

Il est encore trop tôt pour dire si cette géométrie non-commutative permettra d’ouvrir de nouvelles voies pour résoudre les problèmes de la physique théorique.

 

Théories alternatives : relativité doublement restreinte et relativité d’échelle

Certains chercheurs ont exploré d'autres voies pour raccomoder relativité générale et physique quantique. On peut citer deux de ses tentatives : la relativité doublement retreinte et la relativité d'échelle.

La théorie de la relativité permet de formuler les lois de la physique tout en respectant l’invariance de la vitesse de la lumière. La vitesse de la lumière est une grandeur qui joue un rôle tout à fait particulier dans notre univers. Elle s’écrit elle-même sous la forme du produit de deux constantes fondamentales :

 

 

 

 

La constante de Planck joue un rôle tout aussi fondamental en physique quantique mais elle n’est pas prise en compte par la théorie de la relativité. Elle conduit elle-aussi à des grandeurs qui pourraient tout aussi bien jouer un rôle d’invariant, comme par exemple la longueur de Planck :

 

 

 

 

La relativité doublement restreinte (DSR : Doubly Special Relativity) a été proposée en 2000 par Giovanni Amelino-Camelia dans le but intégrer la longueur de Planck au formalisme de la relativité. La relativité d'Einstein serait une approximation valable de la DSR au-delà du domaine de Planck. Giovanni Amelino-Camelia a suggéré de modifier les équations de la transformation de Lorentz pour rendre la longueur de Planck invariante au même titre que la vitesse de la lumière. Lee Smolin et Joao Magueijo ont approfondi la proposition d'Amelino Camelia en postulant cette fois l'invariance de la masse de Planck.

Dans la version classique de la relativité restreinte, la transformation de Lorentz prend en compte le rapport entre la vitesse relative et la vitesse de la lumière. Dans la DSR elle prend en plus en compte l'énergie des particules rapportée à la masse de Planck (ou, dans une autre version, leur impulsion).

L’astrophysicien français Laurent Nottale (né en 1952) propose une approche totalement différente : la relativité d’échelle. Dans la théorie de relativité d’échelle les caractéristiques de la géométrie de l’espace-temps se reproduisent à différentes échelles. Cela conduit à un univers fractal : le résultat des mesures faites sur un phénomène physique dépend du référentiel choisi (théorie de la relativité) mais également de l’échelle (relativité d’échelle). Le prix à payer est l’abandon du caractère différentiable de l’espace-temps aux échelles microscopiques. En particulier, à l’échelle quantique, les trajectoires des particules deviendraient fractales, ce qui expliquerait l’impossibilité de conjuguer mesure de position et mesure de vitesse au sens classique de la physique.

En pratique, la théorie de relativité d’échelle introduit trois nouvelles limites indépassables :

  • une limite inférieure dans l’espace, la longueur de Planck  lP,
  • une limite supérieure dans l’espace, dite taille de l’Univers : 
  • une limite inférieure dans le temps, le temps de Planck  tP.
 

 

 

 

Dans ce contexte, la densité d’énergie du vide dépend de la résolution, ce qui permet de se sortir du paradoxe actuel entre énergie du vide et constante cosmologique.

DSR et théorie de la relativité d’échelle sont des théories jeunes et très controversées. Elles montrent que le domaine de la recherche est très vivant et que les idées ne manquent pas pour dépasser les contradictions de la relativité générale aux échelles extrêmes. Elles ont des traits communs avec la gravitation quantique à boucles et la géométrie non commutative puisqu'elles postulent toutes deux qu'il existe un volume minimal invariant.

 

En guise de conclusion

Au début du XXème siècle, la théorie de la relativité générale et la physique quantique ont bouleversé des connaissances scientifiques que l’on croyait pourtant solidement établies. Ces deux théories sont des constructions intellectuelles d’une audace et d’une puissance tout à fait extraordinaires. Elles n’hésitent pas à remettre en question des certitudes fondées sur notre perception du monde et à proposer à la place des concepts qui défient notre intuition. Les travaux menés par les scientifiques du monde entier n’ont cessé, depuis lors, de confirmer leur pertinence et la précision de leurs prédictions les plus étonnantes. Certaines de ces prédictions ont parfois attendu 50 ans pour être validées par l’expérience !

La combinaison de ces deux théories a permis de construire un modèle de l’évolution de notre Univers tout aussi étonnant que les découvertes qu’elles ont permises. Ce modèle, lui aussi confirmé par les observations de plus en plus nombreuses et de plus en plus précises des astronomes, nous conduit cependant à identifier clairement la limite actuelle de nos connaissances.

Tout comme les physiciens de la fin du XIXème siècle, nous avons atteint aujourd’hui la limite de nos modèles théoriques. Mais contrairement à eux, nous en avons clairement conscience. Cela suscite une recherche enthousiaste et passionnante dans de multiples directions. Ce chapitre avait pour objet de présenter deux des pistes qui sont explorées. Il n’a nullement la prétention de faire un panorama exhaustif d’une recherche extrêmement riche et active dans ce domaine.

Les 30 premières années du XXème siècle ont été d’une richesse tout à fait exceptionnelle sur le plan des théories scientifiques. Jamais la connaissance n’avait autant progressé dans l’histoire de l’humanité. Peut-être sommes-nous aujourd’hui à la veille d’assister à un nouveau bond en avant d’une ampleur et d’une hardiesse équivalentes.

 

Notes

1 : Voir la présentation du formalisme hamiltonien dans le chapitre consacré aux principes généraux de la mécanique newtonienne.

2 : C’est le sujet de l’un des 4 articles publiés par Albert Einstein en 1905.

3 : Une fonctionnelle est une fonction dont l’argument est lui-même une fonction.

4 : Une propriété émergente est une propriété qui n’existe qu’au travers de l’interaction ou de l’évolution d’une multitude de systèmes plus simples. La pression, par exemple, est une propriété émergente : elle émerge de l’interaction d’une multitude de particules et n’a pas de sens si on la ramène à une particule isolée.

5 : C’est de là que vient la dénomination de réseaux de spins. En physique quantique la notion de spin renvoie à une quantification par demi-entiers.