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Formalisme quantique

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Annexe 1 : Théorème de Noether

Annexe 2 : Antimatière

Annexe 3 : Construire un spineur en papier

 

Approche simplifiée du formalisme de la physique quantique

 

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Equation de Schrödinger

La dualité onde-particule est un principe fondamental de la physique quantique. Elle a été formulée la première fois par Louis de Broglie en 1924. C’est en cherchant à mettre en équation la propagation de l’onde associée à une particule qu’Erwin Schrödinger a découvert l’équation qui porte aujourd’hui son nom.

Pour ce faire, Schrödinger a procédé par analogie. Soit p la quantité de mouvement d’une particule. Le principe de dualité nous indique que la fréquence de l’onde associé à cette particule est reliée à p par l’équation suivante :

 

(1)

L’équation générique décrivant une onde harmonique s’écrit :

 

(2)

étant un vecteur appelé vecteur d’onde. Si l’on remplace par et par il vient :

 

(3)

En dérivant cette équation par rapport au temps et à l’espace on voit que :

 

(4)

 

(4)

La généralisation de ces équations nous permet de définir les opérateurs et qui représentent l’énergie et la quantité de mouvement d’une onde de ce type. Il suffit alors d’écrire l’équation de la conservation de l’énergie d’une particule pour parvenir à l’équation de Schrödinger :

 

(5)

étant la masse de la particule et un potentiel scalaire quelconque dans lequel évolue la particule.

Si l’on remplace et par les opérateurs définis ci-dessus il vient :

 

(6)

On trouve souvent cette équation écrite sous la forme :

 

(7)

étant l’opérateur hamiltonien1 défini comme suit :

 

(8)

L’équation de Schrödinger est une équation de diffusion : elle comporte une dérivée de premier degré par rapport au temps et du second degré par rapport à l’espace.

Les physiciens se sont interrogés sur sa signification compte tenu du caractère ponctuel supposé d’un particule. C’est l’allemand Max Born qui en a, le premier, donné l’explication la plus pertinente. Il a suggéré dès 1926 que la fonction était la densité de probabilité de trouver la particule au point à l’instant :

 

(9)

Ceci implique, bien sûr, que :

 

(10)

Fonction d’onde, espace de Hilbert et vecteur d’état

Dans le chapitre qui précède, nous avons introduit deux notions : celle de densité de probabilité, très étroitement liée au principe de dualité onde-particule, et celle d’opérateur pour représenter l’énergie et la quantité de mouvement d’une particule. Ces deux notions sont essentielles en physique quantique. On peut même dire qu’elles sont à la base de tout le formalisme qui sous-tend la physique quantique.

Considérons tout d’abord la densité de probabilité de présence d’une particule, notée . Elle caractérise le caractère ondulatoire de cette particule. On l’appelle la fonction d’onde de la particule. Dans le cas de l’équation de Schrödinger, cette fonction d’onde est définie sur l’espace de Minkowski : ses arguments sont et . Une fonction d’onde donnée est une des configurations que peut prendre une particule sur cet espace.

Les opérateurs et agissent sur cette fonction d’onde. Ce sont des opérateurs linéaires. Cela a conduit les physiciens à formuler le cadre de la physique quantique de la manière suivante :

  • Soit l’ensemble de toutes les configurations possibles de la fonction d’onde d’une particule dans l’espace de Minkowski, c’est-à-dire toutes les fonctions d’onde possibles.
  • Une fonction d’onde donnée est un vecteur de cet ensemble. Nous le noterons .
  • A chaque propriété physique d’une particule on associe un opérateur mathématique sur ce vecteur.
  • Ces opérateurs sont la plupart du temps linéaires : ceci conduit à considérer comme un espace vectoriel2.

Un espace vectoriel de ce type est un espace de Hilbert. Le vecteur qui représente la fonction d’onde est un vecteur d’état de cet espace de Hilbert H. Entendons-nous bien : n’est pas un vecteur de l’espace de Minkowski . est un vecteur de l’espace de Hilbert . Cela signifie qu’à est associé un champ (une fonction) défini en tout point de :

 

(11)

Revenons sur la notion d’opérateur. Nous avons défini plus haut les opérateurs et :

 

(12)

 

(12)

On peut définir de la même façon l’opérateur position :

 

(13)

On peut constater que l’opérateur ne commute3 pas avec l’opérateur :

 

(14)

étant l’opérateur identité.

Cette non commutativité joue un rôle essentiel en physique quantique : elle est à l’origine du principe d’indétermination d’Heisenberg.

Vecteurs propres, valeurs propres

Certains opérateurs ont une caractéristique particulière. Ils présentent des valeurs propres et des vecteurs propres (eigenvalues et eigenvectors). Les vecteurs propres d’un opérateur sont des vecteurs tels que :

 

(15)

Les vecteurs propres de forment une base de l’espace de Hilbert . Un état quelconque de la particule peut donc s’écrire :

 

(16)

L’opération de mesure correspond, d’une certaine manière, à une projection du vecteur d’état sur l’un de ces vecteurs propres. Cela signifie que les valeurs propres de cet opérateur sont les seules valeurs mesurables physiquement. La probabilité de trouver la valeur est égale à . C’est cette propriété qui est à l’origine du principe de quantification.

C’est ainsi par exemple, comme nous le verrons plus tard, que les valeurs propres de l’énergie d’un électron autour d’un noyau d’hydrogène forment une série de valeurs discrètes , , ...... Lorsqu’on interagit avec l’atome d’hydrogène, son électron change d’état. Ceci se traduit par un saut quantique : lorsqu’on cherche à mesurer l’énergie de la transition on trouve toujours une valeur . Cette propriété est à l’origine du phénomène photoélectrique dont Einstein fut le premier à comprendre le mécanisme en 1905. C’est aussi la clef de l’explication des raies d’absorption de l’atome d’hydrogène, raies dont la longueur d’onde suit une progression numérique que Johann Balmer avait mise en évidence au XIXème siècle.

Superposition d’états et réduction du paquet d’onde

Revenons à la formule (16). Elle ne signifie pas que le vecteur d’état ne peut occuper qu’un certain nombre d’états discrets : elle signifie que l’on ne peut mesurer qu’un certain nombre d’états discrets. C’est tout à fait différent. Une particule, ou plus généralement un système quantique, peut se trouver simultanément dans plusieurs de ces états… tant que l’on n’a pas réalisé de mesure sur lui ou que l’on n’a pas interagi avec lui.

Dans la formule (16), on peut dire que la particule qui est décrite par le vecteur d’état se trouve simultanément dans tous les états . On dit qu’il y a superposition d’états. La superposition d’état subsiste tant qu’on n’interagit pas directement avec la particule ou le système. Par contre, dès lors que l’on effectue une mesure correspondant à l’opérateur , la superposition disparaît. La valeur obtenue est unique et c’est l'une des valeurs propres . La probabilité d’obtenir cette valeur est . On dit alors qu’il y a réduction du paquet d’ondes. Tout se passe comme si le vecteur d'état avait été projeté sur . Les valeurs sont les amplitudes de probabilité de trouver l’une ou l’autre des valeurs .

Nous allons examiner un autre exemple pour mieux comprendre cette notion de superposition d’états. L’état quantique d’un électron, comme nous le verrons plus tard, est caractérisé par son spin. Le spin d’une particule est en quelque sorte son moment cinétique intrinsèque. C’est une grandeur typiquement quantique : elle vaut quelle que soit la direction dans laquelle on la mesure. Cela signifie que l’espace de Hilbert qui décrit la fonction d’onde de spin est un espace à deux dimensions et que le vecteur d’état d’une particule peut être décomposé suivant les deux vecteurs propres associés à la mesure de spin dans une direction donnée :

 

(17)

Soit un électron mesuré dans un état à un instant donné (c’est-à-dire tel que son spin soit aligné avec l’axe Oz). Nous allons chercher à mesurer de nouveau le spin quelques instants plus tard dans une direction qui fait un angle θ avec l’axe Oz. On peut exprimer dans la base de l’espace de Hilbert constituée des deux vecteurs propres et . On verra plus tard que :

 

(18)

L’électron considéré se trouve donc dans une superposition des deux états et . Tant que la deuxième mesure n’est pas effectuée, il est impossible de savoir dans lequel de ces deux états il se trouve. La seule chose que l’on connaisse avec certitude, c’est que la probabilité de le trouver dans l’état est égale à et la probabilité de le trouver dans l’état est égale à .

Cette notion de superposition d’état a fait couler beaucoup d’encre. Pour de nombreux physiciens, elle était le signe de l’incomplétude de la physique quantique. Selon eux, il devait exister des variables cachées permettant de rendre déterministe la mesure. Albert Einstein a résumé cela en disant : « Dieu ne joue pas aux dés ». Erwin Schrödinger a utilisé une image qui a fait date : celle d’un chat qui serait à la fois mort et vivant4.

Il faudra près de 50 ans pour trancher le débat entre les sceptiques et les tenants de l’orthodoxie quantiques. Ce n’est qu’un 1981 qu’une expérience menée par l’équipe d’Alain Aspect au laboratoire d’Orsay permettre de déterminer qui a raison. Nous reviendrons sur cette expérience. Elle a donné raison à Niels Bohr, le chef de file de l’école de Copenhague. La superposition d’états n’est pas le signe d’une méconnaissance de lois de la physique encore plus fondamentale que celles de la théorie quantique. Lorsqu’une particule se trouve dans une superposition d’états, elle occupe bien tous les états considérés. C’est en effectuant une mesure (ou plus largement en interagissant avec elle) qu’on l’amène à choisir un état donné. Avant la mesure (ou l’interaction), la seule chose que l’on puisse déterminer, c’est la probabilité de trouver une valeur donnée.

Le principe de superposition joue un rôle très important en physique quantique. Il est à la base de certaines propriétés qui n’ont pas d’équivalent en physique classique. Les scientifiques placent de gros espoirs sur les applications industrielles que l’on pourrait en dériver, au premier rang desquelles se trouve l’ordinateur quantique.

Solutions de l'équation de Schrödinger

Le détour mathématique que nous avons fait va nous permettre d’aborder quelques notions tout à fait spécifiques de la physique quantique.

Revenons à l’équation de Schrödinger. Elle n’admet pas toujours une solution analytique. Il existe cependant quelques cas où on peut la résoudre. Parmi ceux-ci, deux présentent un grand intérêt pour la compréhension de la physique quantique :

  • Le cas de l’oscillateur harmonique,
  • le cas d’une particule stationnaire dans un potentiel de symétrie sphérique.

L’oscillateur harmonique

L’oscillateur harmonique permet de se familiariser avec le formalisme quantique sur un exemple simple. Il montre comment on parvient à la notion de quantum d’énergie ainsi que de création et d’annihilation de particule. Il permet également de comprendre pourquoi l’état d’énergie minimum d’un champ n’est pas nul, ce qui conduit directement à la notion d’énergie du vide.

Un oscillateur harmonique à une dimension est un système dont l’énergie potentielle peut s’écrire :

 

(19)

Son hamiltonien a la forme suivante :

 

(20)

On en déduit l’expression de l’opérateur hamiltonien :

 

(20 bis)

Dans cette expression et sont les opérateurs position et quantité de mouvement :

 

et :

(21)

est l’opérateur identité. On peut réécrire de manière plus simple en utilisant les opérateurs réduits et :

 

et :

(21)

avec :

 

(22)

Ceci permet d'écrire :

 

(23)

Nous allons chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de l’opérateur , c’est-à-dire les vecteurs tels que :

 

(24)

Soient et les deux opérateurs conjugués définis comme suit :

 

et

(25)

Le commutateur de et est tel que :

 

(26)

On démontre facilement que :

 

(27)

Appelons l’opérateur défini comme suit :

 

(28)

On voit que :

 

(29)

On constate que les vecteurs propres de sont les mêmes que les vecteurs propres de . Il nous suffit donc de rechercher les vecteurs propres de . Soient ces vecteurs propres :

 

(30)

Dans ce cas particulier nous avons choisi de représenter les vecteurs propres par le même symbole que la valeur propre : c’est un choix purement arbitraire.

L’opérateur est égal à l’opérateur conjugué . On peut en déduire que les valeurs de sont réelles.

Les valeurs propres de seront donc la forme :

 

    étant un nombre réel.

(31)

L’opérateur présente des propriétés remarquables. On peut en effet montrer que :

 

(32)

... et de la même façon :

 

(33)

Appliquons le commutateur à un vecteur propre de :

 

(34)

Il vient :

 

(35)

On obtient le résultat remarquable suivant :

  • si est un vecteur propre de , alors est aussi un vecteur propre de
  • la valeur propre correspondant au vecteur propre est

Pour rester cohérent avec notre convention de nommage des vecteurs propres de on peut donc écrire :

 

(36)

Le coefficient se calcule facilement :

 

(37)

On voit au passage que est nécessairement positif puisque . Il vient :

 

(38)

On peut montrer de même que :

 

(39)

Récapitulons :

  • l’opérateur fait passer d’un état à un état ,
  • l’opérateur fait passer d’un état à un état .

Considérons un vecteur propre quelconque de . Sa valeur propre est un nombre réel . Appliquons à ce vecteur propre autant de fois qu’il le faut. On obtient à chaque fois un nouveau vecteur propre de dont la valeur propre est décrémentée de 1. Si n’est pas un nombre entier, nous finirions par obtenir une valeur propre négative, ce qui est contraire à ce que nous avons démontré plus haut. Nous pouvons donc en conclure que les valeurs propres de sont des entiers positifs.

Nous pouvons résumer tout ce qui précède de la manière suivante.

Les états propres d’un oscillateur quantique sont tels que :

  avec entier et positif.

(40)

Il existe un état d’énergie minimum :

 

(41)

Nous sommes donc parvenus à un premier résultat tout à fait étonnant : l’énergie associée aux vecteurs propres de l’équation de Schrödinger forme une suite de valeurs discrètes séparées par un quantum d’énergie :

 

(42)

Ce résultat n’est à y regarder de plus près pas aussi surprenant qu’il y paraît : n’est-ce pas la formalisation théorique du postulat avancé par Max Planck en 1900 pour expliquer les propriétés du rayonnement d’un corps noir ?

La signification de l’opérateur apparaît maintenant plus clairement : il s’agit de l’opérateur nombre de quanta (en l’occurrence ici le nombre de photons). Les valeurs propres sont justement le nombre de ces particules.

Ceci nous conduit à un autre résultat tout à fait déroutant : en l’absence de photon, l’énergie du champ n’est pas nulle. L’état d’énergie minimum est égal à . Le vide ne correspond pas à un état d’énergie nulle. Cette prédiction tout à fait contre-intuitive a pu être vérifiée grâce à un dispositif de mesure proposé par le physicien Hendrik Casimir. Il faudra plus de 20 ans pour que d’habiles expérimentateurs réalisent cette mesure. Une fois de plus l’expérience a confirmé la théorie.

L’opérateur est un opérateur de création de quanta puisqu'il permet d’incrémenter le nombre de quanta. L’opérateur est un opérateur d’annihilation de quanta : il permet de décrémenter le nombre de quanta.

L’oscillateur quantique à une dimension est un cas d’école. Il est cependant très instructif. Il permet de comprendre comment on aboutit à la notion d’états discrets en partant du hamiltonien d’un système. Il montre également comment on passe d’un état à un autre par une opération de création ou d’annihilation de quanta. L’application à des systèmes représentatifs de la réalité est beaucoup plus complexe. Le principe reste le même permet de parvenir à un résultat : des états quantiques discrets, le passage d’un état à un autre par création ou annihilation de quanta.

 

Notes

1 : Pour la définition du hamiltonien, on pourra se reporter à l'annexe consacrée à la mécanique newtonienne.

2 : Un espace vectoriel est un espace sur lequel on peut définir une opération d’addition, une opération de multiplication par un nombre scalaire ainsi qu’un module.

3 : Le commutateur de deux opérateurs est défini de la manière suivante :    

4 : Le chat de Schrödinger est enfermé dans une caisse dans laquelle se trouve un dispositif diabolique. Une particule radioactive est placée face à un détecteur relié à une fiole emplie d’un gaz mortel. Si la particule se désintègre, le détecteur capte le rayon émis et la fiole se brise, entraînant la mort du chat. Tant que l'on n'a pas constaté le résultat de la mesure, le chat se trouve dans une superposition d'états |mort> et |vivant>.