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Formalisme quantique

Groupes et algèbres de Lie

Spin et équation de Dirac

Symétrie de jauge

Annexe 1 : Théorème de Noether

Annexe 2 : Antimatière

Annexe 3 : Construire un spineur en papier

 

Groupes de Lie et algèbre spinorielle : application à la physique quantique

 

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Les développements mathématiques longs et rébarbatifs autour des groupes et algèbres de Lie nous ont, semble-t-il, écarté du monde réel. Ils vont cependant s’avérer essentiels pour appréhender la réalité complexe et étrange des particules élémentaires. La notion de spineur est en effet indissociablement liée à celle de spin et les symétries décrites par les groupes de Lie.

L’expérience de Stern et Gerlach

L’expérience de Stern et Gerlach joue un rôle particulier dans l’histoire de la physique quantique. En 1922, Niels Bohr multiplie les conférences et les séminaires pour rallier les scientifiques à sa vision de la matière. Sa théorie semi-classique d’un atome entouré d’électrons en orbite manque cependant de cohérence. C’est à ce moment qu’intervient l’expérience montée par Otto Stern et Walther Gerlach. Elle met en évidence l’existence d’un moment cinétique intrinsèque des particules élémentaires, un moment cinétique dont les caractéristiques sont inexplicables dans le cadre de la physique classique. On a donné le nom de spin à ce moment cinétique.

L’expérience de Stern et Gerlach consiste à faire passer un faisceau d’atomes d’argent dans un champ magnétique de direction verticale. Contre toute attente, ce faisceau est séparé en deux parties déviées de manière symétrique. Or le moment magnétique orbital des atomes d’argent est supposé être nul. Le faisceau ne devrait donc subir aucune déviation.

Le moment magnétique d’une particule chargée est relié à son moment cinétique. L’approche classique des équations d’une particule chargée dans un champ électromagnétique permet en effet d’écrire son hamiltonien de la manière suivante :

 

(1)

Dans cette équation, est le potentiel scalaire du champ électromagnétique, est le moment magnétique de la particule et est le champ magnétique. Comme on le voit, le moment magnétique est bien relié au moment cinétique :

  et :

(2)

étant un coefficient appelé coefficient de Landé.

L’expérience de Stern et Gerlach tend donc à démontrer que les atomes d’argent possèdent un moment cinétique intrinsèque en plus de leur moment cinétique orbital : le spin. Cette expérience et toutes celles qui ont suivi ont également démontré qu’il n’y avait que deux états de spin distincts possibles, et ce quelle que soit la direction dans laquelle on cherche à le mesurer. Le spin est donc une grandeur physique de nature purement quantique. Nous allons montrer dans ce chapitre comment cette grandeur peut être décrite dans le formalisme de la physique quantique. Cette représentation nous permettra de faire un lien avec ce que nous avons appris au sujet du groupe SU(2).

La description non relativiste du spin d’un électron est due à Wolfgang Pauli1.

La représentation non relativiste du spin

Comme nous l’avons dit, le spin se manifeste comme le moment cinétique d’une particule. Tout se passe comme si la particule tournait sur elle-même. Cependant cette explication ne tient pas : cette vitesse de rotation se traduirait par une vitesse tangentielle supérieure à la vitesse de la lumière dans le plan équatorial de la particule. De plus, rien n’imposerait à ce moment cinétique de ne prendre que deux valeurs opposées l’une de l’autre et ceci quelle que soit la direction dans laquelle on le mesure. Il faut donc se résoudre à admettre que le spin est une propriété de cette particule qu’aucun modèle classique ne peut décrire de manière satisfaisante. Une particule a un moment cinétique tout comme elle a une masse. Dans l’équation d’Einstein :

 

(3)

la masse apparaît comme la part de l’énergie non réductible à la quantité de mouvement. D’une certaine manière le spin est une forme du moment cinétique non réductible à un mouvement de rotation.

Comme le démontre l’expérience de Stern et Gerlach, le spin d’une particule ne peut prendre que deux valeurs lorsqu’on le mesure dans une direction donnée :

 

(4)

Le spin d’une particule est donc une grandeur quantique. Ces deux valeurs de spin correspondent chacune à un état quantique de la particule considérée.

Avant de rentrer plus avant dans la description théorique des états de spin, nous allons nous attarder quelques instants sur les propriétés du spin dans le cas d’une particule libre. En physique quantique, l'état d'une particule est décrite par sa fonction d'onde . Celle-ci est représentée par un vecteur dans un espace vectoriel complexe appelé espace de Hilbert. (Nous reviendrons plus tard sur la notion d’espace de Hilbert.) Les états quantiques possibles de la particule forment une base de cet espace vectoriel. Dans le cas du spin des atomes d’argent dans l’expérience de Stern et Gerlach, cet espace est un espace de dimension 2 puisqu’il y a 2 états possibles.

Nous allons appeler l’espace de Hilbert qui permet de décrire la fonction d’onde du spin d’une particule2. Supposons que nous mesurions le spin dans la direction de l’axe Oz. Les deux états de spin et forment une base de cet espace. Ceci veut dire que et sont deux vecteurs orthogonaux de l’espace . La correspondance entre la représentation du spin dans l’espace euclidien et la représentation dans est donnée par le tableau qui suit :

Imaginons maintenant que nous cherchions à mesurer le spin après avoir effectué une rotation du dispositif de mesure d’un angle θ autour de l’axe Oy. Dans l’espace ceci revient projeter le vecteur d’état sur une nouvelle base. Appelons le vecteur d’état dans cette base. Si l’angle θ valait 0 ou π, les valeurs de seraient :

  et :

(5)

Lorsque l’angle θ est quelconque, le vecteur s’écrit tout simplement comme suit :

 

(6)

Attention : Nous sommes dans un monde quantique. Il ne faut pas prendre cette équation au pied de la lettre. Comme nous l’avons souligné ne peut prendre que deux valeurs : . La signification de l’équation qui précède est la suivante :

  • la probabilité de trouver la valeur vaut ,
  • et celle de trouver vaut .

On peut écrire en introduisant l’opérateur de rotation :

 

(7)

avec :

 

(8)

On peut donc associer à la rotation dans l’espace euclidien un opérateur qui réalise une rotation de &teta;/2 dans . Ceci nous renvoie directement à ce que nous avons dit au sujet du groupe SU(2) et des spineurs. L’algèbre spinorielle nous procure donc un cadre parfaitement adapté pour représenter l’espace de Hilbert H_spin tout en conservant le lien avec la signification physique du spin. On dit de la représentation du moment cinétique dans l’espace euclidien et de celle du spin dans l’espace complexe à deux dimensions qu’elles sont homéoporphes.

Spin et matrices de Pauli

Nous sommes dans un monde quantique. A toute mesure est associée une observable (voir plus bas). Nous allons donc rechercher quel observable est associée au spin . Revenons à l’opérateur . On peut l’écrire sous la forme suivante :

 

(9)

étant l’une des matrices de Pauli :

 

 

Soit l’opérateur défini de la manière suivante :

 

(10)

Il est facile de voir que les états de spin et sont les vecteurs propres de cet opérateur :

   

(11)

   

(12)

et :

 

(13)

On peut faire le même type d’analyse à partir des opérateurs et :

   

(14)

   

(15)

et :

 

(16)

   

(17)

   

(18)

et :

 

(19)

On voit donc que :

  •   :       et sont les vecteurs propres de l’opérateur ,
  •   :       et sont les vecteurs propres de l’opérateur .

On vérifie par ailleurs facilement que ces vecteurs propres sont orthogonaux entre eux. Les matrices de Pauli constituent donc une base qui permet de construire simplement une observable « spin » dans une direction quelconque de l’espace. Soit une direction quelconque :

 

(20)

 

(21)

Les valeurs de spin dans cette direction seront les vecteurs propres de l’opérateur :

 

(22)

Les deux vecteurs sont orthogonaux.

Equation de Dirac

Dans le chapitre qui précède, nous avons montré comment on pouvait représenter le spin d’une particule dans un espace de Hilbert. On remarquera cependant que, jusqu’à présent, nous sommes restés dans un cadre classique. Que se passe-t-il lorsqu’on passe dans un cadre relativiste ? L’équation de Schrödinger est-elle toujours pertinente ?

La première question que nous allons nous poser est la suivante : quel est l’effet des transformations de Lorentz sur la représentation spinorielle ? Armés de la réponse à cette question nous verrons ensuite comment adapter l’équation de Schrödinger au cadre de la relativité restreinte.

Nota : dans ce qui suit, nous allons adopter la notation covariante des indices pour représenter les vecteurs et les matrices.

Invariance de Lorentz

On peut montrer que la représentation matricielle des rotations peut être étendue aux transformations de Lorentz. Soit une matrice appartenant au groupe des matrices 2x2 complexes de déterminant 1. On peut lui associer une transformation de Lorentz de la manière suivante :

 

(23)

Deux possibilités pour la matrice : soit elle est unitaire, soit elle est hermitienne.

Premier cas : A est unitaire

Dans ce cas peut s’écrire comme suit :

 

(24)

étant un vecteur unité. On est ramené au cas non-relativiste. est alors une rotation d’angle θ autour de l’axe défini par .

  et :

(25)

 

(26)

Deuxième cas : A est hermitienne

Cette fois peut s’écrire comme suit :

 

(27)

est alors ce que l’on appelle un boost de vitesse dans la direction de . Un boost de vitesse est une transformation de Lorentz sans rotation :

     

(28)

 

(29)

On remarquera que l’application présente une particularité :

 

(30)

Bonne nouvelle : l’invariance de Lorentz, qui remplace en relativité restreinte la symétrie de rotation et la symétrie de translation, peut être représentée par le groupe sur lequel nous avons construit le formalisme des champs de spin. Il y a donc tout lieu de penser que la version relativiste de ce formalisme ne sera qu’une extension de celui-ci.

Equation de Klein-Gordon

L’équation de Schrödinger est la formulation quantique de l’équation de conservation de l’énergie pour une particule libre :

 

(31)

Si l’on remplace et par les opérateurs quantiques et il vient en effet :

 

(32)

La transposition relativiste consiste à remplacer la formule classique de par celle déduite de l’équation d’Einstein :

 

(33)

Ceci conduit à une équation appelée équation de Klein-Gordon pour les particules libres relativistes :

 

(34)

équation dans laquelle le symbole représente l’opérateur d’alembertien :

 

(35)

Cette équation présente une particularité notable par rapport à l’équation de Schrödinger : elle conduit à des valeurs propres de l’énergie qui peuvent être négatives ! Lorsque l’on recherche les solutions de cette équation, on obtient en effet des paires de solutions correspondant aux valeurs propres .

Equation de Dirac et antimatière

En 1928, Paul Dirac a mené jusqu’au bout la recherche des solutions de cette équation. Comme nous l’avons vu précédemment, Wolfgang Pauli avait montré qu’il existait deux états possibles de spin pour chaque valeur propre de l’énergie . Ceci conduisait à représenter les états de spin par un spineur (voir plus haut). L’équation de Klein-Gordon conduit à multiplier par deux le nombre d’états possibles : Dirac a donc proposé de remplacer le spineur de Pauli par un bispineur, un vecteur complexe de dimension 4 construit à partir de deux spineurs et :

  avec :

(36)

Les règles de transformation de ces spineurs sont les suivantes :

 

(37)

 

(38)

Dans cet espace, les matrices de Pauli sont remplacées par des matrices 4x4 complexes :

 

(39)

Ces matrices vérifient les équations suivantes :

  étant les coefficients de la métrique de Minkowski

(40)

   

(41)

   

(42)

   

(43)

L’équation de Schrödinger devient l’équation de Dirac :

 

(44)

Les quatre dimensions du bispineur correspondent à deux couples de valeurs propres de spin opposé. Le premier de ces couples renvoie à la solution de Pauli dans la limite non relativiste et le second à une solution d’énergie négative.

L’existence de solutions avec une énergie négative a tout d’abord plongé Dirac dans la perplexité. Il a cependant rapidement compris que des particules d’énergie négative et d’impulsion (donc remontant le temps) pouvaient être interprétées comme des antiparticules3 d’énergie positive et d’impulsion .

Ce qui caractérise une particule et une antiparticule c’est qu’elles ont la même masse et le même spin mais que leurs charges sont opposées. L’existence des antiparticules a été confirmée expérimentalement par Carl David Anderson en 1932. C’est en étudiant les rayons cosmiques qu’il mit en évidence l’existence du positron, l’antiparticule de l’électron. Il a été montré depuis qu’il existait une antiparticule pour chaque particule élémentaire. Paul Dirac a reçu le prix Nobel de physique en 1933.

Physique quantique, symétries et groupes de Lie

Nous allons revenir sur le formalisme de la physique quantique et analyser de manière plus détaillée les symétries qui s’appliquent au monde quantique. Nous allons voir en particulier comment on peut traduire en termes d’invariant ces symétries au travers des générateurs de leur algèbre de Lie.

Comme nous l’avons rappelé, chaque système physique quantique est associé un espace de Hilbert . Un état du système est représenté par un vecteur d’état de cet espace dont la dynamique est déterminée par l’équation de Schrödinger :

 

(45)

étant l'opérateur hamiltonien du système.

Les transformations du système sont représentées par des opérateurs dans l’espace des états et les grandeurs physiques par des observables. Les observables sont des opérateurs linéaires hermitiens. Les valeurs propres de ces observables sont les seules valeurs que peuvent donner une mesure physique réalisée sur le système.

Le système est dit symétrique s’il est invariant par rapport à une classe de transformations (qui sont de ce fait appelées des symétries du système). Si le système est invariant, il en va de même pour ses vecteurs d’état. Les classes de transformation qui laissent invariant le système forment un groupe. L’espace de Hilbert H porte donc une représentation de ce groupe. Ce n’est cependant pas une représentation linéaire. La probabilité d’observer l’état final à partir de l’état initial est en effet égale à . On ne peut pas distinguer deux états de même norme mais de phase différente. On parle dans ce cas de représentation projective. Moyennant quelques précautions mathématiques, on peut néanmoins utiliser la plupart des résultats cités dans le chapitre sur les groupes de Lie.

Symétrie

Revenons à l’analyse des symétries. Soit une symétrie et une observable . Par définition de la symétrie on peut écrire :

 

(46)

On montre alors que peut être représenté par un opérateur unitaire , faisant partie d’un groupe :

  et :

(47)

Comme on le voit, on se retrouve en terrain connu…

Le système est dit invariant si son hamiltonien est laissé inchangé par l’application de l’opérateur unitaire :

  et :

(48)

équation dans laquelle on reconnaît le crochet de Lie (ou commutateur). Si le groupe est continu et différentiable, si on peut exprimer en fonction d’un paramètre réel et si alors on peut écrire :

 

(49)

En fait, les physiciens ont coutume d’écrire cette équation sous une autre forme :

 

(50)

ou, plus simplement, au premier ordre :

  et :

(51)

Dans cette équation, l’opérateur est un opérateur hermitien. C’est donc une observable. C’est aussi, comme on l’a vu dans le chapitre sur les algèbres de Lie, un générateur infinitésimal de la transformation associée à la symétrie.

On peut déduire également de ce qui précède que commute avec .

Théorème d’Erhenfest et conservation des grandeurs physiques

La valeur moyenne du résultat des mesures obtenues avec l’opérateur s'écrit :

 

(52)

Nous allons nous intéresser à son évolution dans le temps :

 

(53)

Or :

  et :

(54)

la seconde équation étant obtenue par conjugaison de la première.

Comme par ailleurs :

 

(55)

il vient :

 

(56)

On obtient donc le résultat tout à fait fondamental suivant : non seulement agit comme un générateur infinitésimal de la symétrie mais, en tant qu’observable, est associé à une quantité physique conservée dans le temps. C’est la transcription en physique quantique du théorème de Noether.

On entrevoit ici le caractère particulièrement puissant du formalisme de l’algèbre de Lie en physique quantique. Il permet de d’associer aux opérateurs de symétrie une observable correspondant à une grandeur physique conservée au cours des évolutions du système !

Application à la symétrie SU(2) et théorie générale du spin

La symétrie SU(2) est une propriété très générale en physique : elle correspond à la symétrie de rotation dans l’espace. Les équations d’un système ne changent pas si l’on opère une simple rotation du référentiel de coordonnées. En physique classique, cette symétrie se traduit par la conservation du moment cinétique.

Nous allons nous intéresser aux implications de la symétrie SU(2) sur les propriétés des systèmes quantiques. Pour cela, nous allons rechercher une représentation de SU(2) (au sens défini dans les chapitres d’introduction sur les groupes) qui nous permettent de manipuler les vecteurs d’état d’un système quantique et, si possible, de les décomposer sur une base de vecteurs propres. Comme nous l’avons dit, les vecteurs d’état d’un système appartiennent à un espace de Hilbert qui est un espace vectoriel sur . Or SU(2) est une espace vectoriel sur . Nous ne pouvons donc pas utiliser directement SU(2). Fort heureusement, nous pouvons passer par l’espace complexe . C’est le groupe spécial linéaire des matrices 2 x 2 inversibles à valeurs dans et de déterminant égal à 1. Son algèbre de Lie est le groupe constituée par les matrices 2x2 complexes de trace nulle. Les mathématiciens nous assurent qu’il y a bijection entre les représentations irréductibles de dimension finie de et celles de .

Soit un espace vectoriel de dimension finie n sur . Une représentation linéaire de sur peut, par définition, être décomposée sur une base de 3 matrices nxn qui vérifient les mêmes « équations de structure » que et, donc, que :

 

(57)

Nous n’allons pas utiliser directement les matrices mais plutôt les matrices suivantes :

 

(58)

En se basant sur les constantes de structure des matrices de Pauli, il est facile de voir que e,f et h vérifient les équations qui suivent :

 

(59)

Puisque l’on s’intéresse aux représentations linéaires de il n’est pas illégitime de faire l’hypothèse que l’opérateur h possède au moins une valeur propre que nous appellerons λ. Cette valeur propre est associée à un sous-espace vectoriel de de dimension d. Nous appellerons :

      avec k = 1,.. d      les d vecteurs propres associées à λ.

Ces vecteurs propres présentent des propriétés tout à fait remarquables. Il est en effet facile de voir en utilisant les relations de commutation ci-dessus que :

  et :

(60)

Autrement dit :

  • le vecteur est un vecteur propre de h avec la valeur propre λ+1,
  • le vecteur est un vecteur propre de h avec la valeur propre λ-1.

Il vient :

  et :

(61)

étant de dimension finie, il existe une valeur P et une valeur Q telles que :

  et :

(62)

Des considérations sur la structure de conduisent à montrer que :

 

(63)

On peut en déduire simplement que :

 

(64)

Le nombre j est donc nécessairement un entier ou un demi-entier. Les valeurs propres de h peuvent être représentées de la manière suivante :

     avec :   .

ce qui conduit à l’existence de 2j+1 valeurs propres.

Les valeurs des coefficients s'écrivent alors comme suit :

 

(65)

Remarque : On aurait pu, bien évidemment, choisir une autre décomposition par simple permutation des indices . On obtiendrait un résultat identique, avec le même nombre de valeurs propres et la même formule pour .

Ce résultat est, à lui seul, tout à fait remarquable. Il l’est encore plus si l’on s’intéresse à l’observable associée à l’opérateur h. Elle conduit, comme on l’a dit, à un invariant du système. Quel est cet invariant ? Il s’agit tout simplement du moment cinétique. On retrouve un résultat connu en mécanique classique puisque c’est l’invariant associé à la symétrie SO(3) par le théorème de Noether.

En physique quantique, le moment cinétique d’une particule selon un axe peut donc être décomposé sur les vecteurs propres associés à la matrice de Pauli correspondant à cet axe :

 

(66)

Il ne peut prendre que 2j+1 valeurs, j étant un nombre entier ou demi-entier. Cette propriété, qui découle très directement de l’application de la théorie de groupes de Lie à la physique quantique, est à l’origine d’une caractéristique des particules qui n’a pas son équivalent en physique classique : le spin.

Bosons, fermions et structure des atomes

Comme nous l’avons vu, le spin d’une particule ne peut être qu’entier ou demi-entier. C’est un résultat fondamental de la physique quantique ! Il est à la base de la partition des particules élémentaires en deux familles : les bosons (spin entier ou nul) et les fermions (spin demi-entier).

L’analyse des symétries du système permet d’ailleurs plus loin dans la caractérisation de ces deux familles. On s’intéresse cette fois au groupe des permutations. Il est une autre propriété des particules quantiques qui est le principe d’indiscernabilité et qui stipule qu’il est impossible de différencier deux particules de même nature. Soient donc deux particules de même nature, appelées et l’opérateur qui les permute. Si les particules sont indiscernables, le hamiltonien du système commute avec . Les vecteurs propres de sont donc également des vecteurs propres de .

Une double permutation ramène à la situation initiale :

 

(67)

On en déduit donc que les valeurs propres de sont .

Ceci signifie que la fonction d’onde de la paire de particules p_1,p_2 est soit symétrique, soit antisymétrique. Une analyse plus poussée montre que la solution symétrique correspond à une particule ayant un spin entier et la solution antisymétrique a une particule de spin demi-entier. Ceci induit une différence de comportement fondamentale entre bosons et fermions. Rien en effet n’empêche les bosons d’occuper le même état (on dit alors qu’ils forment un condensat). Cette configuration est par contre strictement interdite pour les fermions. Pour que deux fermions se retrouvent dans le même état à la même position, il faudrait en effet que :

 

(68)

ce qui entraîne automatiquement que :

 

(69)

C’est le fondement théorique du principe d’exclusion de Pauli. C’est une propriété tout à fait essentielle pour nous : c’est cette propriété qui fait que la matière est matière, qu’elle a une certaine étendue spatiale, alors que le rayonnement, par exemple, peut concentrer un nombre indéfini de photons en un seul point !

La quantification du spin explique également la structure des atomes et, plus précisément l’organisation si particulière du nuage électronique. Comme on l’a vu dans le chapitre consacré à l’atome d’hydrogène, les électrons ne peuvent occuper qu’une série d’états quantiques correspondant à des niveaux d’énergie croissant caractérisés par un nombre appelé n. Pour chacun de ses niveaux (on parle de couches), il existe plusieurs sous-niveaux possibles (sous-couches), caractérisés cette fois par le nombre l, avec . Un troisième niveau d’analyse conduit à une novelle quantification, avec le nombre . On reconnaît dans ce dernier niveau d’analyse les résultats exprimés dans le paragraphe précédent.

On peut d’ailleurs aller plus loin en recherchant cette fois une représentation de SU(2) directement sur l’espace . Il est possible de trouver une telle représentation sur l’ensemble des polynômes harmoniques à coefficients complexes de degré l restreints à une sphère :

  et :

(70)

On voit donc que la quantification qui résulte de la symétrie SU(2) explique complètement la structuration du nuage électronique autour des atomes.

 

Notes

1 : La contribution de Pauli à la physique quantique est décisive : on lui doit entre autres le principe d’exclusion (1925) ainsi que l’hypothèse de l’existence du neutrino (1930).

2 : Il serait plus convenable de parler de la composante de spin de la fonction d’onde de la particule. La fonction d’onde de la particule est un vecteur de l’espace de Hilbert . Cet espace est le produit tensoriel entre l’espace de Hilbert de la particule si l’on fait abstraction du spin et .

3 : Voir l'annexe consacrée à l'antimatière.