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Relativité restreinte et simultanéité

 

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Le principe de relativité postule que les lois physiques doivent s’exprimer de la même manière dans tous les référentiels galiléens (appelés encore référentiels inertiels). Un référentiel inertiel est un référentiel dans lequel un objet isolé sur lequel ne s’applique aucune force suit une trajectoire rectiligne.

La mécanique newtonienne donne des bases théoriques qui permettent de mettre en équation ce principe. Dans la mécanique newtonienne le temps et l’espace sont à la fois indépendants l’un de l’autre et absolus. On dit que ce sont des invariants.

L’une des conséquences de la mécanique newtonienne est la loi de combinaison des vitesses. Or cette loi, comme l’a démontré l’expérience de Michelson et Morley, ne s’applique pas à la propagation des ondes électromagnétiques. La vitesse de propagation des ondes électromagnétiques (i.e. la vitesse de la lumière) est constante et indépendante du référentiel dans lequel on la mesure. Elle est invariante.

Temps et espace invariants d’un côté, vitesse de la lumière invariante de l’autre… Les deux propositions ne font pas bon ménage. La mécanique newtonienne et l’électromagnétisme semblent irréconciliables.

La théorie de la relativité restreinte raccommode ces deux branches de la physique en reformulant le principe de relativité dans un cadre nouveau. Ce cadre exige d’abandonner les invariants de la mécanique newtonienne et de ne conserver qu’un seul invariant : la vitesse de la lumière.

Abandonner l’idée que le temps et l’espace sont invariants n’est pas chose facile… Cela heurte notre bon sens. Le malaise est d’autant plus grand que la relativité restreinte ne se contente pas d’affirmer que le temps dépend de la vitesse de celui qui le mesure, elle dit également que le temps et l’espace sont deux notions intimement liées. Supposons deux observateurs, Alice et Bob. Supposons qu’Alice soit immobile et que Bob se déplace à une vitesse constante par rapport à elle. On peut définir deux référentiels : celui d’Alice et celui de Bob. La relativité restreinte nous montre que le temps dans le référentiel inertiel de Bob combine le temps du référentiel d’Alice avec une distance mesurée dans le référentiel d’Alice. Elle nous montre également que les distances mesurées par Bob dans son référentiel combinent les distances dans le référentiel d’Alice avec un peu du temps d’Alice. Voilà qui est déroutant. Fort heureusement pour nous, cet effet n’est sensible que pour des vitesses proches de la vitesse de la lumière…

Déroutantes, les conséquences pratiques de la théorie de la relativité restreinte l’étaient d’autant plus lorsqu’Einstein publia ses articles en 1905. Rien ne permettait alors de les vérifier. La seule et unique justification de la théorie était qu’elle permettait d’expliquer l’expérience de Michelson et Morley et de réconcilier mécanique et électromagnétisme. Dans la théorie de la relativité restreinte, les lois de combinaison des vitesses (ce que l’on appelle la cinématique) sont remplacées par d’autres formules : les lois de transformation de Lorentz. La vertu de ces lois de transformation est qu’elles permettent d’exprimer les lois de l’électromagnétisme de la même façon quel que soit le référentiel inertiel. On dit que les lois de l’électromagnétisme sont invariantes par transformation de Lorentz.

Aborder la relativité restreinte par la transformation de Lorentz est pour le moins abrupt. Pour réussir à « apprivoiser » la notion de relativité du temps et de l’espace il est utile de s’attarder un instant sur la notion de simultanéité. Cette notion est essentielle en physique. Il est impossible de se trouver à deux endroits distincts au même instant : comment, dès lors, être certain que deux événements sont simultanés ? Comment formuler une loi physique valable en tout point de l’espace si on n’a pas défini un protocole permettant de synchroniser la mesure du temps en deux points distants ?

Simultanéité

Pour étudier la notion de simultanéité, il est commode de se figurer l’espace en deux dimensions : une dimension d’espace (abscisse), une dimension temporelle (ordonnée). Les effets de la relativité restreinte n’étant sensibles qu’à des vitesses proches de celle de la lumière, nous allons choisir des unités qui soient en rapport avec les phénomènes que nous voulons illustrer. Si l’on utilisait les unités courantes (km et secondes) cela amènerait à représenter un rayon lumineux par une droite quasiment horizontale. On pallie à cet inconvénient en utilisant un référentiel dans lequel la coordonnée temporelle est telle que . Cela permet de représenter le déplacement de la lumière par une droite à 45°. Comme nous le verrons plus tard, une représentation de ce type correspond à un espace-temps très simplifié. Nous l’utiliserons plusieurs fois par la suite.

Figure 1 : synchronisation des horloges dans un référentiel au repos.

Supposons deux personnages, Alice (A) et Bob (B), tous deux immobiles dans un référentiel galiléen donné. Alice et Bob souhaitent synchroniser leurs horloges. Alice envoie à Bob un signal à l’instant . Bob reçoit ce signal à l’instant et le renvoie à Alice grâce à un miroir. Alice reçoit le signal réfléchi à l’instant .

Pour synchroniser leurs horloges, Alice et Bob doivent faire en sorte que :

 

(1)

Sur la figure 1 cela traduit le fait que les événements simultanés dans le repère au repos (repère noir) se trouvent tous sur une même droite horizontale (coordonnée temporelle identique).

Considérons maintenant le cas de Charlie (C) et Déborah (D) qui se déplacent à la vitesse par rapport au repère noir. Leur trajectoire est matérialisée par une droite tracée en rouge qui fait un angle par rapport à la verticale :

 

(2)

Figure 2 : synchronisation des horloges entre deux observateurs en mouvement.

Pour synchroniser leurs horloges, Charlie et Déborah procèdent de la même façon qu’Alice et Bob : Charlie envoie un signal à l’instant . Déborah reçoit ce signal à l’instant et le renvoie à Charlie grâce à un miroir. Charlie reçoit le signal réfléchi à l’instant . Pour synchroniser leurs horloges, Charlie et Déborah doivent faire en sorte que :

 

(3)

La droite qui matérialise la simultanéité pour Charlie et Déborah n’est pas une droite horizontale comme c’était le cas pour des observateurs au repos ! Elle est inclinée. Le temps ne s’écoule donc pas pour Charlie et Déborah de la même façon que pour Alice et Bob.

Pour mieux caractériser cette droite, il faut faire un peu de géométrie… Donnons un nom aux événements ayant servi à la synchronisation des horloges de Charlie et Déborah :

  • on appelle l'événement correspondant à ,
  • on appelle l'événement correspondant à ,
  • on appelle l'événement correspondant à ,
  • on appelle l'événement correspondant à ,

Le triangle est un triangle rectangle, donc le triangle est isocèle :

 

(4)

Figure 3 : interprétation géométrique de la synchronisation des horloges.

Par ailleurs :

 

(4-bis)

Soit l’angle que fait avec l’horizontale :

 

(5)

La direction de la droite de simultanéité pour Charlie et Déborah est symétrique de la direction de leur trajectoire par rapport à la direction de propagation de la lumière.

Repère en mouvement et transformation de Lorentz

L’approche géométrique de la relativité restreinte que nous avons développée va nous permettre d’introduire les transformations de Lorentz. Considérons le repère rouge dans lequel Charlie et Déborah sont au repos (voir figure 4). L’axe du temps de ce repère est parallèle à la trajectoire de Charlie et Déborah, il fait un angle avec la verticale. L’axe des est l’axe parallèle à la direction de simultanéité pour Charlie et Déborah. Il fait un angle par rapport à l’horizontale. L’axe des temps et l’axe des du repère rouge sont symétriques par rapport à la direction de propagation de la lumière.

Voyons comment les vitesses se combinent dans ce repère. Pour cela, examinons le cas d’Emile qui se déplace à la vitesse dans le repère rouge. Dans le cas non relativiste, on sait bien que la vitesse d’Emile dans le repère noir est égale à . Cela signifierait que la vitesse résultante d’Emile dans le repère noir pourrait être supérieure à la vitesse de la lumière même si et . Or on sait que c’est impossible…

Figure 4 : repère rouge de Charlie et Déborah par rapport au repère noir d’Alice et Bob.

Dans le cas relativiste, il faut prendre en compte les nouvelles règles de simultanéité. Nous allons chercher à déterminer le point où se trouve Emile au bout du temps . Nous appellerons ce point. Construisons tout d’abord le point correspondant à sur l’axe du temps du repère rouge : soit ce point. Construisons ensuite le point atteint par un rayon lumineux émis depuis l’origine au bout du même intervalle de temps . Par construction, est une droite de simultanéité du repère rouge : est donc parallèle à l’axe des du repère rouge.

se trouve nécessairement sur cette droite. Comme Emile se déplace à la vitesse dans le repère rouge, on peut même dire que :

 

(6)

... ce qui suffit à déterminer complètement la position de .

On remarquera que cette façon de combiner les vitesses résout la contradiction relevée dans le cas non relativiste : quelques soient et (à condition bien sûr qu’ils soient tous deux inférieurs à ), la vitesse résultante d’Emile sera toujours inférieure à la vitesse de la lumière puisque est situé entre et .

Cherchons maintenant les règles précises de transformation du temps et des coordonnées d’espace entre le repère noir et le repère rouge.

Considérons le point dans la figure 5 ci-dessous. Supposons qu’il coïncide par définition avec l’instant dans le repère rouge.

Construisons le point qui se trouve à l’intersection de l’axe vertical (axe du temps du repère noir) et de la droite de simultanéité passant par . Soit l’instant avec lequel il coïncide dans le repère noir. et n’ont aucune raison d’être identiques. et sont simultanés dans le repère rouge et on sait que le temps dans le repère noir ne s’écoule pas de la même façon que dans le repère rouge.

Figure 5 : transformation relativiste du temps.

On pose par définition :

 

avec différent de 1.

(7)

La situation du repère rouge par rapport au repère noir n’est pas différente de la situation du repère noir par rapport au repère rouge (les situations sont symétriques l'une de l'autre). Construisons le point P_0 situé sur l’axe vertical et tel que et soient simultanés dans le repère noir, c’est à dire tels que la droite soit horizontale. On doit logiquement pouvoir écrire :

 

avec l’instant coïncidant avec dans le repère noir.

(8)

Il vient donc :

 

(9)

Considérons maintenant les triangles et . Ils sont semblables (au sens géométrique du terme). On peut donc écrire :

 

(10)

 

(11)

Soit :

 

(12)

Il vient donc :

 

(13)

Le paramètre est appelé facteur de Lorentz. On peut faire les mêmes constatations pour les coordonnées d’espace. Ceci nous conduit directement aux équations de transformation de Lorentz :

 

(14)

 

(14-bis)

Généralisation

Nous avons supposé jusqu'à maintenant que le déplacement se faisait selon l'axe mais les calculs ci-dessus peuvent être facilement appliqués à une direction quelconque de l'espace. Sous sa forme la plus générale, la transformation de Lorentz est une transformation qui agit sur un espace à 4 dimensions qu'on appelle espace-temps (il a une dimension temporelle et trois dimensions d'espace).

Sa forme générale est définie de la manière suivante. Supposons un déplacement rectiligne et uniforme le long de l’axe avec la vitesse . La transformation de Lorentz des coordonnées s’écrit :

 

(15)

avec :

 

et

(1)

Cette équation peut également s'écrire de la manière suivante en utilisant la notation tensorielle et la convention de sommation d'Einstein :

 

(16)

avec :

 

et

(1)

est le tenseur de Minkowski. La convention de sommation d'Einstein consiste à effectuer une sommation sur les indices identiques apparaissant simultanément en haut et en bas d’une formule :

 

 

Le terme donne une bonne idée du facteur de ralentissement du temps lié à la vitesse. On peut calculer, par exemple, qu'à la vitesse du TGV le facteur ne différe de l'unité que d'un terme qui vaut 3,8 10-14. C'est indiscernable à moins d'embarquer une horloge atomique. Si l’on considère un satellite, dont la vitesse est proche de 10 km/s, le terme d'écart sera voisin de 5 10-10. C'est encore très faible mais au bout d'une journée cela représente 48 μs et près de 1,5 ms au bout d'un mois. Prenons maintenant le cas d'une particule voyageant à 99 % de la vitesse de la lumière. Cette fois le facteur de ralentissement ne peut plus être négligé : il vaut 7. Poussons plus loin : pour une particule dont la vitesse ne diffère de la vitesse de la lumière que de un pour mille, ce facteur de ralentissement est 22...

On peut également donner une représentation de la transformation de Lorentz en utilisant la notation hyperbolique1 :

 

(17)

avec :

 

 

L’équation (15) reste néanmoins un cas particulier de la transformation puisqu’on a fait l’hypothèse que le référentiel en mouvement se déplaçait parallèlement à l’axe .

En pratique, la direction dans laquelle se déplace le référentiel peut être tout à fait quelconque. Lorsque c’est le cas la transformation de Lorentz s’exprime sous la forme suivante :

 

et

(18)

ce qui peut aussi s’écrire sous forme tensorielle :

 

(19)

On vérifie aisément que cette représentation est strictement équivalente à celle donnée par l’équation (15) lorsque le vecteur est parallèle à l’axe .

Les transformations de Lorentz forment un Groupe de Poincaré dans l'espace-temps. Cette propriété exprime en termes mathématiques une caractéristique essentielle de ces transformations : les transformations de Lorentz ne modifient pas la formulation des lois physiques. C'est la généralisation de la notion de relativité galiléenne. La relativité galiléenne ne s'appliquait qu'aux lois de la mécanique, la relativité restreinte d'Einstein englobe l'électromagnétisme.

Espace-temps de Minkowski

L'espace-temps de la relativité restreinte est aussi appelé espace de Minkowski. Hermann Minkowski est un physicien et mathématicien allemand d'origine lituanienne qui, le premier, a proposé de formuler la relativité restreinte sous la forme d'un espace-temps à 4 dimensions. La géométrie de l’espace-temps de Minkowski n’est pas tout à fait la même que celle de l’espace euclidien à 3 dimensions auquel nous sommes accoutumés. C’est ainsi que le produit scalaire, qui s’écrit comme suit en géométrie euclidienne :

 

(20)

devient :

 

(21)

On dit du produit scalaire de l'espace-temps de Minkowski qu'il a la signature (+, -, -, -). Le produit scalaire euclidien a la signature (+, +, +).

Le produit scalaire de l'espace-temps de Minkowski permet de définir ce que l’on appelle une métrique. La métrique est la généralisation de la notion de distance. La métrique correspond à la norme du vecteur qui relie deux points de l’espace-temps :

 

(22)

Contrairement à la distance euclidienne, la métrique minkowskienne n’est pas nécessairement positive. Le signe de la métrique permet de caractériser le type de l’intervalle entre les deux points considérés :

 

si on dit de l’intervalle qu’il est du genre temps,

si on dit de l’intervalle qu’il est du genre lumière,

si on dit de l’intervalle qu’il est du genre espace.

 

Cônes de lumière

Une caractéristique essentielle de la métrique de l’espace-temps de Minkowski est qu’elle est invariante par la transformation de Lorentz. Ceci permet de lui faire jouer un rôle central dans l’interprétation de la relativité restreinte. Le genre des intervalles définis grâce à cette métrique reste le même quel que soit le référentiel inertiel dans lequel on se place. En particulier, les deux cônes définis par l’équation sont invariants dans la transformation de Lorentz. Comme ces cônes correspondent à des lignes d'univers parcourus à la vitesse de la lumière, on les appellent cônes de lumière. Le cône orienté dans le sens est appelé cône de lumière du futur. Le cône orienté dans le sens est appelé cône de lumière du passé. Le cône de lumière du futur définit l’ensemble des événements futurs qui peuvent être reliés causalement au point situé au sommet du cône considéré. C'est une propriété fondamentale de l'espace-temps de la relativité restreinte. C'est en quelque sorte sa marque de fabrique.

Temps propre

Comme on l'a vu plus haut, les transformations de Lorentz décrivent les changements de référentiel inertiel dans l'espace-temps de Minkowski, c'est à dire le passage d'un référentiel donné à un autre référentiel en translation avec une vitesse v par rapport au référentiel initial. On peut remarquer que tout changement de référentiel inertiel peut être interprété comme une rotation hyperbolique dans cet espace-temps (voir plus haut). Cela découle du fait que tout vecteur de l'espace-temps conserve son module dans la transformation de Lorentz :

 

(23)

Signalons enfin une propriété essentielle de l’espace-temps de la relativité restreinte. La quantité définie comme suit :

 

(24)

est invariante par la transformation de Lorentz au même titre que .

Cette quantité est assimilable à la coordonnée temporelle dans un référentiel coïncidant avec la position d’un mobile quelconque en déplacement inertiel (c'est à dire tel que = = = 0). Cette quantité est appelée temps propre de ce mobile.

En appliquant l’équation (14), on voit que le temps relatif (le temps dans tout autre repère inertiel) est lié au temps propre par l'équation :

 

(25)

On passe de cette équation aux dérivées au temps propre en écrivant :

 

(26)

Cette notion de temps propre n'est pas applicable à un photon puisque dans ce cas . La notion de temps n'a tout simplement pas de sens pour un photon !

Paradoxe temporel

Nous voilà mieux armés pour affronter les paradoxes apparents de la relativité restreinte.

Retrouvons Alice et Bob. Alice est sur le quai d’une gare sur la ligne d’un TTGV (train à très grande vitesse). Elle a installé le long de la voie, à 10km de l’endroit où elle se trouve une horloge qu’elle a soigneusement synchronisée avec sa propre horloge. Bob est dans un TTGV qui file à vive allure. En passant devant le quai de la gare, il synchronise sa propre horloge avec celle d’Alice (ne me demandez pas comment : Alice et Bob sont d’habiles expérimentateurs mais ils ne partagent pas facilement leurs secrets). Quelques instants plus tard, il passe devant l’horloge qu’Alice a installée 10 km plus loin. Il note l’heure affichée par cette horloge et la compare à celle qu’indique sa propre horloge. Que constate-t-il ?

Il constate que son horloge retarde par rapport à celle installée par Alice ! Le temps s’est écoulé plus lentement pour lui. La transformation de Lorentz nous permet même de calculer le rapport entre la durée mesurée par Bob avec son horloge et celle mesurée grâce aux horloges d’Alice. Ce rapport est égal à .

C’est là que les choses se corsent. La transformation de Lorentz nous dit que le temps vu par Bob s’écoule plus lentement que celui mesuré par Alice.

Mais le principe de relativité nous dit aussi que tous les référentiels se valent… Autrement dit, on pourrait faire exactement le même raisonnement en disant que c’est Alice qui se déplace par rapport à Bob. On devrait alors conclure que le temps vu par Alice s’écoule plus lentement que celui mesuré par Bob. Il y a là un paradoxe semble-t-il…

Et bien non, il n’y a pas de paradoxe et c’est effectivement le cas : le temps vu par Alice s’écoule plus lentement que celui mesuré par Bob. Comment est-ce possible me direz-vous ? C’est totalement incompréhensible !

Pourtant l’explication est très simple et on en revient tout bonnement au problème de la simultanéité. Nous avons dit qu’Alice avait consciencieusement synchronisé l’horloge située à 10km de la gare avec la sienne. C’est vrai pour Alice… mais certainement pas pour Bob. Deux événements simultanés pour Alice ne le sont pas pour Bob. Autrement dit, lorsque Bob passe devant le quai de la gare, il synchronise son horloge avec celle d’Alice mais pour lui la troisième horloge (celle située à 10km de là) n’est pas à l’heure ! S’il avait eu à la synchroniser, il ne l’aurait pas réglée de la même façon. Ce paradoxe n’en est donc pas vraiment un...

 

Notes

1 : La trigonométrie classique est définie par le rapport entre les coordonnées d’un point appartenant à un cercle centré à l’origine. La trigonométrie hyperbolique est définie par le rapport entre les coordonnées d’un point appartenant à une hyperbole dont le foyer est situé à l’origine.