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Effet Doppler relativiste

 

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Nous avons vu dans le chapitre précédent que le passage d’un référentiel inertiel à un autre n’avait pas d’effet sur la vitesse d’un photon mais que cela changeait son énergie et son impulsion. Or cette énergie est directement liée à sa fréquence. Ce changement de fréquence n’est pas sans rappeler l’effet Doppler qui affecte les ondes acoustiques. Nous allons voir comment cet effet Doppler s’applique aux ondes électromagnétiques. Nous verrons en particulier que la relativité restreinte permet de mettre en évidence un effet Doppler transverse lié à la dilatation relativiste du temps que ne permet pas de prédire la théorie classique de l’électromagnétisme. Cet effet transverse peut être mis en évidence grâce aux horloges atomiques très précises dont nous disposons aujourd’hui.

Effet Doppler relativiste

Reprenons le cours de nos expériences avec Alice et Bob. Bob se déplace avec une vitesse par rapport à Alice. A un instant (dans le repère de Bob) il lui envoie un signal lumineux à la fréquence .

Plaçons-nous dans le repère d’Alice. Supposons que Bob se trouve à la distance d d’Alice au moment où il lui envoie ce signal. Dans le repère d’Alice, ce signal met un temps à lui parvenir. Elle le reçoit à l’instant .

Nous allons nous intéresser à la fréquence du signal reçu par Alice. Supposons que Bob émette un autre photon au bout d’une période, c’est-à-dire à l’instant :

 

(1)

Replaçons-nous dans le repère d’Alice. A quel instant va-t-elle recevoir ce nouveau photon ? Au moment où Bob émet ce photon, il se trouve à la distance par rapport à Alice :

 

(2)

On peut calculer le moment auquel Alice va recevoir le photon en écrivant :

 

(3)

Soit :

 

(4)

Il vient :

 

(5)

 

Effet Doppler pour une source lumineuse se dirigeant dans une direction quelconque

Nous avons supposé que Bob s’éloignait d’Alice avec une vitesse . Le calcul que nous venons de faire ne s’applique donc qu’à une source en mouvement radial par rapport à un observateur fixe. C’est un cas tout à fait particulier. Il nous faut considérer le cas d’une source dont la vitesse présente une composante transverse par rapport à l’observateur. La démarche que nous avons suivie n’est plus applicable. Celle que nous allons présenter est beaucoup plus générale. Elle pourra être étendue au cas de la relativité générale.

Considérons par exemple une étoile se déplaçant à la vitesse par rapport à un observateur terrestre qui ne se trouve pas sur sa trajectoire.

Pour simplifier les écritures, nous allons considérer deux référentiels (terrestre et étoile) se déplaçant parallèlement l’un par rapport à l’autre et choisis tels que :

  • l’axe est dans la direction de déplacement de l’étoile,
  • l’étoile se trouve dans le plan .

Figure 1 : L’effet Doppler relativiste combine l’effet Doppler dû à la composante radiale
de la vitesse avec l’effet de dilatation relativiste du temps.

Le choix des référentiels étant purement arbitraire, ceci ne retire rien à la généralité des calculs. Dans ce qui suit on adopte les conventions suivantes :

 

vitesse de l’étoile dans son référentiel

 

, , ...

composante du quadrivecteur impulsion dans le référentiel de l’étoile

 

, , ...

composante du quadrivecteur impulsion dans le référentiel terrestre

 

direction de l’observateur par rapport à la trajectoire dans le référentiel de l’étoile

 

direction de l’observateur par rapport à la trajectoire dans le référentiel terrestre

 

,

fréquence du rayonnement émis par l’étoile

 

,

fréquence du rayonnement perçu par l’observateur

Comme nous l’avons vu dans un chapitre précédent, la forme générale du quadrivecteur énergie-impulsion de tout rayon lumineux est la suivante :

 

(6)

étant un vecteur unitaire parallèle au vecteur . Dans le repère en mouvement de l’étoile, ceci peut s’écrire :

 

(7)

avec :

 

et

 

Appliquons la transformation de Lorentz au quadrivecteur énergie-impulsion pour trouver son expression dans le repère terrestre :

 

(8)

Il est facile d’en déduire la fréquence du rayonnement vu par l’observateur terrestre : elle est donnée par la valeur de la 1ère composante du quadrivecteur impulsion dans le repère terrestre :

 

(9)

On reconnaît dans la composante radiale (dans le repère de l’étoile) de la vitesse de celle-ci par rapport à l’observateur. On peut en tirer la formule suivante pour la fréquence :

 

avec

(10)

On retrouve bien évidemment l’équation (5) lorsque .

Comme on le voit, l’effet Doppler relativiste combine l’effet Doppler dû à la composante radiale de la vitesse avec un effet de dilatation relativiste du temps. C’est une prédiction tout à fait originale de la théorie de la relativité restreinte. On constate en effet que l’effet Doppler est perceptible même lorsque la vitesse est purement transverse et n’a pas de composante radiale. On a dans ce cas :

 

(9-bis)

Cet effet est appelé effet Doppler transverse. Il effet est parfaitement mesurable et il a été vérifié à de nombreuses occasions. Prenons le cas des satellites GPS. Leur vitesse orbitale est de 3,87 km/s. On peut calculer facilement l’écart de fréquence correspondant :

 

soit :

 

L’écart paraît minime mais il se traduit par un décalage d’horloge de 7 μs par jour. Le principe du GPS étant basé sur une triangulation et les signaux électromagnétiques parcourant 2100 m en 7 μs, cela suffit à engendrer un biais inacceptable. (Nous verrons dans la section consacrée à la relativité générale que ce biais s’ajoute à celui induit par le décalage gravitationnel des horloges.)

Si on se place dans le repère terrestre, il est intéressant de connaître l’angle apparent que fait l’étoile par rapport à l’observateur (effet d’aberration, voir paragraphe ci-dessous). La valeur de cet angle découle directement des équations qui précèdent :

 

donc :

(11)

 

donc :

(11-bis)

Aberration angulaire

L’effet d’aberration angulaire était connu des physiciens bien avant qu’Einstein introduise la théorie de la relativité restreinte1. Il est lié au fait que la vitesse de la lumière est finie. Soit un repère (référentiel de l’observateur) se déplaçant avec une vitesse par rapport au référentiel d’une étoile. Supposons que cette étoile se trouve dans une direction qui fait un angle par rapport à la direction dans laquelle se déplace le référentiel . Si l’on prend en compte le temps de propagation du rayon lumineux dans la lunette astronomique de l’observateur et le déplacement de la lunette pendant ce temps, le calcul classique conduit à un vecteur de propagation de la lumière défini par :

 

(12)

Figure 2 : Déplacement de la lunette entre le moment où le rayon frappe
la lentille avant et le moment où il frappe la lentille arrière.

Il en découle un effet d’aberration sur l’angle de visée de l’observateur par rapport à la direction réelle de l’étoile :

 

(13)

Cet effet était connu et correctement interprété par les astronomes du XIXème siècle. La théorie de la relativité restreinte a conduit à réviser les calculs des astronomes pour prendre en compte l’invariance de la vitesse de la lumière. On peut en effet remarquer que la norme du vecteur vitesse tel que défini par l’équation (12) n’est pas égale à c ! Si on reprend cette équation dans un cadre relativiste, il vient :

 

(14)

Ceci conduit à une nouvelle valeur de l’angle de visée :

 

(15)

 

Notes

1 : L'aberration stellaire a été mise en évidence au début du XVIIIème siècle.