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Le trou noir1 est une notion qui a beaucoup excité l’imagination des auteurs de science-fiction. On lui prête un certain nombre de propriétés dont beaucoup relèvent du fantasme. Or le trou noir n’est pas un mythe. C’est un objet dont les astronomes attestent la réalité et qui obéit aux lois de la relativité générale. C’est d’ailleurs en s’appuyant sur la théorie de la relativité générale que les astrophysiciens ont pu mettre en évidence les propriétés très particulières de ces objets hors norme… et c’est à partir de ces propriétés que les astronomes ont pu les identifier.

Le trou noir a été baptisé ainsi par le physicien américain John Archibald Wheeler. La notion de trou noir est cependant beaucoup plus ancienne. En 1783, le révérend et astronome amateur John Michell avait suggéré l’existence de corps suffisamment massifs pour que la lumière ne puisse pas s’en échapper. Cette idée fut redécouverte par le mathématicien et astronome Pierre Simon de Laplace quelques années plus tard. A l’époque, on pensait que la lumière était composée de particules et, comme telle, soumise aux lois de la mécanique newtonienne. Michell et Laplace avaient calculé la masse d’une étoile dont la vitesse de libération2 est égale à la vitesse de la lumière et prédit qu’une telle étoile ne pouvait pas rayonner. Laplace qualifie ce type d’objet d’astre occlus. La démonstration du caractère ondulatoire de la lumière par Young et Fresnel fit tomber cette prédiction dans l’oubli.

Avec l’avènement de la relativité générale le concept de trou noir refait son apparition au début du XXème siècle. Dès 1916 L’astrophysicien allemand Karl Schwarzschild rédige un article présentant une solution de l’équation d’Einstein pour un univers de symétrie sphérique comportant une masse située au centre. La métrique correspondant à cette solution présente une singularité à une distance du centre. Dès lors, si le rayon de l’objet à l’origine de la métrique est inférieur à , celui-ci présente des propriétés tout à fait particulières qui rappellent celles de l’astre occlus de Laplace et Michell. On donnera plus tard le nom de rayon de Schwarzschild à cette distance. Si les calculs de Schwarzschild ne sont pas contestés, l’opinion générale des astronomes est qu’un tel objet ne peut pas exister pas.

Peu de temps après Schwarzschild, Hans Reissner et Gunnar Nordström vont découvrir une autre solution de l’équation d’Einstein. Elle concerne elle aussi un objet massif de symétrie sphérique et dénué de moment cinétique mais elle prend de plus en compte l’éventualité d’une charge électrique.

La singularité qui apparaît dans la métrique de Schwarzschild pour fait obstacle à la bonne compréhension des propriétés des trous noirs et fait douter de leur existence. Dès le début des années 1920 Arthur Eddington puis Georges Lemaître montrent que cette singularité n’est qu’un artefact dû au choix des coordonnées. Le changement de coordonnées qu’ils proposent élimine cette singularité. Beaucoup plus tard, en 1960, Martin Kruskal et George Szekeres proposent un autre jeu de coordonnées qui permet cette fois d’étudier le mouvement d’un corps à l’extérieur et à l’intérieur du rayon de Schwarzschild ainsi que le franchissement de la singularité. La métrique de Kruskal-Szekeres fait progresser la connaissance de ce que l’on n’appelle pas encore des trous noirs.

En 1963 une nouvelle étape est franchie : le mathématicien néo-zélandais, Roy Patrick Kerr découvre une solution exacte des équations d’Einstein permettant de décrire le comportement de l’espace-temps autour d’un objet massif en rotation3. C’est une étape décisive dans la compréhension des trous noirs. La conservation du moment cinétique d’une étoile qui s’effondre implique que le trou noir qui se forme est lui-même en rotation.

La découverte de la métrique de Kerr va inaugurer un âge d’or de l’étude des trous noirs. Leurs propriétés sont clairement établies. Elles vont permettre aux astronomes commencer leur recherche des trous noirs. C’est en 1971 que l’on observe pour la première fois un objet céleste ayant toutes les caractéristiques requises. Ce trou noir fait partie d’une étoile binaire, Cygnus X-1, qui est l’une des sources de rayons X les plus brillantes dans le ciel. Cygnus X-1 est une étoile binaire visible à l’œil nu avec des jumelles. Elle est composée d’une étoile supergéante (20 à 30 masses solaires) et d’un trou noir (7 à 13 masses solaires).

On a depuis identifié beaucoup d’autres trous noirs. On pense que la plupart des galaxies abritent en leur cœur un trou noir super-massif. C’est par exemple le cas de notre voie lactée au centre de laquelle trône Saggittarius A*, un trou noir de 4,3 millions de masses solaires !

Le franchissement de la singularité par une particule en chute libre

La relativité restreinte nous a habitués au fait que le point de vue sur les événements pouvait être différent en fonction de l’observateur. Il en va de même en relativité générale. Nous allons le vérifier dans une situation extrême : à proximité d'un trou noir. Nous allons considérer une sonde en chute libre en direction de ce trou noir et nous allons adopter successivement le point de vue de deux observateurs différents : celui d’un observateur lointain (situé asymptotiquement à l'infini) et celui d’un observateur occupant une position fixe à proximité du trou noir.

Pour déterminer l’équation du mouvement de la sonde, nous allons reprendre le raisonnement à la base… Si l’on part d’un point quelconque avec une vitesse nulle seules les coordonnées temporelle et radiale sont à prendre en compte. Dans ce cas la métrique s’écrit :

 

(1)

Les équations de conservation de l’énergie propre et de l’énergie totale d’un corps quelconque évoluant librement dans l’espace et dépourvu de moment peuvent se réécrire comme suit4 :

 

(2)

 

(3)

Il vient :

 

(4)

La sonde tombe en direction du trou noir. C’est donc la racine négative qui nous intéresse. En combinant (2) et (4) on peut écrire :

 

(5)

Le point de vue de l'observateur lointain

Comme on l’a montré dans le chapitre présentant la métrique de Schwarzschild, et sont des coordonnées que l'on peut qualifier de naturelles pour un observateur lointain (celui qui « laisse tomber » la sonde vers le trou noir par exemple). représente donc la vitesse radiale de la sonde pour cet observateur lointain. Supposons que la sonde soit lâchée sans vitesse initiale depuis un point de coordonnée . Son énergie propre s’écrit (équation 3) :

 

(6)

 

(7)

Il vient :

 

(8)

Si la sonde est lâchée depuis un point infiniment éloigné, on peut reprendre les équations qui précèdent avec K = 1 (l’énergie propre de la sonde est alors égale à son énergie de masse) :

 

(9)

 

(10)

 

(11)

Soit :

 

(11 bis)

Dans le référentiel de l’observateur lointain (c’est à dire le référentiel ) la vitesse de la sonde tend vers zéro lorsque tend vers . Ceci veut dire que, pour un observateur lointain, la vitesse de la sonde semble ralentir jusqu’à s’annuler lorsqu’elle atteint l’horizon du trou noir. L’observateur lointain ne verra donc jamais la sonde parvenir jusqu’à l’horizon. Ni lui, ni ses descendants, proches ou lointains !

Le point de vue de l'observateur fixe

Adoptons maintenant le point de vue d’un observateur fixe qui se trouve sur une plateforme située à la distance du trou noir. Le temps propre de cet observateur s’écrit :

 

(12)

Au passage à côté de la plateforme, le temps propre de la sonde est donné par l’équation (9) :

 

(9 bis)

D'où il vient :

 

(13)

On peut de la même façon écrire la relation qui relie les distances telles qu’elles sont mesurées par l’observateur fixe et l’observateur lointain :

 

(14)

La vitesse de la sonde telle qu’elle est perçue par l’observateur fixe lorsque celle-ci passe devant lui se déduit facilement de ce qui précède :

 

(15)

Soit :

 

(16)

On peut donc constater que la vitesse de la sonde mesurée par un observateur fixe à distance finie du trou noir ne tend pas vers zéro lorsque tend . Elle tend au contraire vers 1, c’est-à-dire vers la vitesse de la lumière. On ne peut pas illustrer de manière plus spectaculaire la relativité des points de vue !

Ceci conduit cependant à un paradoxe. La métrique n’est pas définie lorsque . Si la sonde approche de l’horizon des événements à la vitesse de la lumière, on peut s’attendre à ce qu’elle franchisse cet horizon. Que se passe-t-il lors du franchissement ? La théorie est-elle mise en défaut par un événement de ce type ?

Coordonnées d'Eddington-Finkelstein

Pendant une cinquantaine d’années, la métrique de Schwarzschild a été le seul outil dont disposaient les astrophysiciens pour comprendre et analyser le comportement de ces objets étranges qu’ils cherchaient à identifier avec leur télescope. Comme nous venons de le constater, l’utilisation de cette métrique conduit à un curieux paradoxe. Du point de vue d’un observateur lointain, tout corps qui s’approche de l’horizon des événements ne peut jamais l’atteindre. Il ralentit indéfiniment et semble se figer pour l’éternité. Par contre, du point de vue d’un observateur proche de cet horizon, ce corps accélère jusqu’à atteindre une vitesse voisine de celle de la lumière (voir chapitre précédent). Ces deux points de vue sont irréconciliables : est-ce la marque d’une faiblesse de la théorie ou est-ce un simple artefact de calcul ?

On attribue à Arthur Eddington le fait d’avoir, le premier, démontré qu’un changement de coordonnées permettait d’éliminer la singularité de la métrique au franchissement de l'horizon. Ce point est controversé. On associe cependant son nom à un jeu de coordonnées proposé par David Finkelstein en 1958 et qui résout ce paradoxe. Ce jeu de coordonnées est assez peu naturel mais il permet de s’affranchir du problème soulevé par la divergence de la métrique.

Le changement de coordonnées se fait en deux étapes. On définit tout d’abord une coordonnée r* baptisée coordonnée tortue :

 

(17)

Ce choix peut paraître bizarre à première vue mais il est tel que :

 

(18)

On comprend l’intérêt d’une telle transformation en écrivant la métrique avec cette nouvelle coordonnée :

 

(19)

On n’est cependant pas au bout de nos peines : la coordonnée intervient encore dans la métrique. On va procéder à un deuxième changement de coordonnées en écrivant :

 

(20)

La coordonnée n’est pas non plus très naturelle mais elle a une propriété très intéressante : les courbes telles que correspondent à des géodésiques de genre lumière dans le plan équatorial. Il est en effet facile de vérifier qu’elles sont telles que = 0. On peut même ajouter qu’elles sont associées à un photon dirigé vers le centre du trou noir.

Dans le référentiel la métrique s’écrit comme suit :

 

(21)

Comme on peut facilement le constater, cette métrique ne présente aucune singularité pour . Dans le plan équatorial, les géodésiques de genre lumière sont caractérisées quant à elles par des équations très simples :

 

pour les photons tombant vers le trou noir, que l’on appellera entrant,

 

pour les photons allant en sens inverse (sortant).

Pour un point de coordonnée radiale , ces deux valeurs déterminent la pente des droites délimitant le cône de lumière en ce point. La figure 1 montre comment le cône de lumière évolue à mesure que l’on s’approche du centre du trou noir :

  • Lorsque la pente de la géodésique « sortante » est positive et le cône est très ouvert.
  • Lorsque , la pente de la géodésique « sortante » est verticale, le cône forme un angle de 90 degrés. En fait, le photon sortant reste piégé par la surface de l’horizon des événements. Il fait du sur-place. Le photon entrant pénètre à l’intérieur de la sphère définie par l’horizon sans rencontrer aucun obstacle.
  • Lorsque la pente de la géodésique « sortante » est négative, le cône commence à se refermer. Le photon qui est supposé s’éloigner du trou noir tombe lui aussi en direction du centre. Il va cependant moins vite que son homologue entrant.

Ce simple changement de coordonnées nous donne un point de vue beaucoup plus riche sur le comportement d’un corps à proximité d’un trou noir. Ce point de vue n’est en aucune façon contradictoire avec ce que nous avons démontré dans les chapitres précédents. A l’extérieur de l’horizon des événements, il est d’ailleurs conseillé d’utiliser la métrique de Schwarzschild plutôt que celle d’Eddington-Finkelstein : elle est beaucoup plus simple à interpréter. Ce que la métrique d’Eddington-Finkelstein nous apporte, c’est la possibilité d’analyser ce qui se passe lorsqu’un corps franchit l’horizon des événements, une analyse que la métrique de Schwarzschild ne permet pas en raison de sa singularité pour .

Figure 1 : Cônes de lumière dans le plan équatorial.

Coordonnées de Kruskal-Szekeres

Martin Kruskal et George Szekeres ont proposé un autre jeu de coordonnées qui résout également le problème de la singularité de la métrique à l'horizon des événements. Ce changement de coordonnées est aussi peu naturel que celui d’Eddington-Finkelstein mais il est tout aussi efficace. Il passe par la définition des variables et définies comme suit :

 

(22)

 

(22 bis)

est la coordonnée spatiale et la coordonnée temporelle. Deux cas se présentent pour le temps :

  • Si          alors    
  • Si          alors    

La métrique associée à ces coordonnées s’écrit :

 

(23)

Il est facile de voir qu’elle ne diverge plus pour . Cette métrique est très utilisée par les astrophysiciens spécialistes des trous noirs. Le changement de coordonnées opéré est en effet basé sur le principe de la transformation conforme5, une transformation mathématique aux propriétés intéressantes. Ce changement de coordonnées permet en particulier de représenter sous la forme d’un diagramme simple le mouvement d’une particule à proximité d’un trou noir de Schwarzschild (voir la figure 2 ci-dessous : diagramme de Kruskal).

Figure 2 : diagramme de Kruskal. Disponible sur Wikimedia Commons.

Licence Creative Commons. Auteur : AllenMcC.

 

Notes

1 : Le terme anglo-saxon est black hole.

2 : La vitesse de libération est la vitesse que l’on doit communiquer à un corps pour qu’il puisse échapper à l’attraction d’une étoile.

3 : Voir le chapitre consacré à la métrique de Kerr.

4 : Voir le chapitre consacré à la trajectoire d'une particule dans la métrique de Schwarzschild.

5 : La transformation conforme est présentée en détail dans le chapitre sur le diagramme de Penrose.