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Trous noirs

Thermodynamique des trous noirs

Diagramme de Penrose

 

Transformation conforme et diagramme de Penrose

Le mathématicien britannique Roger Penrose a imaginé un diagramme qui permet de représenter l’espace-temps autour d’un trou noir ainsi que les relations causales entre deux points de cet espace-temps sous la forme d’un schéma à deux dimensions. Cette représentation, appelée diagramme de Penrose, utilise la notion de transformation conforme. La transformation conforme est une transformation mathématique qui fait partie de la classe des difféomorphismes.

La transformation conforme et les espaces conformes constituent une « boîte à outils » très puissante pour les astronomes1. Ces outils restent cependant très abstraits. Or nous avons besoin de visualiser les choses pour nous les représenter. Difficile quand il s’agit d’un espace à quatre dimensions auquel on applique une transformation d’échelle variable… Le diagramme de Penrose a le mérite de nous permettre de visualiser de manière relativement intuitive un espace conforme.

Difféomorphisme et transformation conforme

Un difféomorphisme est une transformation différentiable d’une variété dans une autre variété qui modifie l’échelle (la métrique) en chaque point. Une transformation différentiable est une transformation qui transforme une courbe continue en une autre courbe continue.

Une transformation conforme est un difféomorphisme qui conserve localement les angles :

  • Soit une variété. Soient et deux courbes de cette variété qui se coupent en . Soit l’angle que forment les vecteurs tangents aux courbes et en .
  • Soit une transformation conforme de dans la variété . Considérons les courbes images de et dans :
 

et

et se coupent au point . Si on construit les vecteurs tangents à et en , ces derniers forment un angle .

Exemple de transformation conforme : le disque de Poincaré

Le disque de Poincaré est une représentation conforme d’une nappe de l’hyperboloïde dans un disque. Une surface hyperbolique est une 2-variété de courbure négative. Soit une surface hyperbolique d’axe et d’équation :

 

(1)

Soit un point de l’axe de coordonnée négative. Quelque soit le point appartenant à , le segment coupe le plan en un point d’un disque du plan (voir figure 1). On peut montrer que cette transformation est conforme.

Dans l’exemple du disque de Poincaré (voir figure 2 ci-dessous), l’hyperboloïde, qui est une surface ouverte, est transformé en un disque qui est une surface fermée.

Figure 1 : l’hyperboloïde H est projeté sur le disque D. La transformée de la courbe C est la courbe C'.

 

Figure 2 : Figure 2 : Pavage du disque de Poincaré à partir de carrés de l’hyperboloïde2.

Transformation conforme de l’espace-temps

On peut appliquer le principe de la transformation conforme à l’espace-temps. Dans cet espace, une transformation conforme s’écrit sous une forme très simple. Soit la métrique initiale et la métrique après transformation :

 

(2)

étant une fonction continue et dérivable qui dépend du point où la transformation est appliquée.

Supposons que l’on parte d’un espace-temps à symétrie sphérique3. Soit son centre de symétrie. Les propriétés de cet espace ne dépendent que de la distance au centre de symétrie et du temps . Il en va de même pour la métrique qui le décrit :

 

 

Soit une transformation conforme de cet espace-temps dans l’espace conforme . Soit un point appartenant à défini par son abscisse temporelle et sa distance au centre de symétrie . La transformée de par est un point défini par ses coordonnées . Le centre de symétrie de l’espace est transformé en un point , centre de symétrie de .

La transformation transforme la métrique en une métrique telle que :

 

(3)

Penrose définit une classe particulière de transformations conformes de l’espace-temps en imposant à une condition particulière. Cette condition est la suivante :

  • soit la distance construite à partir de

Cette condition peut s’écrire de la manière suivante :

 

où    a une valeur finie.

(4)

Toute transformation qui vérifie l’équation (4) a pour effet de transformer un espace d’extension infinie en un espace d’extension finie.

Diagramme de Penrose

Le diagramme de Penrose est une représentation en deux dimensions de l’espace conforme généré par cette transformation4. La figure 3 donne un exemple de ce type de diagramme dans le cas de l’espace-temps de Minkowski. L’axe horizontal représente l’axe d’espace. L’axe vertical représente l’axe temporel5. Comme l’espace est de symétrie sphérique, il faut considérer chaque point du triangle comme étant représentatif d’une sphère de centrée sur .

Figure 3 : Diagramme conforme de l’espace-temps de Minkowski.

Le caractère conforme de cette représentation fait qu’un rayon lumineux en provenance du passé suit une droite inclinée à 45 degrés de la droite vers la gauche et qu’un rayon lumineux dirigé vers le futur suit une droite à inclinée à 45 degrés de la gauche vers la droite. La courbe bleue représente la trajectoire d’un objet provenant de l’infini dans le passé et se prolongeant vers l’infini dans l’avenir.

Dans le diagramme de la figure 3 ci-dessus, le point représente l’infini dans l’espace. Le point est l’infini dans le futur, le point est l’infini dans le passé. La droite est l’infini-lumière dans le futur. L’infini-lumière dans le futur est le lieu où aboutissent toutes les géodésiques dans le futur. On l’appelle infini-lumière parce qu’il a les mêmes caractéristiques qu’une géodésique de genre lumière (une droite inclinée à 45 degrés). Considérons en effet un point quelconque de l’espace-temps de Minkowski. Ce point est défini par ses coordonnées . Quels que soient et il existe dans le futur de un point de coordonnées tel que le segment MM’ soit de genre lumière. est donc lui-même de genre lumière6. La droite est l’infini-lumière dans le passé.

Particularités de la transformation conforme de Penrose

Appliquons la transformation de Penrose à un espace euclidien (donc de courbure nulle). Cet espace est caractérisé par le fait que quel que soit . La contrainte exprimée par l’équation (4) impose la condition suivante :

 

lorsque

(5)

On peut s’en convaincre facilement en faisant le raisonnement suivant : si tendait vers une valeur finie, l’équation (4) ne pourrait pas être vérifiée. En effet, l’intégrale de est égale à et tend vers l’infini lorsque tend vers l’infini.

Il découle de la condition (5) une propriété intéressante en ce qui concerne la circonférence d’un cercle centré sur l’origine et dont le rayon est croissant. Après transformation conforme, la circonférence du cercle vaut . Elle s’annule donc lorsque . Il en résulte que, dans l’espace conforme M, l’infini-espace est une sphère de circonférence nulle, un point dont l’abscisse est . Dans le diagramme de Penrose associé à , le point représente donc effectivement un point de l’espace conforme .

Dans le cas d’un univers à courbure négative, les conditions exprimées pour un espace euclidien restent valables. Par contre, les conclusions que nous avons tirées au sujet de la circonférence du cercle (ou de la sphère) associé à ne le sont plus. Dans un espace hyperbolique, la circonférence d’un cercle de rayon n’est pas égale à . Elle fait en effet intervenir un facteur exponentiel. La circonférence d’un cercle de rayon croissant après transformation conforme ne tend donc pas nécessairement vers zéro. On peut cependant choisir la fonction pour que la circonférence du cercle transformé soit finie quelque soit . C’est d’ailleurs la solution que retient Penrose. Dans ce cas, le point ne correspond pas à un point mais à une sphère de l’espace conforme .

Que se passe-t-il dans un Univers en expansion ?

Dans le cas d’un univers en expansion, le diagramme de la figure 3 n’est plus adapté. Compte tenu de l’expansion de l’univers, il existe des points de qui ne feront jamais partie du cône de causalité de à quelque moment que ce soit dans le futur. Cela se traduit par le fait que l’infini-futur est du genre espace. Il est représenté par une courbe convexe telle que la tangente en chaque point fait un angle inférieur à 45 degrés avec l’horizontale (figure 4). En pratique, l’infléchissement de la courbe représentant l’infini du futur est très faible par rapport à la droite à 45 degrés. Il est souvent négligé.

Figure 4 : Univers en expansion, l’infini-futur est de type spatial.

 

Figure 5 : Univers en expansion, l’infini-futur et l'infini passé sont de type spatial.

Qui dit univers en expansion dit aussi « Big-bang ». La courbe représentant le Big-bang est également du genre espace7 mais cette fois dans l’autre sens (figure 5).

Diagramme de Penrose d’un trou noir

Le diagramme conforme d’un trou noir de Schwarzschild est donné par la figure 6. Ce diagramme fait l’hypothèse d’un trou noir situé au centre de symétrie de l’espace-temps. Par souci de simplification, on néglige l’effet de l’expansion de l’espace et on part du diagramme de la figure 3 dont nous avons vu qu’il s’appliquait aussi bien à un espace euclidien qu’à un espace hyperbolique.

Dans le diagramme de la figure 6, la singularité centrale du trou noir est représentée par une ligne horizontale dans le futur. Toutes les lignes d’univers qui franchissent l’horizon sont en effet interceptées par cette singularité qui marque la fin des temps pour tout objet qui « tombe » dans le trou noir. L’horizon du trou noir est quant à lui représenté par une droite inclinée à 45 degrés dirigée vers la droite.

C’est logique. Un rayon lumineux émis tangentiellement à la surface de l’horizon reste prisonnier indéfiniment de cet horizon. Il continue de se propager « droit devant lui » au sens de la géodésique, et ce jusqu’à l’infini. La transformée conforme de l’horizon est donc assimilable à la transformée conforme d’une géodésique de genre lumière… c’est-à-dire à une droite inclinée à 45 degrés et dirigée vers la droite.

La courbe rouge représente la trajectoire d’un objet qui franchit l’horizon des événements. A partir de ce moment, son cône du futur est entièrement compris à l’intérieur du trou noir et cet objet ne peut pas revenir en arrière. La courbe bleue représente un objet qui échappe au trou noir et rejoint l’infini-lumière .

Figure 6 : Diagramme de Penrose d’un trou noir.

 

Figure 7 : Diagramme de Penrose d’un trou noir qui s’évapore.

Nous avons vu que les trous noirs s’évaporent et finissent par disparaître. Quel effet cela a-t-il sur le diagramme de Penrose ? La réponse est simple (voir figure 6). Puisque l’évaporation aboutit à la disparition du trou noir au bout d’un temps fini, cela se traduit par le fait que la droite bleue représentant l’horizon du trou noir ne se prolonge pas jusqu’à . Un rayon lumineux piégé par la surface finit par « reprendre sa liberté ». L’univers conforme retrouve sa configuration initiale. Sur le diagramme, son axe de symétrie temporel apparaît cependant comme étant décalé vers la droite. Le « point d’évaporation » étant confondu avec le centre du trou noir, il est à l’origine du nouvel axe de symétrie temporel. Encore un effet de la transformation conforme…

Diagramme de Penrose d’un trou noir de Kerr

Le diagramme de Penrose d’un trou noir de Kerr est représenté par la figure 8 ci-dessous. Il est beaucoup plus complexe que le diagramme de Penrose d’un trou noir de Schwarzschild. La région 1 correspond à l’espace-temps en dehors de l’horizon externe (outer horizon). La région 2 est la région comprise entre l’horizon externe et l’horizon interne (inner horizon). L’horizon externe et l’horizon interne sont de genre lumière, comme c’est le cas pour l’horizon d’un trou noir de Schwarzschild.

La région 3 est la région située au-delà de l’horizon interne. Elle est délimitée par l’horizon interne proprement dit, le symétrique de cet horizon et un segment vertical représentant la singularité annulaire. Comme nous l’avons vu dans le chapitre consacré aux trous noirs de Kerr, la singularité annulaire est « évitable », contrairement à la singularité d’un trou noir de Schwarzschild. C’est ce qu’exprime le fait que le segment est vertical. Il « ne barre pas la route » des lignes d’Univers qui traversent la région 3. Le caractère évitable de la singularité est dû au fait que les composantes et de la métrique ont, dans la région 3, le même signe que dans la région 1. Un corps qui pénètre dans cette région retrouve donc la possibilité de « manœuvrer » et d’échapper à la singularité.

En réalité, ce qui peut se passer à l’intérieur de la région 3 échappe totalement à notre connaissance. On ne peut que conjecturer la suite des événements en se basant sur les symétries des équations des géodésiques. C’est à partir de ces conjectures que sont construites les régions 4, 5, 6, 7 et 8. D’une certaine façon ce ne sont que des prolongements géométriques des régions 1, 2 et 3. Nous allons néanmoins chercher à interpréter ce qu’elles peuvent avoir comme signification physique8.

Deux options se présentent pour un corps qui a pénétré dans la région 3 : soit il franchit l’anneau et entre dans un anti-univers dans lequel la gravité est négative (région 6), soit il repasse la frontière définie par l’horizon interne dans l’autre sens. C’est cette deuxième option que matérialise l’horizon symétrique. Cet horizon symétrique n’est autre que l’horizon interne lorsqu’on le franchit dans l’autre sens (ce qui explique qu’il soit orienté de la droite vers la gauche).

Figure 8 : Diagramme de Penrose d’un trou noir de Kerr. La courbe bleue montre comment une particule peut traverser successivement les différentes régions du diagramme pour parvenir à un « autre univers ».

Un corps qui a pénétré dans la région 3 et qui en ressort se retrouve une nouvelle fois entre l’horizon interne et l’horizon externe. Il est de nouveau condamné à faire un voyage à sens unique. La différence avec la première traversée c’est que, cette fois, r est croissant. Le trou noir est devenu un trou blanc (région 4). Le corps considéré ressurgira dans un autre univers9 ou quelque part ailleurs dans notre univers (région 5). La région 3 a fait office de trou de ver10.

Figure 9 : Raccordement de deux diagrammes conformes isomorphes.

 

Un corps qui a pénétré dans la région 3 et qui en ressort se retrouve une nouvelle fois entre l’horizon interne et l’horizon externe. Il est de nouveau condamné à faire un voyage à sens unique. La différence avec la première traversée c’est que, cette fois, r est croissant. Le trou noir est devenu un trou blanc (région 4). Le corps considéré ressurgira dans un autre univers9 ou quelque part ailleurs dans notre univers (région 5). La région 3 a fait office de trou de ver10.

Prolongement d’un espace conforme

Géométriquement, rien n’empêche de prolonger un espace conforme, en tant que variété conforme, au-delà de sa frontière. Il est même tout à fait possible de « raccorder » deux espaces conformes. On peut d’ailleurs reproduire cette opération autant de fois qu’on le souhaite.

Partons par exemple des diagrammes de deux espaces conformes Mn et Mn+1 tels que définis un peu plus haut (figure 3). Penrose appelle ces espaces des éons. Géométriquement, ce ne sont que deux triangles rectangles. On peut donc les accoler comme cela est représenté sur la figure 8. Pour le moment, il ne s’agit de rien d’autre qu’un simple collage.

Pour que cette opération signifie autre chose qu’une simple juxtaposition de formes, il faut que la métrique conforme soit identique d’un éon à l’autre et il convient de se demander quelle relation doivent respecter les fonctions et qui définissent les transformations conformes associées à Mn et Mn+1. Si on peut trouver une telle relation et si elle est continue et dérivable, on pourra envisager l’éventualité que Mn et Mn+1 se « succèdent » effectivement. On pourra dès lors se poser la question suivante : est-il possible qu’un « objet » puisse passer la frontière entre ces éons ?

Penrose répond affirmativement à cette question et a construit une cosmologie de nature cyclique sur cette hypothèse (CCC : Conformal Cyclic Cosmology).

Cosmologie conforme cyclique

La cosmologie conforme cyclique est une théorie de l’éternel recommencement qui demande, pour être comprise, une sérieuse maîtrise des mathématiques. La CCC part du principe que des éons peuvent se succéder et que le prolongement géométrique de deux espaces conformes peut recouvrir une réalité physique. Le raccordement se fait sur la base d’un espace conforme du type de celui représenté par la figure 5 (univers en expansion avec Big-bang initial). Un tel raccordement est possible si les hypersurfaces et sont toutes deux de type espace et si elles sont régulières. Nous avons vu que la première condition était vérifiée. Démontrer la seconde ne pose pas de problème pour : l’Univers est alors infiniment dilué et une partie de la matière a été transformée en rayonnement par évaporation des trous noirs. Pour c’est un peu plus subtil. La démonstration s’appuie sur le fait que l’Univers a démarré à partir d’un état d’entropie minimale. Ce n’est a priori pas évident si l’on ne tient compte que du rayonnement : le fond diffus cosmologique a toutes les caractéristiques du rayonnement d’un corps noir, son entropie n’est donc pas minimale.

Elle n’est pas minimale mais elle reste extraordinairement faible. L’entropie d’un état macroscopique se calcule à partir du volume correspondant à cet état dans l’espace des phases de toutes les configurations possibles. Or la dimension de cet espace des phases est fonction du nombre de degrés de liberté existant dans l’Univers. Plus ce nombre de degrés de liberté est élevé, plus l’espace des phases est étendu (à chaque degré de liberté correspond une dimension de l’espace des phases). En particulier, la présence d’un champ gravitationnel tout comme la brisure de la symétrie du champ électrofaible introduisent des degrés de liberté supplémentaires par rapport à ceux qui suffisent à décrire le rayonnement d’un corps noir. Aux commencements de l’Univers, ces degrés de liberté ne sont pas activés. Ils n’ont pas d’impact notable sur l’organisation de l’Univers. Ceci réduit considérablement le volume que peut occuper l’état macroscopique correspondant au rayonnement primordial.

Pour bien comprendre ce que recouvre ce raisonnement, nous allons procéder analogie. Supposons que le rayonnement corresponde à un degré de liberté, l’attraction gravitationnelle à un deuxième et le champ électrofaible à un troisième. Dans ce cas, on peut se représenter l’espace des phases comme l’espace euclidien . Chacun des trois axes de cet espace représente un degré de liberté. Si l’attraction gravitationnelle n’est pas active (avant la transition de Higgs11 par exemple) et si l’interaction électrofaible n’est pas dissociée de l’interaction électromagnétique l’état macroscopique correspondant au rayonnement ne peut se trouver que sur l’axe . Le volume associé est donc infinitésimal, ce qui se traduit par une entropie minimale. Ce raisonnement est bien sûr simplifié à l’extrême : le nombre de degrés de liberté ne peut pas être réduit à 3. Il est au contraire prodigieusement élevé. Il n’en reste pas moins vrai que la non activation d’une partie de ces degrés de liberté suffit à démontrer que l’entropie est très faible.

Penrose exprime les conditions de raccordement entre éons sous une forme mathématique rigoureuse. Elles tiennent principalement à deux hypothèses : l’Univers est vide de matière au moment du Big-bang et son tenseur de Weyl est nul. Penrose associe ces hypothèses sous le terme de Weyl Curvature Hypothesis (WCH). Une fois posé le cadre géométrique de cette transition entre éons, Penrose cherche à lui donner un sens physique. Cela ne pose pas de problème en ce qui concerne le rayonnement. L’interaction électromagnétique est invariante conforme : cela signifie que les lois de l’électromagnétisme sont inchangées par une transformation conforme. Or, les photons n’ont pas de temps propre. Le temps n’a pas de prise sur eux. Autrement dit, du strict point de vue du rayonnement, il n’y a pas de différence entre un espace décrit par une métrique einsteinienne et un espace conforme du type de celui de la figure 5. L’infini temporel et l’infini dans l’espace ne sont dès lors que des surfaces que peuvent traverser les ondes électromagnétiques12.

La situation est différente pour les champs de masse. Si l’on peut admettre aisément que l’Univers est parti d’une configuration dans laquelle toutes les particules étaient sans masse (en particulier avant la transition de Higgs) cela ne semble pas être le cas dans le futur. C’est le genre de difficulté qui n’arrête pas Penrose. Il fait tout d’abord remarquer que les multiples trous noirs qui peuplent l’Univers absorberont une partie de la matière existante. Cette matière finira donc sous forme de rayonnement de Hawking. Le reste sera infiniment dilué. Penrose suggère même que la matière résiduelle pourrait disparaître. Rien ne permet en effet d’affirmer que les particules massives sont stables même si les mesures actuelles tendent à prouver que leur durée de vie dépasse très largement les 1033 années.

Voici une deuxième étape franchie dans la démonstration de Penrose. Il reste la dernière et la plus importante. Le passage d’un éon au suivant se fait en effet au prix d’un changement radical d’échelle. Il nous faut en effet raccorder un espace infiniment dilué, l’espace-temps au voisinage de , à un espace-temps terriblement concentré, celui des premiers instants après le Big-bang. Ceci s’exprime de la manière suivante :

  • Soit la métrique d’Einstein dans l’éon et sa transformée conforme,
  • Soit la métrique d’Einstein dans l’éon et sa transformée conforme,

Pour que les champs sans masse puissent traverser la frontière entre éons il faut que les métriques et soient identiques :

 

 

Appelons le facteur conforme13 qui fait passer de à et celui qui fait passer de à :

 

et

(6)

Il est facile de voir que :

 

au voisinage de   

 

au voisinage de   

Il y a donc un « renversement » d’échelle à la transition entre éons ! Ce renversement d’échelle doit par ailleurs respecter certaines contraintes relatives à la continuité du tenseur de Weyl lors de la transition entre éons. Ces contraintes imposent que le facteur conforme ait un certain profil. En particulier, si l’on représente sur la seule dimension du temps conforme, on en vient à démontrer que la dérivée ne s’annule pas à la transition. Ceci conduit à une valeur est négative de dans l’éon !

Figure 10 : Evolution du facteur conforme au passage de .

Résumons : le facteur conforme tend vers zéro à mesure que l’on approche de et il est négatif en deçà. Or, dans l’éon précédent est bien sûr positif et tend vers l’infini. Il est pourtant logique de penser que et sont les solutions d’une même équation : il serait surprenant que les lois qui s’appliquant à deux éons successifs soient différentes.

Roger Penrose est un mathématicien hors pair. Il se sort de ce mauvais pas en introduisant une équation différentielle dont et sont solutions. Soit la forme différentielle définie comme suit :

 

(7)

est régulière au passage de . Elle est également invariante conforme dans la transformation :

 

 

C’est précisément la propriété dont nous avons besoin pour passer de l’espace conforme associé à l’éon à l’espace conforme associé l’éon !

Nous voilà tout près du but. La dernière étape consiste à déterminer les facteurs conformes et et voir quel sens physique on peut leur donner. A ce sujet, Penrose fait remarquer que le facteur conforme peut être vu comme un champ scalaire. Par définition, un champ scalaire est une fonction qui a une valeur scalaire en chaque point, ce qui est le cas pour . Penrose appelle ce champ. En s’appuyant sur l’équation d’Einstein, il montre que ce champ est de trace nulle (donc sans masse) et qu’il est lui aussi invariant conforme. Il peut donc traverser la surface . Dans la métrique einsteinienne ce champ est égal à 1 (Penrose dit de lui que c’est un champ fantôme). Il ne prend tout son sens que dans l’espace conforme.

Dans cet espace conforme, le tenseur énergie-impulsion de représente très logiquement l’énergie et l’impulsion de tous les champs sans masse existant (ceci découle directement du fait qu’il est égal à 1 dans la métrique associée à ces champs). C’est ce champ qui traverse la surface et qui se retrouve dans l’éon . C’est à lui que s’applique l’inversion décrite par l’équation (7). Penrose démontre que les conditions qui conduisent à cette inversion font que le champ acquiert une masse peu de temps après la transition. Il en conclut que c’est précisément ce champ qui est à l’origine du champ de Higgs.

La démonstration de Penrose est brillante. Elle laisse malheureusement au bord du chemin bon nombre de lecteurs (moi le premier) tant elle est ardue. Mais tout comme la théorie des cordes et la gravité quantique à boucles, elle ouvre des perspectives vertigineuses qui transportent le lecteur et le laissent dans un état d’euphorie quasi extatique…

Qui a fit que la science ne pouvait pas faire rêver ?

 

Notes

1 : Le temps cosmique est une autre application du principe de la transformation conforme.

2 : Image Wikimedia, User : Jean-Christophe Benoist.

3 : C’est le cas en particulier de l’espace-temps décrit par la métrique de Schwarzschild.

4 : Au prix de l’abandon des coordonnées .

5 : Dans ce qui suit, on l’appelle aussi axe de symétrie. A chaque instant, il y a symétrie de l’espace autour du point représentant cet instant sur cet axe.

6 : Ce raisonnement n’est pas valable si l’Univers est en expansion, auquel cas ce n’est pas à proprement parler un espace-temps de Minkowski.

7 : Penrose représente la singularité du Big-bang par une ligne en zigzag.

8 : Le mot doit être employé avec beaucoup de précautions : la symétrie d’une équation ne correspond pas nécessairement à une solution physique de cette équation.

9 : En traversant un horizon symétrique de l’horizon externe.

10 : Un trou de ver (wormhole en anglais) est un configuration particulière de l’espace-temps qui connecte deux régions éloignées de celui-ci. Le trou de ver est une sorte de raccourci topologique entre ces deux régions. Contrairement à ce que l’on peut voir dans les films de science-fiction, le trou de ver est à sens unique : son point d’entrée est un trou noir et son extrémité un trou blanc. Le trou de ver est considéré aujourd’hui comme une curiosité mathématique. Il correspond à une solution de l’équation d’Einstein mais le tenseur énergie-matière auquel cette solution conduit est si particulier qu’il est douteux qu’elle puisse correspondre à une réalité physique. L’existence des trous de ver a été suggérée par Albert Einstein et son assistant Nathan Rosen en 1935.

11 : En dessous d’une certaine température, le couplage avec le champ de Higgs confère une masse aux bosons et de l’interaction électrofaible, ce qui les différencie du photon et entraîne ce que les physiciens appellent une brisure de symétrie.

12 : Il en va de même pour les champs de Yang-Mills qui décrivent l’interaction faible et l’interaction forte avant la transition de Higgs.

13 : Il s’agit des facteurs conformes associés aux transformées conformes inverses de celles qui font passer de l’espace-réel à l’espace conforme. Ceci n’a pas d’importance : l’inverse d’une transformation conforme est aussi une transformation conforme.