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L’analyse des trous noirs est restée longtemps tributaire de la métrique de Schwarzschild ou de sa version améliorée, la métrique de Kruskal-Szekeres. (La métrique de Kruskal-Szekeres permet de s’affranchir des problèmes de divergence au franchissement de l’horizon des événements.) Ces métriques, au demeurant fort utiles, ne sont pas entièrement satisfaisantes. Elles s’appliquent à un trou noir immobile (c’est-à-dire dépourvu de moment d’inertie). Elles ne sont donc pas représentatives de la majorité des trous noirs : en s’effondrant sur elle-même, une étoile conserve son moment d’inertie. Il était donc indispensable de disposer d’une métrique prenant en compte ledit moment d’inertie.

C’est un mathématicien néo-zélandais, Roy Patrick Kerr, qui découvrit en 1963, une solution exacte des équations d’Einstein permettant de décrire le comportement de l’espace-temps autour d’un trou noir en rotation. Cette solution a révolutionné l’étude des trous noirs. Elle a ouvert un véritable âge d’or dans cette discipline. La métrique sur laquelle elle repose est aujourd’hui appelée métrique de Kerr.

Métrique de Kerr

Soit un trou noir de masse M en rotation et soit J son moment d’inertie.

La métrique de Kerr qui décrit l’espace-temps autour de ce trou noir s’exprime de la manière suivante1 :

 

(1)

avec :

 

(2 a)

 

(2 b)

 

(2 c)

 

(2 d)

Le paramètre représente le moment cinétique du trou noir2. Si le trou noir est immobile, = 0 et on retrouve la métrique de Schwarzschild. Le moment cinétique maximum est atteint lorsque . On parle alors de trou noir extrême (ou extrémal).

On rencontre aussi la formulation suivante :

 

(1 bis)

avec :

 

(2 e)

Comme dans le cas de la métrique de Schwarzschild, les coordonnées et peuvent être assimilées aux coordonnées sphériques vues par un observateur lointain.

Le tenseur métrique est quasi diagonal. Il ne comporte que deux termes (symétriques) non diagonaux qui couplent la coordonnée temporelle et la coordonnée angulaire :

 

(4)

 

(3 bis)

Sous leur forme contravariante, les composants du tenseur s’écrivent :

 

(4)

 

(4 bis)

Dans la suite, pour simplifier les écritures, nous choisirons les unités en sorte que .

Horizon des événements

Considérons tout d’abord le terme du tenseur. Il change de signe lorsque = 0 , c’est-à-dire pour tel que :

 

(5)

Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à la plus grande de ces deux valeurs :

 

(6)

Ce rayon joue un rôle très similaire à celui que joue le rayon de Schwarzschild dans le cas d’un trou noir dépourvu de moment d’inertie : il définit lui aussi un horizon des événements. L’autre solution de l’équation est masquée par cet horizon. En effet, si définit bien un horizon des événements, ce que nous allons démontrer, la surface définie par la seconde solution est invisible à tout observateur extérieur.

L’analogie avec la métrique de Schwarzschild n’est pas parfaite. Le terme ne tend pas vers l’infini et ne change pas de signe au franchissement de cet horizon. Puisque = 0, on a en effet :

 

(7)

En fait change de signe pour une valeur de . Nous étudierons cette particularité de la métrique de Kerr plus tard. Pour le moment, nous allons nous contenter de démontrer que la surface définie par = 0 constitue bien un horizon des événements.

Dans le chapitre sur la métrique de Schwarzschild, nous avons démontré que l’horizon des événements était une surface de genre lumière. Une surface définie par l’équation est de genre lumière si le quadrivecteur normal à cette surface a une norme nulle en tout point de cette surface. Le quadrivecteur normal est défini par :

 

(8)

La norme de ce vecteur s’écrit :

 

(9)

Appliquons ce qui précède à la surface définie par . Le vecteur normal à cette surface est de la forme :

 

(10)

La norme du vecteur normal à cette surface s’écrit donc :

 

(8 bis)

La norme de tout vecteur normal à la surface définie par l’équation = 0 est donc nulle. Tout vecteur normal à cette surface est de genre lumière et la surface est elle-même de genre lumière. Ceci démontre qu’elle constitue bien un horizon des événements pour le trou noir en rotation. A l’intérieur de cet horizon, tout comme à l’intérieur de l’horizon des événements d’un trou noir de Schwarzschild, le paramètre temporel est de genre espace (voir équation 7) et le paramètre de genre temps. Tout objet (ou rayon) qui franchit l’horizon suit une ligne d’univers telle que évolue toujours dans le même sens : à l’intérieur de l’horizon, le paramètre joue un rôle analogue à celui joué par le paramètre le long d’une ligne d’univers à l’extérieur du trou noir.

Ellipsoïde de révolution

A première vue, on serait tenté d’assimiler la surface qui délimite l’horizon à une sphère. Ce n’est pas légitime. Considérons l’expression de la métrique sur cette surface. Elle s’écrit :

 

(11)

Il s’agit d’une surface de révolution. En effet, dans tout plan tel que = cte la métrique devient :

 

(11 bis)

Considérons l’ellipse définie de la manière suivante :

 

et

 

La distance entre deux points de cette ellipse peut se formuler comme suit :

 

 

Les similitudes entre l’équation qui précède et l’équation (11-bis) sont évidentes. L’équation de cette ellipse peut donc s’écrire de la façon suivante :

 

 

Cette formule peut s’étendre à celle qui définit un ellipsoïde de révolution autour de l’axe :

 

 

La métrique à la surface de cet ellipsoïde est assez voisine3 de celle donnée par la formule (11).

On démontre de la même façon que les surfaces définies par l’équation = cte ne sont pas cônes mais des hyperboloïdes. Une sphère qui est un ellipsoïde, un cône qui est un hyperboloïde... Qu’elle est cette nouvelle diablerie ?

Il n’y a en fait rien de mystérieux à cela. N’oublions pas que les coordonnées et ne jouent pas tout à fait le même rôle que les coordonnées sphériques auxquelles nous sommes accoutumées en géométrie euclidienne. Dans l’espace-temps courbe de la relativité générale, ce ne sont que des paramètres qui permettent de formuler la métrique. Il se trouve que pour un observateur lointain elles se confondent avec des coordonnées sphériques mais à proximité de la singularité ce n’est pas le cas. La perception de son voisinage par un observateur situé à proximité d’un trou noir de Kerr est entièrement conditionnée par les caractéristiques de la métrique. Les coordonnées et n’ont alors plus rien de sphériques et les surfaces définies par l'équation = cte sont bien des ellipsoïdes.

Lorsque , il y a dégénérescence de l’ellipsoïde qui devient un disque plan de rayon . Autrement dit, le « point » de coordonnée est un disque ! La métrique présente des propriétés tout à fait particulières au voisinage de ce disque :

  • Elle est régulière dès lors que . Il est donc possible de traverser le disque sans rencontrer de singularité.
  • Elle est par contre singulière si on parvient au disque par le plan équatorial. On retrouve alors le même type de singularité à l’origine que dans le cas de la métrique de Schwarzschild4.

Ce point sera discuté de manière plus approfondie à la fin de ce chapitre.

Ergosphère

Intéressons-nous maintenant au composant Du tenseur. Nous avons vu qu’il avait un comportement différent de son homologue dans la métrique de Schwarzschild. Le signe de dépend en effet de celui de l’équation :

 

(12)

Cette équation admet deux racines. L’une est plus petite que et donc sera invisible à tout observateur extérieur. L’autre racine est définie comme suit :

 

(13)

est négatif lorsque < et positif au-delà.

Concrètement, définit un volume ellipsoïde qui tangente la surface de l’horizon des événements aux pôles. Ce volume porte le nom d’ergosphère. La surface qui le délimite est appelée surface limite de stationnarité.

Que se passe-t-il lorsqu’un corps franchit la limite de l’ergosphère ? Quelle est la signification physique du changement de signe de ? Pour comprendre ce qui se passe, considérons le cas d’un photon émis dans une direction définie par le vecteur depuis un point quelconque de l’espace-temps. Ce photon suit une géodésique de genre lumière. On peut donc écrire au point considéré :

 

(14)

La vitesse de ce photon dans le référentiel d’un observateur lointain s’écrit :

 

(15)

Dans l’équation qui précède le signe du second terme au numérateur est déterminé par le sens du vecteur . Les deux valeurs ci-dessus correspondent à la vitesse d’un photon émis dans le sens horaire et à celle d’un photon émis dans le sens antihoraire.

Ceci conduit à un résultat tout à fait étonnant : lorsque est nul, si le photon est émis dans le sens adéquat à partir de l’ergosphère, il apparaît comme étant immobile dans le repère de la métrique ! Comme un photon se déplace nécessairement à la vitesse de la lumière, cela signifie que l’espace-temps lui-même tourne autour du trou noir : c’est la seule explication possible à l’apparente immobilité de ce photon pour un observateur lointain. On exprime cela en disant que le trou noir entraîne l’espace-temps dans sa rotation.

Cette mise en rotation de l'espace-temps a une autre conséquence : aucune particule massive ne peut rester immobile à la surface ou à l’intérieur de l’ergosphère5. En effet, un photon ne peut pas rester immobile par rapport à un corps massif. Cela signifierait que ce corps se déplace lui-même à la vitesse de la lumière !

Cette propriété peut sembler déroutante à première vue. Elle n'est en fait que la traduction d'un phénomène de même nature que celui qu’on constate au franchissement de l’horizon des événements d’un trou noir de Schwarzschild. A l’horizon d’un trou noir de Schwarzschild, un photon émis en direction de l’extérieur semble se figer et faire du surplace. Nous avions interprété ce phénomène en disant que le paramètre radial changeait de genre et devenait de genre temps. En échange, le paramètre temporel devenait de genre espace. Cette formule imagée signifiait que le paramètre radial ne pouvait désormais évoluer que dans une seule direction : vers le centre du trou noir. Dans le cas du trou noir de Kerr, le même type d’interversion se produit à l’intérieur de l’ergosphère, mais cette fois entre le paramètre temporel et le paramètre angulaire. C’est le paramètre angulaire qui devient de genre temps : il ne peut plus évoluer que dans le sens de rotation du trou noir ! De façon très prosaïque, on pourrait dire qu'à proximité de l’horizon, l’espace-temps agit comme « un tapis roulant ». Dans le cas d'un trou noir de Schwarzschild, ce tapis roulant entraine toute particule vers le centre. Dans le cas d’un trou noir en rotation, cet effet « tapis roulant » agit d'abord de façon tangentielle et ceci dès qu’on franchit la limite de l’ergosphère.

L'effet d'entraînement de l'espace-temps par un corps en rotation porte le nom d'effet Lense-Thirring6. Il a été vérifié expérimentalement par la mission spatiale Gravity Probe B lancée en 2004.

Rotation de l’espace-temps

Pour y voir plus clair, nous allons étudier le mouvement d’une particule libre à proximité d’un trou noir en rotation. Comme nous l’avons vu dans le chapitre consacré aux équations du mouvement dans la théorie de la relativité générale, on peut écrire ces équations du mouvement au moyen du lagrangien relativiste :

 

et

(16)

Appliquons cette équation à la coordonnée angulaire . ne dépend pas directement de :

 

(17)

On peut donc écrire :

 

(18)

Cette équation exprime la conservation de l’impulsion de la particule par rapport à la coordonnée . Pour un corps (ou un photon) qui part avec une impulsion nulle par rapport à on peut donc écrire :

 

c'est à dire :

(19)

avec :

 

(20)

On retrouve bien le résultat exposé précédemment. Tout corps qui tombe en direction du trou noir est irrémédiablement entraîné dans un mouvement de rotation autour de celui-ci.

Considérons maintenant le cas d’un corps quelconque dont la quadrivitesse à un instant donné est :

 

avec :

 

Au voisinage du point où se situe ce corps, la métrique dans la direction de s’écrit de la manière suivante :

 

(21)

... ce qui peut se reformuler comme suit :

 

(21 bis)

Dans le cas d’une particule massive, la quantité est nécessairement positive. Elle est nulle s’il s’agit d’un photon. Ceci impose certaines conditions sur . Ces conditions peuvent être déduites de l’analyse du polynôme du second degré défini comme suit :

 

(22)

Le discriminant de ce polynôme s’écrit :

 

(23)

En développant cette expression on obtient :

 

(23 bis)

Le signe du discriminant du polynôme ne dépend donc que de celui de . On peut vérifier facilement qu’il est positif lorsque . Cela signifie que, pour un observateur lointain, la vitesse angulaire de tout corps en orbite autour du trou noir à l’intérieur de l’ergosphère est obligatoirement comprise entre les deux racines du polynôme :

 

(24)

Les deux racines de ce polynôme correspondent à la vitesse de la lumière dans le sens horaire et dans le sens antihoraire. On retrouve ici l’idée selon laquelle l’espace-temps est entraîné par le trou noir dans sa rotation. Pour un observateur lointain, cela se traduit par le fait que deux photons s’éloignant l’un de l’autre semblent se propager dans la même direction.

On peut d’ailleurs réécrire la métrique de la manière suivante :

 

(25)

Tout se passe en fait comme si on avait un référentiel « tournant » à une vitesse :

 

(26)

La figure 1 ci-dessous montre l’intervalle des vitesses que peut prendre une particule à l’intérieur de l’ergosphère.

Figure 1 : Intervalle des vitesses à l’intérieur de l’ergosphère.

Les courbes bleue et rouge correspondent aux deux valeurs extrêmes (c’est-à-dire à la vitesse de la lumière dans un sens et dans l’autre). La courbe verte en pointillé donne la vitesse de rotation de l’espace-temps. En dehors de l’ergosphère, l’effet d’entraînement de l’espace-temps se fait encore sentir mais la vitesse angulaire d’une particule peut être nulle, voire négative. Cette particule peut donc tourner dans un sens opposé à celui du trou noir. A l’intérieur de l’ergosphère, la vitesse ne peut pas être nulle et elle est nécessairement dans le même sens que celle du trou noir. Lorsque la particule atteint l’horizon des événements sa vitesse angulaire est égale à .

Cônes de lumière

On peut illustrer les effets de la mise en rotation de l’espace-temps autour du trou noir en matérialisant le déplacement des photons au moyen de leurs cônes de lumière. Pour visualiser ces cônes, nous allons faire abstraction de la coordonnée d’espace . Nous ne nous intéresserons qu’au mouvement des photons dans le plan équatorial. Nous allons utiliser la troisième coordonnée pour matérialiser la variable temporelle. L’espace dans lequel nous allons travailler est donc l’espace .

Dans le plan équatorial, l’équation des géodésiques d’un photon s’écrit :

 

(27)

avec :

 

et

(28)

Ceci permet de réécrire l’équation ci-dessus en éliminant et :

 

(29)

Analysons l’évolution des cônes de lumière. Au vu de l’équation (29), cette évolution n’a aucune raison d’être identique si on la considère dans le plan radial ou si on la considère dans le plan transverse .

Commençons par le plan radial, c’est-à-dire par le plan . La tangente de l’angle que forme un cône avec l’axe temporel s’obtient en annulant dans l’équation des géodésiques ci-dessus :

 

(30)

On constate que l’axe du cône reste aligné avec l’axe temporel. On constate également que le cône de lumière s’aplatit progressivement à mesure que l’on s’approche de la surface = 0. Le cône se referme complètement lorsque l’on atteint cette surface. Pas de différence avec la métrique de Schwarzschild dans ce plan.

Dans le plan transverse, c’est à dire dans le plan , les choses se passent différemment. L’équation qui définit les droites d’intersection du cône avec ce plan s’obtient en annulant dans l’équation des géodésiques :

 

(31)

Lorsque (c’est-à-dire à la limite de l’ergosphère) il vient :

 

(32)

Cette équation admet deux solutions :

 

et

(33)

Cette fois, la symétrie par rapport à l’axe temporel n’existe plus. L’axe du cône a basculé dans le sens de rotation du trou noir.

Figure 2 : Basculement du cône de lumière à proximité de l’ergosphère.

La figure 2 ci-dessus illustre cette analyse. Elle s’interprète comme suit. La première rangée représente les cônes de lumière dans un espace à trois dimensions . Le plan horizontal est le plan équatorial et l’axe vertical est l’axe temporel.

Les ellipses et les croix de la deuxième rangée représentent la projection des cônes de lumière sur le plan équatorial. La croix est le point d’émission du photon. L’ellipse représente symboliquement la position du photon dans le plan équatorial au bout d’un intervalle de temps donné. (Cette représentation est symbolique : la notion de cercle ou d’ellipse est quelque peu malmenée par la métrique de Kerr.) Dans cette représentation en projection, le sens de rotation correspond à l’axe horizontal et la verticale est l’axe radial. Toutes les analyses sont menées du point de vue d’un observateur lointain.

Figure 2-a : le point d’émission du photon est loin du trou noir. Le cône de lumière n’est pas affecté.

Figure 2-b : le point d’émission est un peu plus proche. Le cône commence à basculer. En projection, le cercle est décalé dans le sens de rotation du trou noir : les photons émis dans cette direction vont plus loin que ceux émis à contre-sens.

Figure 2-c : le point est situé à la limite de l’ergosphère. Le cône de lumière tangente l’ergosphère : le point d’émission est sur le cercle, un photon émis à contre-sens reste sur place (du point de vue d’un observateur lointain). Les photons ne peuvent se déplacer que dans le sens de rotation mais ils peuvent toujours s’éloigner du trou noir (aller vers le haut dans la représentation en projection).

Figure 2-d : le point est situé à l’intérieur de l’ergosphère. Tous les photons sont entraînés dans le même sens par la rotation de l’espace-temps. Les photons ont de plus en plus de difficultés à s’éloigner du trou noir. Une fois franchi l’horizon des événements le cercle sera tout entier compris à l’intérieur de cet horizon. Plus aucun photon ne pourra s’échapper.

Sortir de l’ergosphère

Le franchissement de la surface de l’ergosphère ne doit pas être vu comme un aller sans retour comme c’est le cas pour l’horizon des événements.

Revenons l’équation (29). Pour un point situé sur l’ergosphère on peut l’écrire sous la forme :

 

soit :

(34)

Une particule pouvant évoluer librement à l’intérieur de son cône de lumière, on voit donc qu’il lui est possible de se déplacer radialement dans les deux sens : se rapprocher du trou noir ou s’en éloigner. Il en va de même à l’intérieur de l’ergosphère () :

 

(35)

Une analyse plus précise de l’équation qui précède montre néanmoins que l’intervalle des déplacements possibles selon l’axe radial se réduit. Il s’annule lorsqu’on atteint la surface = 0.

Tant qu’on part d’un point extérieur à cette surface, les valeurs positives de sont donc permises. Ceci démontre qu’il est possible de construire de proche en proche une trajectoire qui permette à une particule qui se trouve à l’intérieur de l’ergosphère de s’en échapper.

Remarque : l’équation (35) semble montrer qu’une particule qui atteint l’horizon des événements se fige sur cet horizon. Tout comme dans le cas de la métrique de Schwarzschild, ce genre de raisonnement doit être manié avec précaution. Il représente le point de vue d’un observateur lointain. Comme dans le cas de la métrique de Schwarzschild, l’horizon des événements semble infranchissable à cet observateur. On peut montrer en faisant un changement de coordonnées adéquat que ce n’est pas le cas si l’on se place du point de vue d’un autre observateur. L’horizon peut être franchi par un corps quelconque.

Horizons multiples

Revenons à la structure interne d’un trou noir de Kerr. Nous avons vu qu’elle était caractérisée par deux types de surface :

  • L’horizon des événements correspond à la solution de l’équation = 0 , c’est-à-dire au changement de signe du composant de la métrique;
  • La surface limite de stationnarité correspond à la solution de l’équation , c’est-à-dire au changement de signe du composant .

Ces équations admettent deux solutions dans les deux cas. Nous avons donc affaire à 4 surfaces qui s’emboîtent l’une dans l’autre et qui sont définies par une équation de type = cte . Les quatre valeurs de ces constantes sont définies comme suit :

 

(36)

Nous avons montré par ailleurs qu’il existait au cœur du trou noir un disque qui constituait une singularité lorsqu’on l’abordait par le plan équatorial.

Figure 3 : Trou noir de Kerr, horizons, surface de stationnarité et singularité.

Les quatre surfaces mentionnées ci-dessus permettent de définir 5 régions7 :

Voyage au centre d’un trou noir

Il est frappant de voir que la métrique redevient complètement régulière lorsque . Il est donc possible de « voyager » à l’intérieur de cette région du trou noir comme on peut le faire à l’extérieur de celui-ci. La seule contrainte à respecter est d’éviter le disque défini par .

On peut dès lors se demander ce qui se passe si l’on franchit l’horizon interne à partir de cette région. Du strict point de vue des équations, c’est tout à fait possible. On peut montrer qu’il y a symétrie entre une courbe d’univers orientée vers le futur que l’on pourrait qualifier d’entrante et une courbe d’univers orientée vers le futur que l’on pourrait qualifier de sortante. Le déplacement entre les deux horizons se fait toujours à sens unique… mais cette fois dans l’autre sens. Ceci conduit inéluctablement à ressortir de l’horizon extérieur. Si un tel voyage est possible, rien ne permet de penser que l’on ressort au même endroit, ni même dans le même Univers. Il n’y a pas de lien entre les coordonnées avant et après. Dans ces conditions, on peut considérer que la région intérieure du trou noir agit comme un trou de ver8 : un raccourci à travers l’espace-temps qui permet de passer d’une région de l’Univers à une autre ou d’un Univers à un autre. Le trou noir de Kerr serait alors connecté à un trou blanc. Notons au passage que l’on n’a jamais détecté aucun trou blanc dans l’Univers qui nous entoure. La symétrie sur laquelle nous nous sommes basés pour évoquer l’existence d’un trou de ver est une propriété mathématique des équations, rien ne dit qu’elle corresponde à une réalité physique9.

Anti-univers

Le diagramme de Penrose d’un tour noir de Kerr met en évidence une autre particularité de la métrique. Nous avons vu que la métrique de Schwarzschild était singulière pour . Or, ce n’est pas nécessairement le cas de la métrique de Kerr. En effet, lorsque et , on voit que :

 

et

 

Il vient pour :

 

(37)

Il y a donc continuité de la métrique. Il est tout à fait envisageable de prolonger les géodésiques au-delà de dans un espace-temps tel que . Rappelons que les points caractérisés par forment un disque de rayon . Toute géodésique traversant ce disque avec un angle pénètre dans un « espace-temps négatif » : un anti-Univers dans lequel la gravité est répulsive !

Cet espace-temps a des propriétés pour le moins bizarres. Considérons en effet les lignes d’Univers telles que :

 

 

La métrique au long de ces lignes d’Univers s’écrit :

 

(38)

Ces courbes sont de genre espace si > 0. Supposons par contre que l’on ait franchi la limite séparant l’espace-temps positif de l’espace-temps négatif. Dans ce cas, si est petit devant la métrique peut s’écrire :

 

(38 bis)

étant négatif et petit devant , la courbe résultante est de genre temps ! Il est donc possible de parcourir une boucle temporelle en faisant varier de 0 à 2π. Il reste à démontrer qu’il est possible de pénétrer dans un espace-temps négatif… Il s’agit une fois de plus d’une conjecture permise par les équations mais qui n’a sans doute aucune réalité physique.

Singularité nue

Nous avons fait l’hypothèse, tout au long de ce chapitre, que . On peut imaginer que ce n’est pas nécessairement le cas. Lorsque , l’équation = 0 n’a pas de solution et la quantité est toujours positive. Il n’y a pas de singularité et conserve le même signe. Ceci signifie que le disque défini par n’est pas caché derrière un horizon des événements. Or, ce disque présente une singularité pour . On dit de cette singularité qu’elle est nue.

Ceci signifie également que la surface définie par l’équation qui correspond au changement de signe de ne recouvre pas complètement le disque . Il existe en effet des valeurs de pour lesquelles cette équation n’admet pas de solution. On peut donc atteindre ce disque en un temps fini dans le référentiel d’un observateur lointain.

Trou noir en rotation chargé électriquement

La métrique de Kerr-Newman est associée à un trou noir de masse , de moment cinétique et de charge non nulle. La formule de la métrique de Kerr-Newmann s’obtient à partir de celle de la métrique de Kerr en corrigeant le coefficient comme suit :

 

(39)

La présence d'une charge a donc pour seul effet de "déplacer" la surface de l'horizon des événements. Tout comme dans le cas d'un trou noir de Reissner-Nordström10 on considère que la charge est faible par rapport aux autres grandeurs caractérisant le trou noir. La charge d'une étoile qui s'effondre sous la forme d'un trou noir est globalement neutre.

Très logiquement, la métrique de Kerr-Newmann se réduit à la métrique de Kerr lorsque = 0. On remarquera également qu’elle se réduit à la métrique de Reissner-Nordström lorsque = 0.

La métrique de Kerr-Newman a été découverte par Ezra Newman en 1965. C'est la forme la plus générale des solutions de l'équation d'Einstein pour une métrique à symétrie sphérique.

 

Notes

1 : Les coordonnées sont appelées coordonnées de Boyer-Lindquist.

2 : Le moment cinétique du trou noir est égal à . Il peut être interprété comme le moment d’un anneau de masse et de rayon dont la vitesse tangentielle est . Cette interprétation est purement illustrative : elle est basée sur des formules de mécanique classique que l’on applique en dehors de leur domaine de validité.

3 : L’équation (11) comporte un terme qui fait intervenir et dont ne rend pas compte l’approximation par un ellipsoïde.

4 : A ceci près que la singularité au centre d’un trou noir de Schwarzschild est de genre espace (puisque le paramètre temporel t à l’intérieur de l’horizon est de genre espace) alors que celle associée au disque de Kerr est de genre temps (puisque le paramètre temporel est de genre temps).

5 : C’est la raison pour laquelle cette surface est appelée surface limite de stationnarité.

6 : Cet effet d’entraînement de l’espace-temps par un objet en rotation a été prédit par les physiciens Josef Lense et Hans Thirring dès 1918.

7 : Dans la littérature anglo-saxonne, la surface définie par est appelée outer horizon et celle définie par inner horizon. Le disque est appelé ring singularity.

8 : L’existence des trous de ver (wormhole en anglais) a été suggérée pour la première fois par Albert Einstein et Nathan Rosen en 1935 (pont d’Einstein-Rosen).

9 : De plus, comme nous l’avons mentionné dans le chapitre sur les trous noirs de Schwarzschild, l’espace-temps à proximité de la singularité est probablement agité par des fluctuations chaotiques, ce qui le rend très instable (conjecture BKL).

10 : Métrique associée à un trou noir de masse M et de charge Q dépourvu de moment cinétique. Voir le chapitre consacré à la métrique de Schwarzschild.