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Jean-Pierre Luminet a publié en 1979 un article dans lequel il analyse l’apparence d’un disque d’accrétion autour d’un trou noir pour un observateur lointain. Cette analyse est basée sur les calculs présentés en annexe du chapitre sur la trajectoire d’un photon1 dans la métrique de Schwarzschild et, en particulier sur les équations suivantes :

 

(1)

avec :

 

(2-a)

 

(2-b)

 

(2-c)

 

(2-d)

étant l’intégrale elliptique complète et l’intégrale de première espèce :

  et :

(3)

On trouve en annexe les conditions de validité de ces équations en fonction de la valeur du périastre . La condition

 

(4)

suffit généralement à garantir cette validité. C’est aussi la condition d’existence d’une orbite stable pour un photon autour d’un trou noir. On démontre également que et sont des fonctions monotones de . On remarquera par ailleurs que :

 

(5)

puisque est, par définition, le périastre de la trajectoire.

Image lointaine d’un disque d’accrétion en rotation autour d’un trou noir de Schwarzschild

Revenons au problème qui nous préoccupe : l’image d’un disque d’accrétion en rotation autour d’un trou noir.

Considérons tout d’abord une particule appartenant au disque d’accrétion. Nous allons chercher à caractériser la trajectoire d’un photon émis par cette particule dans la direction d’un observateur lointain. Dans ce qui suit nous ferons les hypothèses suivantes :

  • Le disque d’accrétion se trouve dans le plan XOY. L’axe OZ est l’axe polaire du système constitué par le trou noir et le disque d’accrétion.
  • Les coordonnées de l'observateur lointain O' sont
  • Les coordonnées de la particule émettrice sont .
  • b est le paramètre d’impact du photon qui parvient à l’observateur lointain.

Figure 1 : système de coordonnées.

On procède tout d’abord à un changement de référentiel en faisant pivoter le repère OXYZ d’un angle autour de l’axe OX de façon à pointer OY' en direction de l’observateur lointain. La trajectoire du photon émis par la particule et qui parvient à l’observateur lointain appartient au plan OO’X’=OO’M qui fait un angle π/2 - α avec le plan OXY’.

Soit l’angle . Un peu de trigonométrie en coordonnées sphériques conduit à écrire les relations suivantes :

 

(6)

 

(7)

Il y a donc une relation directe entre la valeur de α et le couple tout comme il y a une relation directe entre la valeur de et le couple . Analysons l’évolution de α et avec .

Lorsque est nul (sur la figure 1, cela correspond à l’intersection de la sphère avec l’axe ) l’angle α est également nul. Le plan équatorial qui comprend la trajectoire est le plan . Comme il apparaît clairement sur la figure, l’angle est égal à .

Lorsque croît pour atteindre , le plan équatorial pivote autour de l’axe et α tend également vers . Lorsque , le point est à l’intersection de avec la sphère et l’angle est égal à l’angle qui vaut .

Au-delà de , le plan équatorial continue de basculer autour de l’axe et α vaut π lorsque . Dans ce cas, il est facile de voir sur la figure que .

Comment calculer les points d’impact ?

Ce qui précède nous conduit à la méthode de calcul exposée ci-dessous.

Première étape

On part d’un couple déterminé. On pose . L’équation suivante :

 

(8)

permet de définir la fonction . On en déduit sans difficulté l’angle :

 

 

L’équation (1) nous conduit directement au calcul de :

 

 

En tenant compte de la relation (2-a) qui donne en fonction de on peut donc écrire :

 

(9)

Deuxième étape

Comme on peut, par ailleurs, calculer au moyen des relations (6) et (7) il est possible de déterminer la valeur de par interpolation. On en déduit aisément le paramètre d’impact :

 

(10)

Ceci permet de construire la courbe pour un rayon donné.

Exemples

Les exemples qui suivent ont été obtenus au moyen d’un programme simple écrit en langage C++. La figure 2 représente l’image perçue par un observateur lointain situé dans un plan qui fait 10 degrés avec le plan d’accrétion. Seules 3 isoradiales ont été calculées. Elles correspondent à trois valeurs de : , et .

Figure 2 : isoradiales , et . Le cercle noir représente le cercle de rayon et le cercle vert le cercle de rayon .

Il apparaît très clairement sur cette figure que l’image de la partie du disque d’accrétion qui se trouve devant le trou noir est peu déformée alors que l’image de la partie arrière, qui devrait être cachée, est clairement visible au-dessus du trou noir ! Cette forme d’illusion d’optique dépend bien sûr de l’angle sous lequel l’observateur voit le plan d’accrétion. La figure 3 représente l’isoradiale vue sous trois angles (10, 20 et 30 degrés).

Figure 3 : isoradiale vue sous trois angles différents.

La série de figures qui suivent nous montre la trajectoire suivie par un photon émis depuis l’isoradiale et en se plaçant à différents endroits de cette isoradiale. On se place à chaque fois dans le plan de la trajectoire (le plan OO’M dans notre repère de coordonnées).

Dans ces figures, le cercle noir est le cercle de rayon et le cercle en pointillés vert le cercle de rayon . L’ellipse bleue représente la projection de l’isoradiale sur le plan OO’M.

On peut faire quelques remarques à propos de ces courbes.

Figure 4-a : la trajectoire du photon est directe. Un photon émis dans la direction opposée depuis le point d’impact sur le plan de l’observateur atteindrait le trou noir.

Figure 4-b : le paramètre d’impact est égal au paramètre critique. On est à la limite entre trajectoire directe trajectoire non impactante.

Figure 4-c : exemple de trajectoire non impactante. Un photon émis dans la direction opposée depuis le point d’impact sur le plan de l’observateur contournerait le trou noir.

Figure 4-d : le point d’émission du photon est situé très exactement au périastre de la trajectoire.

Figure 4-e : le point d’émission du photon est situé au-delà périastre de la trajectoire et derrière le trou noir. Le rayon lumineux passe au-dessus du trou noir.

Figure 4-f : le point d’émission du photon est situé au-delà périastre de la trajectoire et à l’opposé de l’observateur par rapport au trou noir. Le rayon lumineux passe au-dessus du trou noir.

Décalage Doppler

Les photons en provenance du disque d’accrétion subissent un décalage Doppler important.

Dans le référentiel au repos de la particule l’énergie d’un photon est fonction de la quadri-vitesse de la particule et du quadri-moment de ce photon2 :

 

(11)

En effet, les deux seules composantes non nulles de la quadri-vitesse sont et . On peut réécrire cette équation comme suit :

 

(12)

Dans le cas d’une orbite circulaire, le terme vaut3 :

 

(13)

La métrique de Schwarzschild ne dépendant ni de ni de les composantes et du quadri-moment du photon restent invariantes tout au long de sa géodésique4. L’énergie observée par l’observateur fixe est donc égale à . Le décalage de fréquence entre l’émission et la réception peut s’exprimer comme suit :

 

(14)

Revenons à la définition du paramètre d’impact5 :

 

(15)

étant le moment du photon et son énergie. La composante du quadri-moment est la projection de ce moment sur l’axe OZ. On peut donc écrire :

 

(16)

Ceci conduit à la relation suivante :

 

(17)

Or :

  et :

(18)

il vient :

 

(19)

Le facteur intervient à la puissance 4 dans le calcul de l’intensité des rayons émis par et perçu par l’observateur lointain :

  • l’énergie individuelle des photons est affectée du facteur ,
  • la fréquence d’émission des photons est affectée du même facteur en raison du décalage des horloges,
  • le rapport entre les angles solides tels qu’ils sont mesurés dans le référentiel de la particule et ceux qui sont perçus par l’observateur lointain est égal à . C’est une conséquence de la transformation relativiste des distances.

On peut se convaincre rapidement du 3ème point en faisant un raisonnement basé sur la relativité restreinte. Considérons un cône de lumière émis par une source se déplaçant avec une vitesse v par rapport à un observateur fixe. Dans le référentiel de la source, le décalage maximum d’un photon par rapport à l’axe reliant la source et l’observateur est tel que :

  soit, si est petit devant :

(20)

Dans le référentiel de l’observateur, le décalage n’est pas affecté par la transformation des longueurs. Ce n’est pas le cas pour la distance :

  d'où il vient :

(21)

On a vu dans le chapitre consacré à l’effet Doppler relativiste que :

 

(22)

On aboutit bien au résultat annoncé.

 

Notes

1 : Calculs également tirés de l’article de Jean-Pierre Luminet.

2 : On considère que l’observateur est suffisamment éloigné pour que le calcul à l’infini qui précède soit valable… mais suffisamment proche pour que le redshift cosmologique soit négligeable.

3 : Voir le chapitre consacré à la trajectoire d’une particule massive dans la métrique de Schwarzschild.

4 : Voir le chapitre consacré aux géodésiques dans la relativité générale.

5 : Voir le chapitre consacré à la trajectoire d’un photon dans la métrique de Schwarzschild.