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Trajectoire d'un rayon lumineux

Annexe 2 : Coordonnée angulaire d'un photon dans la métrique de Schwarzschild

 

Annexe 1 : Solutions d’un polynôme du 3ème degré

 

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Soit un polynôme du troisième degré quelconque défini par l’équation suivante :

 

(a-1)

Le coefficient est égal à la somme des racines et le coefficient à leur produit. Si le coefficient est négatif et que le coefficient est positif, on peut en déduire que l’une des racines est négative et que les deux autres sont positives.

Si l’on connaît l’une de ces racines ( par exemple ), on connaît la somme des deux autres et leur produit. Il est donc facile de déterminer la valeur des deux autres racines :

 

et

(a-1)

On peut donc écrire :

 

et

(a-2)

Il vient :

 

(a-3)

Revenons aux coefficients du polynôme :

 

et

(a-4)

Le coefficient du terme du premier degré étant nul, ceci impose la relation suivante :

 

(a-5)

D'où il vient :

 

soit :

(a-6)

Ceci permet d’exprimer Δ en fonction de :

 

(a-7)

Dans le cas qui nous intéresse :

 

donc :

(a-8)

(Pour éviter toute confusion, on représente le paramètre d’impact par la lettre .) Si on pose :

 

 

Il vient :

 

(a-9)

 

avec :

L’utilisation de la variable intermédiaire nous permet de simplifier les écritures. Un calcul assez simple montre en effet que :

 

et :

(a-10)

Il est donc possible de calculer les deux racines et en fonction de .

Revenons à l’équation (a-8) :

 

donc :

(a-10)

Ceci permet d’exprimer le paramètre d’impact en fonction de :

 

(a-11)

L’analyse de la fonction montre qu’elle est maximale pour une valeur de positive qui annule sa dérivée. Il est facile de voir que cela conduit à résoudre l’équation :

 

(a-12)

La solution de cette équation est évidente :

 

donc :

(a-13)

 

  Annexe 2 : Coordonnée angulaire d’un photon dans la métrique de Schwarzschild

 

Le calcul de la phase de la trajectoire d’un photon dans la métrique de Schwarzschild fait apparaître une intégrale elliptique. Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme :

 

(b-1)

R étant une fraction rationnelle et P un polynôme de degré 3 ou 4. Une intégrale elliptique se ramène à l’une des 3 formes canoniques dites de Legendre1 :

 

(b-2)

On peut écrire ces intégrales sous une forme simplifiée en posant :

 

(b-3)

Dans le cas qui nous intéresse, seules les intégrales de première espèce nous intéressent. L’intégrale elliptique incomplète de première espèce s’écrit sous la forme :

 

ou

(b-4)

L’intégrale complète de première espèce correspond à la valeur de pour θ = π/2 :

 

ou

(b-5)

Le calcul détaillé de la phase de la trajectoire d’un photon a été fait par Jean-Pierre Luminet2, un astrophysicien de l’observatoire de Paris-Meudon. Il montre que :

 

(b-6)

étant la valeur de correspondant à u = 0 (photon à l’infini). Ceci revient à écrire :

 

(b-7)

avec :

  et

(b-8)

La valeur de se déduit des relations qui précèdent :

 

(b-9)

Lorsque (photon au périastre) l’équation devient :

 

(b-10)

On trouve sur Internet des programmes permettant de calculer les valeurs des intégrales elliptiques.

Démonstration de l'équation (b-6)

On cherche à calculer l’intégrale suivante :

 

(b-11)

avec :

 

et

 

Commençons par faire le changement de variable suivant :

 

(b-12)

Il vient :

 

(b-13)

Comme on peut écrire :

 

(b-14)

avec :

 

et

(b-15)

Procédons à un nouveau changement de variable :

 

(b-16)

On voit tout de suite que :

 

(b-17)

Réécrivons :

 

 

 

 

 

 

 

(b-18)

Ceci permet d’écrire:

 

(b-19)

... ou encore :

 

(b-20)

avec :

 

(b-21)

Ce qui correspond bien à la formule (b-8). La formule (b-20) permet quant à elle de retrouver l’équation (b-6). Le changement de variable qui fait passer de u à θ n’est pas complètement évident. En combinant (b-12) et (b-16) on voit que :

 

(b-22)

ou encore:

 

(b-23)

Cette formule permet de retrouver celle de l’équation (b-10) lorsque u = 0.

 

Notes

1 : Adrien-Marie Legendre est un mathématicien qui a fait une étude systématique des intégrales elliptiques.

2 : Article intitulé Image of a spherical black hole with Thin accretion disk, paru dans Astronomy et Astrophysics en 1979.