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Métrique de Schwarzschild

 

Annexe : Symboles de Christoffel et tenseur de Riemann de la métrique de Schwarzschild

 

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Symboles de Christoffel

La formule générale qui donne les symboles de Christoffel à partir des composants d’une métrique est la suivante :

 

(a-1)

Dans le cas de la métrique de Schwarzschild on a :

 

si a n’est pas égal à b

 

dans le cas contraire.

La métrique étant diagonale, on pose par définition :

 

 

Il vient :

 

(a-2)

Seuls les termes tels que μ = ν ne sont pas nuls. Les seuls symboles non nuls sont donc les suivants :

 

(a-3)

 

(a-4)

 

(a-5)

La non-dépendance des composants de la métrique par rapport à certaines coordonnées amène à d’autres simplifications :

  • tous les termes et sont nuls,
  • tous les termes sont nuls sauf .

Ceci permet de calculer aisément les symboles de Christoffel non nuls :

 

(a-6)

 

(a-7)

 

(a-8)

 

(a-9)

 

(a-10)

Tenseur de Riemann

Les composants du tenseur de Riemann associés à la métrique s’obtiennent à partir des symboles de Christoffel en appliquant la formule suivante :

 

(a-11)

La non-dépendance des symboles de Christoffel par rapport à certaines coordonnées permet d’éliminer certains des termes.

 

(a-12)

 

(a-13)

 

(a-14)

 

(a-15)

 

 

(a-16)

 

(a-17)

 

(a-18)

 

 

(a-19)

 

(a-20)

 

 

(a-21)

 

(a-22)

 

(a-23)

 

 

(a-24)

 

(a-25)

 

(a-26)

 

(a-27)

 

(a-28)