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La déflexion des rayons lumineux à proximité d’un corps massif est l’une des prédictions les plus spectaculaires de la relativité générale. Sa vérification en 1919 par Sir Arthur Eddington à l’occasion d’une éclipse du Soleil a d’ailleurs grandement contribué à asseoir la crédibilité de cette théorie auprès des scientifiques du monde entier. Cette déviation est imperceptible sans faire des mesures précises et n’a aucun impact dans la vie courante. Il est cependant un domaine dans lequel la déflexion des rayons peut jouer un rôle important, c’est celui de l’astrophysique.

En 1978, Jean-Pierre Luminet, un scientifique travaillant au laboratoire d’astrophysique de Marseille, a calculé la déflexion induite par le passage d’un rayon lumineux à proximité d’un trou noir. Il a ainsi pu déterminer « l’image » qu’un astronaute pourrait voir en approchant d’un trou noir. Ce même type de calcul a été utilisé par Kip Thorne (un astrophysicien américain) pour réaliser les effets spéciaux du film Interstellar. Naturellement, aucun télescope n’a jamais pu capter ce genre d’image… Plus sérieusement, la modélisation du comportement des rayons lumineux autour d’une forte concentration de masse permet de comprendre le fonctionnement des lentilles gravitationnelles. La présence d’une lentille gravitationnelle entre une galaxie et un observateur permet de focaliser et d’amplifier les rayons lumineux en provenance de cette galaxie. Le phénomène de lentille gravitationnelle a été prédit par Albert Einstein et Fritz Zwicky au cours des années 1930. La première lentille gravitationnelle a été identifiée en 1979. On en a observé de nombreuses autres depuis.

L’objet de ce chapitre est de montrer comment l’équation des géodésiques appliquée à la métrique de Schwarzschild s’applique à la trajectoire des photons. Nous verrons qu’un photon peut rebrousser chemin à proximité d’un trou noir ou même tourner en orbite autour de celui-ci. Ceci peut conduire à des phénomènes optiques tout à fait étonnants : l’Univers projeté sur une sphère en suspension au-dessus d’un observateur par exemple…

Equations des géodésiques appliquées à un photon

Les équations formulées dans le chapitre précédent s’appliquent à la trajectoire des photons. Dans le cas d’un photon, le paramètre (qui correspond à l’énergie de masse) est nul. On sait également que l’énergie d’un photon est égale à son impulsion multipliée par . Comme nous avons choisi un système d’unités tel que = 1 on peut écrire :

 

(1)

Les équations du chapitre précédent font également intervenir le moment . Celui-ci est bien évidemment lié à l’impulsion du photon :

 

(2)

ayant la dimension d’une longueur. est la distance entre le prolongement de la trajectoire d’un photon incident et le centre de symétrie de la métrique. est appelé paramètre d’impact du photon.

En combinant (1) et (2) on voit tout de suite que :

 

(2 bis)

Figure 1 : Paramètre d'impact.

Dans les équations du chapitre précédent, nous avions également fait intervenir un paramètre représentant l’énergie de la particule considérée. Dans le cas d’un photon, ce paramètre est bien évidemment assimilable à son énergie . On peut donc combiner l’équation de conservation de l’énergie du photon avec celle du moment cinétique :

 

(3)

On peut de la même façon combiner l’équation de conservation de l’énergie totale avec l’équation de conservation du moment :

 

devient :

(4)

Soit :

 

(4 bis)

On sait qu’un photon n’a pas de temps propre . Il convient donc de choisir un autre paramètre affine. Le choix de comme paramètre affine simplifie considérablement les équations dans la mesure où :

 

 

par construction. L’équation (4-bis) devient :

 

(5)

Cette équation peut être reformulée de la manière suivante :

 

avec :

(6)

L’équation (6) est une équation à potentiel comme on en rencontre souvent en mécanique classique.

Analyse de la trajectoire des photons

Le potentiel est maximum pour la valeur :

 

 

Dans ce cas il atteint la valeur définie par :

 

(7)

Le premier terme de l’équation (6) étant toujours positif (c’est un carré), ceci permet de définir un paramètre d’impact critique tel que :

 

c'est à dire :

(8)

Dans tous les cas, un rayon lumineux dont le paramètre d’impact est ne peut atteindre un point situé à la distance du centre de symétrie que si :

 

(9)

Ceci impose une valeur maximum pour le potentiel :

 

(9 bis)

Considérons les différents cas de figure possibles :

  • : la limite imposée par l’équation (9-bis) est plus petite que la valeur maximum . Cela signifie que la distance ne peut pas prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et . En particulier, elle ne pourra jamais descendre en dessous d’une valeur minimum qui est nécessairement supérieure à . En effet, si ce n’était pas le cas, pourrait prendre la valeur et pourrait atteindre la valeur , ce qui est contraire à nos hypothèses. Cela signifie qu’un photon émis avec un paramètre d’impact en direction du corps représenté par la métrique s’approchera de celui-ci jusqu’à une distance avant de s'en éloigner à nouveau. (L’équation (6) étant symétrique, elle peut être parcourue dans les deux sens par .)
  • : la limite imposée par l’équation (9-bis) est plus grande que la valeur maximum . Elle n’a donc aucun impact. La distance peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et . Si la métrique étudiée correspond à un trou noir, cela signifie qu’un photon émis avec un paramètre d’impact a toutes les chances d’atteindre l’horizon des événements et de rester piégé dans le trou noir.
  • : la distance peut prendre la valeur . Cette configuration correspond à un photon tournant indéfiniment autour du corps considéré.

Analyse détaillée

Pour pousser plus loin l’analyse, on fait un changement de variable qui simplifie la résolution des équations. Posons . Ceci permet d’écrire l’équation (5) de la manière suivante :

 

(10)

est un polynôme du troisième degré1 en . Si il a trois racines réelles , et . La racine est négative et les deux autres sont positives. Si on considère le profil de on constate que :

  • Le tronçon correspondant aux valeurs négatives de ne nous intéresse pas, étant positif par définition.
  • Le tronçon qui va de = 0 à = correspond à une trajectoire telle varie entre et . C’est le cas, par exemple, pour un photon émis depuis une grande distance qui s’approche du corps considéré jusqu’à la distance = puis s’en éloigne indéfiniment. Comme nous l’avons déjà souligné, l’équation (10) est symétrique, elle peut être parcourue dans un sens puis dans l’autre.
  • Le tronçon correspondant à des valeurs comprises entre et ne nous intéresse pas. Le premier membre de l’équation est un carré et ne peut pas être négatif.
  • Le tronçon correspondant à des valeurs supérieures à correspond à un photon capturé par un trou noir : reste indéfiniment plus petit que .

C’est le deuxième tronçon qui nous intéresse. Comme on peut le voir, la valeur correspond au point de la trajectoire le plus proche du corps considéré. En astronomie, on appelle ce point le périastre (ou périhélie pour le Soleil).

Un calcul assez simple permet de déterminer la valeur de et en fonction de celle de . On trouvera en annexe les détails de ce calcul et les formules qui donnent et . Comme nous n’utiliserons pas ces formules, nous nous contenterons de mentionner celle qui donne le paramètre d’impact b en fonction de la valeur du périastre :

 

(11)

On ne sera pas surpris de constater que la fonction atteint son minimum pour . La valeur de périastre correspondante est :

 

(12)

Revenons à l’équation (10). On peut l’écrire sous la forme :

 

(13)

… ce qui permet de calculer en fonction de :

 

(14)

Cette équation peut être résolue sous la forme d’une intégrale elliptique2. Elle peut également être calculée de façon numérique à l’aide d’un simple tableur et c’est la solution de facilité que nous allons utiliser dans ce qui suit.

Trajectoire d’un photon dont le paramètre d’impact est supérieur à bc

Nous allons illustrer la déflexion d’un rayon lumineux passant à proximité d’un trou noir au moyen de quelques exemples numériques. Les calculs ont été faits dans l’hypothèse où . Toutes les autres configurations peuvent se déduire de celles-ci par une simple homothétie. Les figures 2 et 3 donnent quelques exemples de géodésiques pour différentes valeurs du paramètre d'impact. Dans le premier cas, on voit que l'infléchissement reste modéré lorsque le paramètre d'impact est égal à dix fois le rayon de Scharzschild. En-deçà, la déviation devient rapidement assez prononcée : elle dépasse 90 degrés lorsque le paramètre vaut .

A titre de comparaison, la déflexion des rayons lumineux mesurée en 1919 par Arthur Eddington au voisinage du soleil était de l’ordre de deux secondes d’arc... Il faut dire que le rayon de Schwarzschild du soleil vaut 3 km alors que son rayon effectif est de 700 000 km !

Figure 2 : Trajectoires d’un rayon lumineux pour 3 valeurs du paramètre d'impact. La déviation est exprimée en degrés.

Le cercle vert en pointillés représente le rayon rs = 1/2.

Dans la figure 3, les valeurs du paramètre d'impact sont proches de . Ceci conduit à une valeur de périastre comprise entre et . La déflexion est alors très importante. De telles valeurs ne sont possibles que si le corps considéré est un trou noir : le rayon d'une étoile, même s'il s'agit d'une étoile à neutrons, est très largement supérieur à .

La courbe verte montre une déflexion assez forte (plus de 60 degrés) mais le photon poursuit son chemin après avoir dépassé le trou noir. Sur la courbe rouge, il semble que le photon rebondisse sur un miroir virtuel pour être renvoyé en arrière. Dans le cas de la courbe noire, la trajectoire recoupe le trajet incident et semble s’enrouler autour du trou noir.

Figure 3 : Trajectoires d’un rayon lumineux pour 4 valeurs du paramètre d'impact proches de . La déviation est exprimée en degrés.

On peut d’ailleurs montrer que, pour des valeurs du paramètre d’impact encore plus proches de la valeur critique, le rayon lumineux peut faire plusieurs fois le tour du trou noir avant de repartir dans la direction opposée au rayon incident !

Il existe une valeur de pour laquelle le rayon lumineux revient dans la direction de l’émetteur. Si on éclaire un trou noir, on percevra ces rayons qui ont fait le tour du trou noir avant de nous revenir. Ils dessineront un cercle lumineux autour de celui-ci. Le diamètre de ce cercle lumineux sera très voisin de :

 

(15)

… c’est-à-dire un peu plus de 10 fois le rayon de Schwarzschild.

Trajectoire d’un photon dont le paramètre d’impact est inférieur ou égal à bc

Considérons tout d’abord le cas d’un photon émis avec un paramètre d’impact égal à . La modélisation de sa trajectoire avec un tableur montre la forme de sa demi-trajectoire. On peut constater que ce rayon vient tangenter le cercle de rayon = . Nous verrons d’ailleurs par la suite que ce photon va rester piégé à cette distance.

Figure 4 : Trajectoire d’un photon pour une valeur de paramètre d’impact égale à .

Nous pouvons tirer une autre conclusion tout à fait étonnante de notre modélisation. Soit un observateur situé à une distance égale à du centre de symétrie d’un trou noir. Quel spectacle peut-il contempler ? La réponse est simple et plutôt décoiffante. En regardant au-dessus de lui, il voit la totalité de l’Univers concentrée sur une demi-sphère. Y compris toute la partie du ciel qui se trouve de l’autre côté du trou noir. En regardant au-dessous de lui, il ne voit rien. En se plaçant à cette distance du trou noir, l’observateur est en quelque sorte « au bord de l’Univers ». Il peut le contempler en son entier sans avoir à se retourner. Derrière lui il n’y a rien.

Dans le deuxième exemple, nous allons nous intéresser à un photon dont le paramètre d’impact est inférieur à la valeur critique. Comme nous l’avons vu plus haut, un tel photon est irrémédiablement capturé par le trou noir. Plaçons cette fois un observateur à une distance inférieure à du centre du trou noir. Ainsi que le montre la figure ci-dessous, les rayons lumineux qui lui proviennent d’une direction diamétralement opposée par rapport au trou noir semblent parvenir face à lui ! La figure 5 étant symétrique par rapport à l’axe horizontal, cela signifie que notre observateur voit la totalité de l’Univers dans un cône situé au-dessus de lui ! L’Univers lui apparaît comme projeté à la surface d’une sphère suspendue au-dessus de lui.

Figure 5-a : Trajectoire d’un photon pour une valeur de paramètre d’impact inférieure à .

Figure 5-b : un observateur voit l’Univers telle une sphère au-dessus de lui.

Photon en orbite circulaire autour d'un trou noir

Nous avons évoqué la possibilité qu’un rayon lumineux puisse être mis en orbite autour d’un trou noir. Nous allons nous intéresser plus particulièrement à ce cas de figure.

Revenons à l’équation (10). Si le rayon est constant, on peut écrire :

 

(16)

On peut reformuler cette équation comme suit :

 

avec :

(17)

Seules les racines positives nous intéressent. Pour qu’il existe une orbite circulaire stable, il faut que soit tangent à la droite horizontale d’ordonnée . Cela se produit pour une valeur telle que :

 

(18)

Cette équation admet une solution positive pour tel que :

 

(19)

Il existe donc effectivement une orbite circulaire stable pour un photon autour d’un trou noir de Schwarzschild. Cette orbite a pour rayon . A cette distance du centre du trou noir, un photon qui va tout droit tourne éternellement autour de celui-ci !

Nota : Ce rayon correspond également au périastre minimum (voir équation 12), ce qui est tout à fait logique.

 

Notes

1 : Voir le calcul des solutions d'un polynôme du 3ème degré en annexe 1.

2 : Voir le calcul détaillé en annexe 2.