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Comme on l’a vu dans le chapitre sur la métrique de Schwarzschild, le comportement des particules de faible masse est assez semblable à celui décrit par la mécanique newtonienne. Les différences entre les équations de la théorie de la relativité générales et celles de la mécanique newtonienne ont cependant permis de résoudre une énigme qu’aucun astronome n’avait réussi à percer auparavant : la précession du périhélie de Mercure. Celle-ci trouve en effet une explication élégante et précise grâce à la théorie de la relativité générale. Ce succès, couplé à la vérification en 1919 de la prédiction de la déflexion des rayons lumineux, a très rapidement convaincu les scientifiques de la pertinence de la théorie.

Equations des géodésiques appliquées à une particule de faible masse

Dans ce qui suit, on considère le cas d’une particule dont l’énergie-masse est infinitésimale par rapport à celle du corps central. On peut donc faire l’hypothèse qu’elle ne déforme l’espace-temps que de manière négligeable. On suppose également que cette particule n’est soumise à aucune force extérieure. On dit d’elle qu’elle qu’il s’agit d’une particule libre. Une telle particule suit une géodésique de l’espace-temps.

Comme on l’a souligné précédemment, il est toujours possible de faire un changement de coordonnées qui permet d’étudier la trajectoire d’une particule libre dans un plan équatorial par rapport au corps central. Dans ce plan, les équations de la trajectoire sont les suivantes :

 

(1)

 

(2)

 

(3)

On peut reformuler l’équation (3) en écrivant :

 

avec :

(4)

Dans ce qui précède, le terme correspond à l’énergie propre de la particule et le terme à son moment cinétique. L’équation (4) est l’équation de conservation de l’énergie dans le champ de potentiel de la métrique (voir le paragraphe sur l’interprétation des lois de conservation dans le chapitre sur la métrique de Schwarzschild). On se retrouve face à un problème assez classique de particule évoluant dans un champ de potentiel.

Orbite circulaire

Etudions tout d’abord le cas d’une orbite circulaire. Pour qu’une orbite soit circulaire, il faut que les deux conditions suivantes soient respectées :

  • est constant sur toute la circonférence :

Pour simplifier l’analyse, nous allons procéder à un changement de variable :

 

 

La première condition s’écrit :

 

(5)

On obtient la seconde en écrivant :

 

(6)

Ce qui revient à écrire :

 

(7)

On peut en tirer et en fonction de :

 

et :

(8)

On peut aussi se poser le problème dans l’autre sens : dans quelles conditions est-il possible d’associer une orbite stable à un couple de valeurs ?

Si une telle orbite existe, son rayon doit satisfaire à l’équation (7) :

 

(9)

Soit :

 

(10)

Pour qu’une telle solution existe, il faut bien sûr que :

 

(11)

Ceci entraîne la condition suivante pour :

 

(11 bis)

Nous verrons plus bas (figure 1) que seule la plus grande des deux valeurs de correspond à une orbite stable.

Il est intéressant de comparer la valeur que nous avons obtenue pour est à celle que donne la mécanique newtonienne :

 

(12)

Lorsque L est grand devant , la valeur de calculée par l’équation (10) et celle calculée par l’équation (12) sont très proches. La mécanique newtonienne est donc bien une excellente approximation pour tous les cas rencontrés dans la vie courante (ce dont personne ne doutait).

Il est intéressant de connaître la plus petite orbite circulaire stable. En utilisant les valeurs de et calculées à partir des équations (8), il est possible de reconstituer le potentiel correspondant à différentes valeurs de .

Figure 1 : Potentiel correspondant à différentes valeurs de .

On retrouve bien le résultat exposé plus haut (formule 10) : les deux valeurs de correspondent l’une à un maximum et l’autre à un minimum local du potentiel . Seule la valeur correspondant à un minimum local conduit à une orbite stable. La limite est atteinte lorsque le minimum local et le maximum local se confondent pour former un point d’inflexion (courbe bleue). Dans ce cas, la dérivée seconde du potentiel s’annule également et on peut écrire :

 

(13)

Cette valeur est obtenue pour :

 

(14)

... qui est la plus petite valeur permise par l’équation (11).

Pour un trou noir de trois masses solaires, ce qui est approximativement la masse des plus petits trous noirs stellaires, ceci correspond à un rayon de 27 km. Saggittarius A*, le trou noir super-massif au centre de la voie lactée, a quant à lui un rayon de Schwarzschild de 7,8 millions de km. Le rayon de la plus petite orbite circulaire stable autour de Saggittarius A* est donc de 23,4 millions de km ! On voit que la gamme de valeurs possibles est très large…

En deçà de , le potentiel ne présente plus de minimum local. La particule est donc condamnée à « tomber » dans le trou noir.

Vitesse d’une particule en orbite circulaire

Nous allons maintenant chercher à déterminer la vitesse d'une particule en orbite circulaire autour d'un trou noir. Soit le rayon de l'orbite. Le temps propre de cette particule s’écrit :

 

(15)

L’équation (2) nous donne la vitesse de la particule par rapport au temps propre et au moment :

 

 

On peut donc réécrire l’équation (15) comme suit :

 

(16)

Rappelons le résultat obtenu au paragraphe précédent :

 

 

Il vient :

 

soit :

(17)

Ecrivons maintenant l’expression qui donne la vitesse de la particule pour un observateur lointain :

 

(18)

En combinant cette équation avec les équations (2) et (17) il vient :

 

(18 bis)

Soit :

 

(18 ter)

La vitesse maximale est atteinte lorsque est minimum. On a vu dans le paragraphe précédent que cette valeur minimum était égale à . La vitesse maximale pour un observateur lointain vaut donc :

 

soit 40 % de la vitesse de la lumière.

Pour un observateur situé sur une plateforme fixe située à une distance du centre de masse, le temps propre s’écrit :

 

(19)

Comme nous l’avons indiqué dans le premier chapitre consacré à la métrique de Schwarzschild, celle-ci est indépendante de la position dans l’espace pour toute mesure effectuée perpendiculairement à l’axe radial :

 

 

Ceci permet de calculer la vitesse avec laquelle un observateur situé sur la plateforme voit passer la particule :

 

(20)

Soit :

 

(20 bis)

La vitesse maximale perçue pas un observateur « plateforme » est donc atteinte pour et elle vaut 50 % de la vitesse de la lumière.

Particule en orbite elliptique

Les conditions à remplir pour qu’une particule suive une orbite circulaire sont tout à fait particulières. Elles s’expriment au travers des équations (8). Comme on l’a indiqué plus haut, elles correspondent à un minimum local du potentiel . Nous allons maintenant nous intéresser au cas général. Pour simplifier, nous allons considérer que le corps représenté par la métrique est un trou noir. Si ce n’est pas le cas, il faut tout simplement considérer que ne peut pas descendre en dessous d’une valeur minimum .

  • Lorsque la dérivée du potentiel conserve le même signe pour compris entre 0 et . Cela signifie que le potentiel décroît de façon monotone et continue pour un corps qui vient d’une position très éloignée. Il est donc soumis à une accélération de plus en plus forte à mesure qu'il approche du trou noir (équation 3). Au bout du compte il lui sera impossible de résister à son attraction. Ceci veut dire que tout corps massif ayant un moment cinétique inférieur à est attiré de manière irrémédiable par le trou noir.
  • Lorsque la courbe du potentiel a l’allure illustrée par la figure 2. Elle croît jusqu’à atteindre une valeur pour (la plus petite des deux valeurs de définies par l’équation 10). Puis elle décroît pour atteindre un minimum lorsque (la plus grande de ces deux valeurs). Le potentiel repart ensuite à la hausse pour tendre vers 1 lorsque tend vers l’infini. Rappelons que l’énergie correspondant à = 1 est l’énergie de masse du corps considéré (première équation d’Einstein : ).

Nous allons détailler les différents comportements possibles lorsque .

La figure 2 ci-dessous illustre le rôle de barrière de potentiel que joue que le potentiel . La « hauteur » de cette barrière dépend du moment cinétique . Sur cette figure, la trajectoire d’un corps est représentée par une droite horizontale (l’énergie de la particule est conservée). Les différents types de comportement que nous allons présenter ci-dessous dépendent de l’énergie de la particule. Comme l’allure de la courbe dépend de , il faut toujours raisonner en prenant en considération le couple .

Figure 2 : Trajectoire d’une particule libre dans différentes configurations d’énergie.

Premier cas : le terme (l’énergie propre de la particule) est supérieur à . L’énergie est suffisante pour vaincre la barrière de potentiel. Le corps peut atteindre l’horizon des événements (). Il disparaitra dans le trou noir et ne pourra jamais en ressortir1.

Deuxième cas : est inférieur à et la trajectoire est définie de à . L’énergie totale du corps considéré est insuffisante pour franchir la barrière de potentiel. Une fois lâché, le corps va accélérer sous l’effet de l’attraction du trou noir. En approchant de la barrière de potentiel sa trajectoire sera déviée mais il continuera sa course en évitant le trou noir. Sur la figure 2, cette trajectoire est illustrée par la ligne horizontale de couleur violette. Le corps la parcourt en venant de la droite. Le point le plus proche du centre du trou noir est caractérisé par la coordonnée . Une fois ce point atteint, le point qui représente le mouvement du corps repart vers la droite (l’équation 3, comme on l’a déjà souligné est symétrique).

Troisième cas : est inférieur à mais la trajectoire n’est définie qu’entre et . La trajectoire du corps va osciller entre les deux valeurs et . Cela correspond en pratique à une orbite quasi elliptique dont le périastre est égal à et l’apogée à . La forme de l’équation (3) qui ne fait intervenir que le paramètre se traduit en effet par une oscillation périodique : le profil de la courbe croît de à puis décroît de à et se reproduit indéfiniment sans modification.

L’équation (2) détermine quant à elle l’évolution concomitante de :

 

 

La périodicité de entraîne celle de mais la période d’oscillation de n’est pas nécessairement égale à 2π. C’est précisément la raison pour laquelle on constate une précession de l’orbite des planètes à proximité d’une étoile (la précession du périhélie de Mercure entre autre).

Revenons à l’équation (4) :

 

 

Posons . En dérivant simplement cette formule on obtient :

 

 

Sachant que , ceci permet d’écrire :

 

soit :

(21)

Il nous est donc possible de remplacer par dans l’équation (4). peut être de son côté remplacé par un polynôme du troisième degré en . Dans la configuration que nous étudions (le troisième cas) ce polynôme admet trois racines positives. On peut donc écrire :

 

(22)

Les valeurs et correspondent à deux de ces racines, nous allons supposer qu’il s’agit de et . Le paramètre oscille de façon périodique entre ces deux valeurs. On peut calculer l’excursion parcourue par au cours d’une période :

 

(23)

Figure 3 : Précession du périhélie de Mercure. Les proportions ne sont pas respectées et l’amplitude de la précession a été fortement exagérée.

La précession de l’orbite est égale à . C’est cette formule qui a permis d’expliquer par le calcul la précession du périhélie de Mercure. Depuis, elle a été utilisée pour évaluer la précession de nombreux pulsars, ce qui a permis de la valider de manière beaucoup plus précise que dans le cas du périhélie de Mercure.

 

Notes

1 : A ce sujet, on peut légitimement se poser une question. Que devient le moment cinétique de la particule ? Nous avons montré que celui-ci était conservé tout au long de la géodésique, se pourrait-il qu’il s'annule lorsque la particule franchit l’horizon des événements ? La réponse est non. En fait, le moment cinétique est transféré au trou noir. Il se met à tourner. Dans le cas qui nous intéresse, ce mouvement est imperceptible puisque nous avons fait l’hypothèse que l’énergie de la particule était infinitésimale par comparaison avec la masse du trou noir. Il n’empêche : le trou noir n’est plus tout à fait immobile. C’est devenu un trou noir en rotation, c’est-à-dire un trou noir de Kerr.