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La force de marée n’est pas un phénomène propre à la relativité générale. Sur Terre, elle est responsable, comme son nom l’indique, du mouvement des marées. Elle est, dans ce cas, due à l’action combinée de la Lune et du Soleil. L’action de la Lune est prépondérante1, celle du Soleil ne fait que moduler le coefficient des marées. C’est la raison pour laquelle les coefficients de marée les plus importants sont enregistrés au moment des marées d’équinoxe.

Ce chapitre est techniquement assez complexe. Il est présenté ici en raison de l’importance « historique » de la notion de force de marée dans le cheminement intellectuel qui conduisit Einstein à son équation de la relativité générale. En recherchant les effets de la force de marée s’appliquant à l’intérieur de son fameux « ascenseur », il parvint en effet à l’équation présentée dans le premier paragraphe de ce chapitre et qui relie le tenseur de force de marée au tenseur de Riemann. Cette équation le mit sur la voie de l’équation définitive.

Force de marée et relativité générale

En relativité générale, on analyse la force de marée en termes de variation de la courbure de l’espace-temps à proximité d’un point. La relativité générale permet donc de prédire des effets liés aux forces de marée que la mécanique classique ignore.

Pour déterminer la force de marée on procède de la manière suivante :

  • On considère tout d’abord deux particules de masse non nulles non reliées entre elles. Ces deux particules suivent chacune une géodésique. Soient et les courbes décrivant ces géodésiques.
  • Soit l’écart entre ces géodésiques (on parle de séparation). Cette séparation est fonction du temps propre τ.
  • Pour maintenir la séparation constante, ce qui est le cas si les deux particules sont reliées entre elles, il faut non seulement annuler la dérivée première de la séparation (la vitesse de séparation) mais également la dérivée seconde (l’accélération de la séparation).

Le champ de force de marée est le champ de force qui s’oppose à l’accélération de la séparation entre les deux géodésiques.

Un peu de mathématiques maintenant...

Soient deux géodésiques définies par les courbes et . Soit V la dérivée de X par rapport au temps propre de la géodésique :

 

(1)

Soit l’écart entre les deux géodésiques :

 

(2)

Soit la dérivée covariante de au long de la géodésique décrite par :

 

(3)

Nous sommes intéressés par le taux d’accélération de la séparation entre les géodésiques, donc par la dérivée covariante de le long de la géodésique :

 

(4)

Cette équation d’apparence simple est en réalité redoutablement complexe. Le calcul détaillé qui permet de la formuler en des termes utilisables pour calculer la force de marée résultante est donné en annexe de ce chapitre. Tout calcul fait, on parvient à l’équation suivante :

 

(5)

On reconnaît dans le terme en facteur un composant du tenseur de courbure de Riemann :

 

(6)

Pour que les particules suivent des trajectoires strictement parallèles, il faut qu’une force s’oppose à cette tendance à l’accélération de la séparation des géodésiques. Il se produit alors un équilibre entre la force de cohésion et une force qui tend à écarter les particules et que l’on appelle force de marée. La force de marée est représentée sous la forme d’un tenseur, le tenseur de force de marée Sμν (tidal stress tensor) :

 

et

(7)

avec le quadrivecteur de force de marée.

L’expression à laquelle nous sommes parvenus est une expression tensorielle : elle se transforme donc comme un tenseur par changement de repère « en chute libre » dans l’espace-temps et c’est ce qui en fait tout l’intérêt.

Force de marée s’exerçant sur un corps en orbite circulaire autour d’un trou noir de Schwarzschild

Dans le cas d’une orbite circulaire l’expression des quadrivecteurs et se réduit à :

 

et

 

Nous allons nous intéresser à la force de marée radiale, donc au terme . Le quadrivecteur n’a qu’une seule composante non nulle :

 

(8)

Par ailleurs, les seuls composantes du vecteur non nulles sont les composantes et . On peut donc écrire :

 

(8 bis)

Le calcul des composants du tenseur de Riemann à partir des symboles de Christoffel de la métrique de Schwarzschild ne présente pas de difficultés particulières mais il est fastidieux. Heureusement, on peut trouver ces composants sur Internet sans se fatiguer (on peut aussi se reporter au calcul présenté en annexe) :

 

(9)

 

(9 bis)

Les relations de symétrie qui s’appliquent au tenseur de Riemann permettent par ailleurs d’écrire :

 

 

Tous les autres composants de ce tenseur sont nuls. Les composants dont nous avons besoin se calculent facilement en appliquant la formule d’élévation d’indice des tenseurs et en tenant compte du fait que la métrique de Schwarzschild est diagonale :

 

 

Ceci conduit à réécrire l’équation (7) de la manière suivante :

 

(10)

Pour une meilleure compréhension des calculs, nous allons décomposer en deux termes :

 

 

Sachant que :

 

 

il vient :

 

(11)

 

(11 bis)

si on se place dans le plan équatorial. Dans le chapitre consacré au comportement dynamique d’une particule libre dans la métrique de Schwarzschild, on a démontré que :

 

et

(12)

On peut donc écrire :

 

(13)

 

(13 bis)

La dernière étape consiste à remplacer et par leur valeur dans le cas d’une particule libre en orbite circulaire de rayon r (voir le chapitre consacré au comportement dynamique d’une particule) :

 

et

(14)

Force de marée radiale

Nous disposons désormais de tous les éléments pour calculer la force de marée radiale qui s’exerce sur un corps en orbite circulaire autour d’un astre décrit par la métrique de Schwarzschild. Comme nous l’avons vu, la force de marée se décompose en deux termes :

  • le terme peut être associé au différentiel de potentiel gravitationnel entre deux points situés à une distance différente du centre,
  • le terme est, quant, à lui relatif au différentiel de force centrifuge.

Nous allons illustrer ces calculs en prenant deux exemples. Le premier exemple est relatif à un trou noir stellaire de 10 masses solaires. Le second exemple concerne un trou noir super-massif de 4 millions de masses solaire, du type que ceux qui se trouvent au centre des galaxies. Dans les deux cas nous allons supposer qu’une sonde est satellisée autour du trou noir à une distance de du centre (c’est le rayon de la plus petite orbite stable autour d’un trou noir).

Le rayon de Schwarzschild du premier trou noir est de 30 km. Le rayon du second est de 12 millions de km. Dans les deux cas les coefficients et valent :

 

et

 

Ce qui donne :

 

(15)

 

(15 bis)

Il vient au final :

 

(16)

Remarque : il peut paraître surprenant que l’accélération ait la dimension de l’inverse d’une longueur. Il faut se souvenir que, dans la métrique de Schwarzschild, la « coordonnée temporelle » t a elle-même la dimension d’une longueur. En fait, on définit par convention . Comme est proportionnel à , il convient de multiplier par pour revenir à un système d’unités conventionnel :

 

(16 bis)

De ce fait, a bien la dimension d’une longueur divisée par un temps au carré.

Trou noir de 10 masses solaires

Nous allons évaluer la force de marée à une distance δr = 1 m du centre de gravité d’un corps circulant sur une orbite circulaire de rayon 3r_s autour d’un trou noir de 10 masses solaires. Le rayon de Schwarzschild d’un tel trou noir vaut 30 km.

 

 

La force de marée équivaut à 440 000 g !

Trou noir de 4 millions de masses solaires

Examinons maintenant le cas d’un trou noir super-massif de 4 millions de masses solaires. Son rayon de Schwarzschild vaut 12 millions de km.

 

 

Cette fois la force de marée est complètement imperceptible. Ce résultat peut paraître contradictoire avec le fait que l’on a affaire à un trou noir super-massif. Il n’a en fait rien d’étonnant : l’écart d’un mètre doit être ramené en proportion du rayon . On voit bien que cela représente une quantité quasi négligeable.

Force de marée s’exerçant sur un corps en chute libre

Le cas d’un corps en chute libre peut être étudié de la même façon. Cette fois on a :

 

et

 

On peut donc écrire :

 

(17)

Le composant se calcule aisément compte tenu de ce qui précède :

 

(18)

Les autres composants du tenseur de Riemann intervenant dans cette formule sont nuls. Il vient :

 

(19)

Dans le cas d’un corps en chute libre le coefficient est égal à 1 :

 

 

Ceci conduit à la formule suivante :

 

(20)

… formule que l’on doit également corriger d’un facteur . Reprenons l’exemple du trou noir de 10 masses solaires. Considérons une sonde spatiale en chute libre en direction de ce trou noir. Une particule située exactement au centre de gravité de cette sonde est en état d’impesanteur. Supposons par contre qu’un astronaute se trouve « debout » à l’intérieur de la sonde : sa tête et ses pieds seront soumis à une force de marée qui aura tendance à le « spaghettifier ». Sa tête sera tirée vers le haut et ses pieds vers le bas.

Supposons que la sonde soit parvenue sans encombre à une distance égale à trois fois le rayon de Schwarzschild du trou noir (c’est à dire à 90 km dans le cas qui nous intéresse). Si notre astronaute mesure 1m70 la force de marée qui s’exercera sur sa tête sera telle que :

 

 

On retrouve un résultat similaire à celui exposé précédemment. La tête de notre infortuné astronaute sera tirée vers le haut par une force équivalente à 480 000 fois son poids ! Et ses pieds seront tirés vers le bas par une force de même amplitude. Situation ô combien inconfortable : notre astronaute sera tout simplement coupé en deux.

Pourquoi pas, dans ce cas, conseiller à notre astronaute de se coucher ? Il pourra peut-être observer sans péril les étonnants phénomènes optiques qui surviennent à proximité d’un trou noir. En fait, bien mal lui en prendrait. Il serait en effet soumis à une terrible force de compression :

 

(21)

En tenant compte des seuls composants non nuls il vient :

 

(22)

Sachant que :

 

(23)

on peut écrire :

 

(24)

Soit :

 

(24 bis)

La force de compression a, on le voit, la même amplitude que la force d’étirement. Notre astronaute sera donc irrémédiablement écrasé. Il est clairement impossible d’approcher d’un trou noir stellaire à une distance aussi proche. L’intensité des forces de marée est telle que tout corps est déchiqueté bien avant de parvenir à ce point. Pour rester dans une zone à peu près sécurisée il conviendrait de stabiliser la sonde à une distance supérieure à 3000 fois le rayon de Schwarzschild (ce qui permet de ramener la force de marée à 0.5 g).

Comme on l’a vu, l’intensité de la force de marée est bien moins importante si l’on s’approche d’un trou noir plus massif. Il faut prendre néanmoins en considération que nous avons fait tous nos calculs avec un écart δr de l’ordre du mètre, ce qui correspond aux dimensions d’une toute petite sonde spatiale. Supposons maintenant que nous nous intéressions au sort d’une étoile de la taille du soleil qui s’approcherait de trop près d’un trou noir super-massif. Les écarts à prendre en considération sont dans ce cas l’ordre de 500 000 km et l’accélération résultante est alors de 1300 g ! Autant dire que l’étoile est vigoureusement étirée et comprimée.

Au XIXème siècle, l'astronome Edouard Roche a calculé le rayon minimum en dessous duquel une planète est disloquée par les forces de marée du soleil. Pour parvenir à ses fins il a supposé que la planète était rigide et maintenue par les seules forces de gravitation interne. Le rayon minimum porte le nom de limite de Roche et il vaut :

 

(25)

R étant le rayon du soleil, ρS sa masse volumique et ρp la masse volumique de la planète.

Brandon Carter et Jean-Pierre Luminet ont repris le calcul en se plaçant dans un cadre relativiste. Ils l'ont appliqué au cas d'une étoile en orbite elliptique fortement excentrée autour d'un trou noir. Dans le cas d'une étoile il n'est plus possible de considérer que l'on a affaire à un corps rigide. L'étoile se déforme. Elle commence par s' allonger en forme de cigare (effet d'étirement) puis elle s' aplatit au voisinage du périastre. Il s'en suit une augmentation considérable de la température et de la pression qui embrase l'hélium et les autres composants lourds au coeur de l'etoile. Lorsque l’étoile s’éloigne du trou noir, elle se disloque. Une partie de la matière dispersée nourrit le disque d’accrétion et entretient l’activité du trou noir.

 

Notes

1 : L’effet de marée joue aussi sur l’écorce terrestre qui se soulève de 30 cm. Ce soulèvement entraîne une perte d'énergie qui ralentit la rotation de la Terre de 2 ms par siècle. Les mêmes causes créant les mêmes effets, la rotation de la Lune sur elle-même a fini par se synchroniser avec sa période de rotation autour de la Terre. Elle lui présente donc toujurs la même face.