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Karl Schwarzschild est un astrophysicien allemand qui s’est passionné pour la théorie de la relativité d’Einstein dès sa parution dans les Comptes rendus de l'Académie de Prusse en fin 1915. Il était à l’époque artilleur sur le front mais il s’est attaché pendant ses temps libres à rechercher une solution exacte de l’équation d’Einstein dans le cas d’un corps massif représentatif d’une étoile dépourvue de moment cinétique. Au bout de quelques jours il trouva une solution qu’il communiqua par courrier à Einstein. Celui-ci présenta sa solution à l’Académie de Prusse en janvier 1916. La communication de Schwarzschild et sa métrique eurent un impact considérable sur le développement de l’astrophysique en ce début de siècle. Malheureusement pour lui, Karl Schwarzschild mourut quelques mois après cette communication des suites d’une maladie qu’il avait contractée sur le front.

La métrique de Schwarzschild joua cependant un rôle important dans l’histoire de la relativité générale. Elle permit en effet de prédire la déflexion des rayons lumineux à proximité d’une étoile (prédiction confirmée par l’expédition de Lord Eddington à Sao Tome-et-Principe lors d’une éclipse du Soleil en 1919) et d’expliquer la précession du périhélie de Mercure qui était restée jusqu’alors une énigme pour les astronomes. Dans ce chapitre, nous allons présenter la métrique de Schwarzschild et exprimer l’équation des géodésiques correspondant à cette métrique.

La métrique de Schwarzschild est souvent associée à la notion de trou noir. Elle peut en effet s’appliquer à un trou noir dépourvu de moment cinétique. Elle est cependant beaucoup plus générale et s’applique à tout corps massif de symétrie sphérique, qu’il s’agisse d’une étoile, d’une planète ou d’une simple bille. Dans ce qui suit il nous arrivera de parler de ce corps sphérique en le qualifiant de trou noir. En effet, certaines des propriétés qui dérivent de la métrique de Schwarzschild ne sont perceptibles que lorsqu’on s’approche de ce que l’on appelle le rayon de Schwarzschild et ceci n’est possible qu’à proximité d’un trou noir. Ceci n’enlève rien à la généralité de cette métrique.

La métrique de Schwarzschild

La métrique de Schwarzschild représente l’espace-temps autour d’un unique corps de révolution de masse dépourvu de moment d’inertie. Elle est devenue un outil irremplaçable pour décrire le comportement des planètes, satellites ou astéroïdes autour des étoiles. Dans ce qui suit, lorsque nous utiliserons le terme étoile ou trou noir, il s’agira du corps central responsable de la courbure de l’espace-temps décrite par la métrique. Lorsque nous utiliserons le terme corps massif ou particule, il s’agira d’un corps évoluant dans l’espace-temps ainsi défini et dont la masse peut être considérée comme négligeable par rapport à (donc sans effet sur la métrique).

La métrique de Schwazrschild s’écrit :

 

(1)

étant les quatre coordonnées choisies pour la paramétrer. Elle est représentée par le tenseur diagonal :

 

(2)

Pour simplifier les écritures, on choisit un système d’unités tel que = 1. Dans ce système, a la dimension d’une longueur. On peut pousser la simplification en remplaçant par la grandeur :

 

(3)

L’équation de la métrique devient :

 

(4)

… ou encore :

 

(4 bis)

avec :

 

 

La grandeur est appelée rayon de Schwarzschild. Le rayon de Schwarzschild est proportionnel à la masse du corps considéré. A titre d’exemple, le rayon de Schwarzschild du Soleil est de 3 km.

Une métrique statique

La métrique de Schwarzschild est statique : les coordonnées forment un jeu de coordonnées spatiales qui ne dépendent pas de la coordonnée temporelle . Elles font penser aux coordonnées sphériques que l’on utilise en géométrie euclidienne pour représenter la position d’un point sur une sphère. Elles sont d’ailleurs assimilables à ces coordonnées lorsque est grand devant . Un observateur éloigné du centre de symétrie de la métrique ne perçoit pas de différence entre la géométrie décrite par la métrique de Schwarzschild et la géométrie euclidienne en coordonnées sphériques. On dit souvent que les coordonnées sont les coordonnées vues par un observateur lointain.

Cette formule, comme toutes les formules de vulgarisation, a ses limites. La métrique de Schwarzschild s’écarte notablement de la métrique euclidienne dès lors que tend vers . En particulier, il n’est plus possible de définir la distance spatiale entre le centre de symétrie et un point de coordonnées : la quantité diverge au centre de symétrie et pour . On peut cependant remarquer que la circonférence d’un cercle dont le centre coïncide avec le centre de symétrie est égale à quel que soit . Bien que le rayon d’un tel cercle ne soit pas défini au sens de la métrique, peut être considéré par un observateur lointain comme le rayon apparent de ce cercle. Une raison de plus pour considérer les coordonnées comme les coordonnées vues par un observateur lointain.

Horizon des événements

Supposons que la masse soit tout entière comprise à l’intérieur d’une sphère de rayon . La sphère de rayon a des propriétés tout à fait particulières. On peut voir en effet que les coordonnées et jouent un rôle symétrique de part et d’autre de cette surface. A l’extérieur de la sphère, un intervalle défini par est de genre temps alors qu’un intervalle défini par est de genre espace. A l’intérieur de la sphère, les rôles sont inversés. Un intervalle est une distance (de genre espace) alors qu’un intervalle est une durée (de genre temps).

De fait, il est impossible de rester immobile en un point à r constant : la valeur de ds2 correspondante est négative (voir équation 14-bis) ! Or, quand on franchit la limite de la sphère, dr est négatif. Il le reste donc jusqu’au bout. Tout corps qui franchit l’horizon progresse inexorablement vers la singularité centrale. Cette progression acquiert le caractère d’inéluctabilité qu’a le temps dans notre Univers. On peut même dire qu’un malheureux astronaute qui se serait aventuré au-delà de la limite a intérêt à ne rien faire s’il veut survivre le plus longtemps possible. Toute tentative de résister, en allumant des rétrofusées par exemple, serait contreproductive et accélèrerait sa chute. Il suffit d’analyser l’équation 14-bis : le terme en dr2 est le seul terme dont le coefficient soit positif. La trajectoire qui maximise Δs2 est la trajectoire qui suit tranquillement la géodésique.

Non seulement le temps est devenu espace et l’espace est devenu temps, mais de plus tout intervalle de temps est borné à l'intérieur de la sphère. Tout corps qui franchit la limite de la sphère atteint la singularité en un temps fini. Et cette singularité est une singularité temporelle : c'est la fin des temps pour le corps considéré. Aussi contre-intuitif que cela puisse paraître, la singularité au centre d'un trou noir est une sigularité temporelle !

Cette configuration de l'espace-temps correspond à ce que le physicien américain John Archibald Wheeler a baptisé du nom de trou noir. On appelle la sphère de rayon l’horizon des événements1 du trou noir. Le mathématicien britannique Roger Penrose parle de censure cosmique au sujet de cet horizon. Il cache à jamais au reste du monde ce qui se passe à l’intérieur !

Comme nous l’avons indiqué plus haut, le rayon de Schwarzschild du Soleil vaut 3 km. Un trou noir de la masse du Soleil aurait une densité absolument phénoménale : 18 milliards de tonnes par cm3 ! Cette densité faramineuse est l’apanage des trous noirs dits stellaires, c’est-à-dire de masse équivalente à quelques masses solaires. Ce n’est cependant pas une caractéristique spécifique des trous noirs. Saggittarius A*, le trou noir super-massif au centre de la voie lactée, a une masse de 2,6 millions de masses solaires, ce qui conduit à un rayon de Schwarzschild de 7,8 millions de km. De ce fait, sa densité n’est que de 2,6 kg/cm3. La « densité » d’un trou noir varie en effet comme l’inverse du carré de sa masse :

 

 

Les trous noirs hyper-massifs au cœur de certaines galaxies ont une masse de plusieurs milliards de masse solaires. Ceci conduit à une « densité » voisine du kilo par m3. Une insoupçonnable légèreté…

Revenons à la notion d’horizon d’un trou noir2. Pour comprendre ce qui se passe à proximité de l’horizon, nous allons nous intéresser au cône de lumière d’un point du plan équatorial (). Un photon émis depuis un point du plan équatorial peut se diriger dans toutes les directions. Pour faciliter la compréhension, nous nous limiterons aux photons qui restent dans le plan équatorial, ce qui revient à neutraliser l’axe des coordonnées correspondant à . Ceci nous permet de visualiser les cônes de lumière dans un repère à trois dimensions décrit par le jeu de coordonnées cylindriques .

La formule de la métrique permet d’écrire l’équation des géodésiques suivies par les photons émis depuis un point du plan équatorial et qui restent dans ce plan :

 

(5)

Lorsque est grand devant cette équation est celle d’un cône qui admet l’axe temporel comme axe de symétrie. Si on se place dans le plan radial, la tangente de l’angle formé par ce cône vaut :

 

(6)

qui tend vers 1 lorsque est grand devant . L’angle « se ferme » dès que l’on approche de l’horizon des événements. Il est nul lorsque .

On observe le même phénomène dans le plan transverse :

 

(7)

La tangente de l’angle est aussi égale à 1 lorsque est grand devant et elle diminue jusqu’à s’annuler lorsque . On peut cependant remarquer que le cône perd sa symétrie lorsqu’on s’approche de l’horizon :

 

(8)

Il a tendance à se « pincer », un peu comme un cornet de papier que l’on presserait entre ses doigts. La figure 1 illustre ce phénomène. Elle représente le cône de lumière dans un repère à trois dimensions . Plus on s’approche de la limite , plus l’angle maximum d’ouverture du cône diminue et plus il se pince dans le plan radial.

Figure 1 : Evolution du cône de lumière à l’approche de l’horizon des événements.

Nous n’avons considéré que 2 des trois dimensions spatiales. Ce que nous avons démontré pour et est en fait valable pour et , la métrique de Schwarzschild ayant une symétrie sphérique. La coordonnée joue donc un rôle équivalent à celui joué par la coordonnée .

Quelle interprétation peut-on donner de ce phénomène ? Analysons de façon plus précise les 3 cônes de la figure 1. Lorsque est grand devant le photon peut se diriger sans restriction dans toutes les directions. Sa vitesse (vue par un observateur lointain) est égale à :

 

 

Lorsqu’on s’approche de l’horizon (cône du milieu), le photon n’a plus la même liberté de mouvement. Au bout d’un temps (temps mesuré par un observateur lointain), la distance qu’il a parcourue est inférieure à (dans le référentiel de l’observateur lointain) et cet effet est plus marqué dans la direction radiale que dans la direction transverse. Lorsque l’on est tout près de l’horizon (cône de gauche) le photon est contraint dans une zone de plus en plus limitée. Lorsqu’on atteint la limite , il semble même se figer ! Il paraît piégé par l’horizon des événements :

 

et

(8)

Surface de genre lumière

Cette apparente « capture » des photons (et a fortiori de toute particule de matière) par l’horizon des événements est l’effet d’une propriété des surfaces dites de genre lumière.

Considérons une surface définie par l’équation . Le quadrivecteur normal à cette surface est défini par le gradient de :

 

(9)

La norme de ce vecteur est :

 

(10)

Appliquons ce qui précède à la surface définie par l’équation . Le gradient de cette fonction a pour coordonnées . La norme du quadrivecteur normal à cette surface vaut:

 

(11)

Le quadrivecteur normal à la surface est donc de genre lumière sur toute la surface. C’est toute la surface qui est de genre lumière !

Quelles sont les propriétés d’une telle surface ? Ecrivons le développement limité de la fonction à partir d’un point quelconque de la surface :

 

(12)

Cette expression est toujours nulle dans le cas d’une surface de genre lumière :

 

(13)

Il vient donc :

 

(14)

Quel que soit le déplacement que l’on cherche à faire à partir d’une surface de genre lumière, il nous conduit à rester sur cette surface. C’est une propriété générique des surfaces de genre lumière. Nous la retrouverons dans le cas de la métrique de Kerr et elle permettra également de définir un horizon des événements.

Equation des géodésiques dans la métrique de Schwarzschild

Dans ce qui suit, on considère le cas d’une particule dont l’énergie-masse est infinitésimale par rapport à celle du corps central. On peut donc faire l’hypothèse qu’elle ne déforme l’espace-temps que de manière négligeable. Une telle particule suit une géodésique de l’espace-temps.

L’équation des géodésiques dans la métrique de Schwarzschild se déduit directement des symboles de Christoffel de cette métrique (voir calculs en annexe) :

 

(15)

 

(16)

 

(17)

 

(18)

En introduisant dans ces équations les valeurs des symboles de Christoffel il vient :

 

(19)

 

(20)

 

(21)

 

(22)

Equations de conservation

En multipliant l’équation (19) par on peut la réécrire de la manière suivante :

 

(23)

On reconnaît dans cette formule une équation de conservation. On peut donc écrire :

 

(23 bis)

Passons à l’équation (22). En la multipliant par on obtient :

 

(24)

Cette équation est le développement d’une dérivée :

 

(25)

On retrouve une nouvelle fois une équation de conservation :

 

(26)

 

(27)

Intéressons-nous à l’équation (21). On peut la multiplier par . Il vient :

 

(28)

Ceci nous conduit à une troisième équation de conservation :

 

(29)

Le traitement de l’équation (20) est un peu plus complexe. On peut cependant remarquer que le terme entre crochets s’exprime en fonction de et :

 

(30)

Ceci permet de reformuler l’équation (20) comme suit :

 

(31)

Multiplions cette formule par :

 

(32)

Les deux premiers termes sont le développement d’une dérivée. Il vient :

 

(33)

C’est également le cas des deux suivants. Ceci conduit à :

 

(34)

On aboutit finalement à une quatrième équation de conservation :

 

(35)

avec égal à 0 ou 1 selon que l’on affaire à un photon ou à une particule massive. L’équation (35) peut aussi s’écrire de la manière suivante :

 

(36)

Les quatre équations auxquelles nous sommes parvenus sont la forme la plus générale des équations du mouvement d’une particule dans la métrique de Schwarzschild.

En pratique, on utilise souvent une forme simplifiée. On peut en effet remarquer que le mouvement d’un corps à proximité d'une étoile se déroule nécessairement dans un plan équatorial de cette étoile. Considérons le plan qui comprend le centre de symétrie de l’étoile, un point de la géodésique et le vecteur parallèle à la géodésique en ce point. Si on choisit le référentiel en sorte que on constate au vu des équations (19) à (22) que rien ne va éloigner la particule considérée de ce plan. Dans ces conditions, la trajectoire de ce corps reste dans le plan équatorial et l’expression de la métrique devient :

 

(37)

Comme par ailleurs il vient:

 

(38)

Le jeu d’équations du mouvement d’un corps autour de l’étoile prend alors la forme simplifiée suivante :

 

(39)

 

(40)

 

(41)

Interprétation des lois de conservation

Les calculs que nous avons exposés ne présentent pas de difficulté mais ils ont un caractère un peu rébarbatif. Nous les avons menés jusqu’au bout à titre pédagogique. Nous aurions pu les court-circuiter en nous appuyant sur un résultat présenté dans le chapitre sur les géodésiques. Les composantes du quadrivecteur énergie-impulsion d’une particule libre sont telles que :

 

(42)

Prenons le cas de :

 

(43)

Sachant que :

 

(44)

on retrouve bien l’équation (39). Il en va de même pour :

 

avec :

(45)

… ce qui conduit directement aux équations (26) et (41). On peut également constater que l’équation (33) et donc l’équation (40) peut être obtenue à partir de l’équation qui suit :

 

(46)

Le chapitre sur les géodésiques nous donne la clef pour interpréter ces équations de conservation :

  • l’équation (39) est une équation de conservation de l’énergie propre de la particule (le composant du quadrivecteur énergie impulsion),
  • l’équation (41) est l’équation de conservation du moment,
  • l’équation (40) est l’équation de conservation de l’énergie du système au cours du mouvement.

Ce dernier point mérite quelques éclaircissements. Il est d’usage d’écrire l’équation (40) sous la forme :

 

avec :

(47)

Cette formulation permet de faire l’analogie avec la mécanique newtonienne. En mécanique classique, il y a en effet conservation de l’énergie d’un corps en présence d’un champ gravitationnel :

 

(48)

avec :

 

(48 bis)

Cette analogie nous incite à penser que l’équation (47) est une équation de conservation de l’énergie du système3. Cependant, si on pousse la comparaison jusqu’au bout, il apparaît plusieurs différences notables dans la formulation. En particulier le fait que l’énergie propre (que l’on a assimilée à ) intervienne au carré dans l’équation (47) !

Le terme se comprend mieux si on rapproche l’équation (47) de la première équation d’Einstein à laquelle on ajouterait un terme de potentiel :

 

(49)

Il faut se rappeler en effet que, dans l’espace-temps de la relativité, ce n’est pas l’énergie qui est conservée mais la norme du quadrivecteur énergie-impulsion. L’équation (49) nous donne la bonne grille de lecture pour interpréter l’équation (47) :

  • Le terme est assimilable au terme .
  • Le terme qui apparaît au second membre de (47) correspond à l’énergie de masse de la particule (le terme de l’équation d’Einstein).

Rappelons que nous avons choisi un système d’unités tel que = 1.

Figure 2 : Potentiel newtonien et potentiel relativiste.

Nous avons désormais toutes les clefs pour décoder les équations (40) et (47). Elles correspondent bien à l’équation de conservation de l’énergie du système sous sa forme relativiste. Le terme d’énergie propre est égal à la somme de l’énergie de masse de la particule, de son énergie cinétique et d’un terme correspondant au potentiel gravitationnel. Au demeurant, lorsque la vitesse de la particule est non-relativiste et lorsque la distance par rapport au centre de symétrie est suffisante, on peut écrire :

 

(50)

On retrouve bien la forme classique de l’équation.

Un mot sur le terme du troisième degré en . C’est ce terme qui induit un comportement fondamentalement différent des particules au voisinage de l’horizon des événements. C’est également ce terme qui est à l’origine des subtiles différences par rapport aux prédictions de la mécanique classique qui ont permis de valider rapidement la théorie de la relativité générale (déviation des rayons lumineux, précession du périhélie de Mercure). Nous présenterons ces résultats plus en détail dans les chapitres qui suivent.

Représentation du mouvement d’une particule libre dans la métrique de Schwarzschild

On utilise souvent l’image d’une toile souple déformée par une masse pour représenter la courbure de l’espace autour d’un corps massif. La trajectoire d’une particule qui roule sur cette toile est plus ou moins infléchie par cette déformation en fonction de sa vitesse. Le cas échéant elle peut tourner indéfiniment autour du corps central. On suppose que le frottement est négligeable et que la particule conserve son énergie en roulant.

Figure 3 : Déformation de l’espace courbe autour d’un corps pesant.

L’image est parlante mais elle ne doit pas être prise au pied de la lettre. A aucun moment, lorsqu’on passe à côté d’un corps pesant, on ne voit se creuser une dépression sous ses pieds, même à proximité d’un trou noir. La courbure de l’espace induite par la présence d’un corps massif se manifeste par une altération des propriétés géométriques de l’espace et du temps (distance entre points, intervalle de temps, angle entre deux vecteurs) et elle agit sur les 3 dimensions simultanément. La déformation de la toile et son effet sur la trajectoire de particules en mouvement sur cette toile n’est qu’une tentative de rendre visuellement cet effet qu’il nous est impossible de nous représenter. Cette représentation visuelle est artificielle : d’abord parce qu’elle privilégie un plan, le plan équatorial, alors que la déformation s’étend à tout l’espace, ensuite parce qu’elle traduit les altérations de la géométrie de ce plan dans une troisième dimension virtuelle qui n’a rien à voir avec la troisième dimension de l’espace.

Or ces altérations sont dans le plan, elles n’induisent aucune différence d’altitude par rapport à ce plan. Au demeurant, dans la réalité, la force d’attraction perçue par ces particules est dirigée vers le corps massif central alors que dans l’image de la toile déformable les particules sont soumises à l’attraction terrestre qui est verticale. Ceci montre bien les limites de cette image.

Complément : Trou noir de Reissner-Nordström

Un trou noir de Reissner-Nordström4 est un trou noir chargé dépourvu de moment angulaire. C’est une généralisation de la métrique de Schwarzschild. Soient Q la charge du trou noir et M sa masse, la métrique de Reissner-Nordström s’écrit :

 

(51)

avec :

 

 

(On a choisi un système d’unités tel que c = G = 1.) La recherche des solutions de l’équation fait apparaître deux solutions :

 

(52)

Le trou noir de Reissner-Nordström a donc deux horizons : un horizon des événements proprement dit et un second horizon de type horizon de Cauchy. Nous verrons dans le chapitre consacré à la métrique de Kerr ce que cette configuration a de particulier. En pratique, la charge d’un trou noir est faible devant sa masse : l’étoile qui s’effondre pour donner un trou noir est globalement neutre électriquement. Lorsque les deux horizons sont pratiquement confondus et la métrique de Reissner-Nordström a des propriété est très voisine de celles la métrique de Schwarzschild.

 

Notes

1 : Dans la littérature anglo-saxonne, on trouve le terme d’horizon de Cauchy (Cauchy horizon).

2 : Le développement qui suit fait l’hypothèse qu’il y a continuité de l’espace-temps à l’intérieur de l’horizon des événements et que cet espace reste statique. Les physiciens russes Belinski, Khalitnikov et Lifshitz proposent un modèle différent. Selon eux, l’espace-temps serait agité de fluctuations chaotiques à proximité de la singularité au centre du trou noir. Cette proposition porte le nom de conjecture BKL.

3 : Le terme de masse qui apparaît dans les deux membres de l’équation (46) a été éliminé pour aboutir à l’équation (47). On pourrait bien évidemment faire la même chose avec l’équation (48) ou avec l’équation (49) ci-dessous mais on a coutume de les exprimer en conservant ce terme de masse. Nous en resterons donc à la formulation classique. Cela ne doit pas nous induire en erreur. L’équation (47) est en quelque sorte une forme réduite de l’équation de conservation de l’énergie.

4 : La métrique de Reissner-Nordström a été découverte en 1918 par Hans Reissner et Gunnar Nordström.